Hva slags gass finnes?
Som du kanskje har skj?nt skal vi modellere atmosf?ren p? planeten vi skal lande p?. Det f?rste steget i denne retningen er ? finne ut hva atmosf?ren faktisk best?r av, og hvor mye av hvert stoff. Det finnes ganske mange stoffer i denne store galaksen, s? jeg kaster inn en tabell med stoffer (gass) som er vanlige ? finne i atmosf?rer:
| Gass | Masse |
|---|---|
| \(O_2\) (oksygengass) | \(5.352\cdot 10^{-26}kg\) |
| \(H_2O\) (vann) | \(3.010\cdot 10^{-26}kg\) |
| \(CO_2\) (karbondioksid) | \(7.359\cdot 10^{-26}kg\) |
| \(CH_4\) (metangass) | \(2.676\cdot 10^{-26}kg\) |
| \(CO\) (karbonmonoksid) | \(4.683\cdot 10^{-26}kg\) |
| \(N_2O\) (lystgass) | \(7.359\cdot 10^{-26}kg\) |
Dette er da gassene vi antar kan befinne seg i atmosf?ren til planeten, og er de gassene vi kommer til ? bygge modellen p?. Men hvordan finner vi ut av hva slags gass atmosf?ren p? en helt ukjent planet best?r av?
Spektralanalyse - The Dark side of the Moon
Det er p? tide ? introdusere dere for spektralanalysens verden! Vi analyserer spektrene p? elektromagnetiske b?lger som emitterer ut av gassen, og pr?ver ? koble opp b?lgelengden p? disse str?lene mot hvilket stoff vi har (forenklet, men vi kommer til analysen ivrig-per). Likt som med type gasser finnes det mange b?lgelengder, s? jeg slenger ved enda en tabell som forteller oss hvilke spektrallinjer som er vanlige ? finne for hvert av stoffene vi har i en atmosf?re:
| Gass | Spektrallinjer [nm] \((10^{-9}m)\) | ||
|---|---|---|---|
| \(O_2\) | 632 | 690 | 760 |
| \(H_2O\) | 720 | 820 | 940 |
| \(CO_2\) | 1400 | 1600 | ----- |
| \(CH_4\) | 1660 | 2200 | ----- |
| \(CO\) | 2340 | ----- | ----- |
| \(N_2O\) | 2870 | ----- | ----- |
De blanke boksene betyr bare at ikke alle stoffene n?dvendigvis har 3 spektrallinjer.
Da kan vi endelig pr?ve ? kj?re i gang litt analyse! Vi trenger bare et par forberedelser f?rst: siden vi reiser i romskipet v?rt med en eller annen hastighet kommer alle m?lte b?lgelengder ? bli forskj?vet med det vi kaller Doppler skiftet, og vi m? derfor ta dette i betraktning n?r vi skal m?le spektrallinjer. For de av dere som trenger ? friske opp, m?les Doppler skiftet med denne likningen:
\(\begin{align*} \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c} \end{align*}\)
som forteller oss at forholdet mellom forskjellen i m?lt b?lgelengde \(\lambda\) og laboratoriem?lt b?lgelengde \(\lambda_0\) (\(\Delta\lambda\)) og den laboratoriem?lte b?lgelengden \(\lambda_0\) er lik forholdet mellom romskipets fart i radiell retning \(v_r\) og lyshastigheten \(c\). Dette er en meget nyttig sammenheng som dukker opp i flere tilfeller. Vi trenger blant annet denne sammenhengen for ? gj?re v?r analyse, siden den spiller en rolle i hva slags b?lgelengder vi kommer til ? observere p? romskipet v?rt.
Videre antar vi dermed at farten \(10km/s\) for romskipet relativt til planeten er den absolutt ?vre grense for romskipets fart. Da kan vi resonnere oss til det maksimale Dopplerskiftet vi kan klare ? oppn?, som blir nyttig videre i analysen. Vi tenker oss at dersom vi s? vidt er nedom og snitter atmosf?ren, og tar m?linger rett foran romskipet, kan vi teoretisk sett klare ? m?le b?lgelengder der vi f?r dopplerskift med farten \(v=10km/s\). B?lgelengdene vi m?ler da vil bli kortere enn det den er i virkeligheten, siden vi da reiser mot b?lgelengden vi m?ler (tenkt sett). Putter vi dette inn i formelen for dopplerskift f?r vi at den maksimale forskyvningen \(\Delta\lambda\) vi kan f? er
\(\begin{align*} \Delta\lambda_{max} = \frac{v}{c}\lambda_0 \approx -3.335\cdot10^{-5}\lambda_0 \end{align*}\)
Dersom vi gj?re samme m?ling, men bak oss i stedet for foran oss vil vi f? et Dopplerskift der b?lgelengdene vi m?ler er lengre enn det de er i virkeligheten. Da vil vi f? samme \(\Delta\lambda_{max}\), men med motsatt fortegn, alts?
\(\begin{align*} \Delta\lambda_{max} = \frac{v}{c}\lambda_0 \approx 3.335\cdot10^{-5}\lambda_0 \end{align*}\)
Doppler-skiftet forteller oss alts? at dersom vi har en hastighet relativt til en str?le med en eller annen b?lgelengde \(\lambda_0\), vil vi observere en b?lgelengde \(\lambda\) som er blitt forskj?vet med en forskyvning \(\Delta\lambda\), som vi m? ta hensyn til. Vi m? n? bestemme oss for hvordan vi skal klare ? m?le hvilke stoffer vi har i atmosf?ren. S? langt vet vi at vi ser etter noe som har med b?lgelengder ? gj?re... Hva kan det v?re?
*----?????????----* Bingo!
Som en av mine (selvf?lgelig min, ikke noen andre sin) genistreker finner jeg ut at vi skal se p? fluksen av de ulike elektromagnetiske str?lene vi f?r inn, siden det der finnes et triks i ermet. Hvis fluks er ukjent for deg, skal jeg gi en veldig kjapp forklaring:
Fluks er et m?l p? hvor mye av en ting som g?r gjennom en flate av noe pr. sekund.
La meg ta et eksempel: Dersom du st?r p? kj?kkenet, og beveger deg gjennom d?ra inn til stua, har det n? v?rt en fluks gjennom d?ra di p? ett menneske pr. d?rareal pr. sekund i akkurat det ?yeblikket du passerer gjennom. Dersom du og pappaen din g?r gjennom d?ra samtidig, var fluksen i akkurat det ?yeblikket to mennesker pr. d?rareal pr. sekund. Dersom ingen g?r gjennom d?ra er det fluks p? null mennesker pr. d?rareal. pr. sekund. Det vi m? passe oss litt for er at fluks kan ha en slags retning. Det vil si hvilken vei man definerer som positiv retning for fluksen. Definerer vi fra kj?kkenet til stua som positiv retning, vil vi ha positiv fluks om du g?r gjennom d?ra fra kj?kkenet til stua. Men dersom du beveger deg gjennom d?ra fra stua til kj?kkenet da, vil vi ha en negativ fluks gjennom d?ra. H?per du fikk litt bedre feeling p? hva fluks er n?.
Tilbake til fluksen i spektralanalysen: Vi tenker oss nemlig n? at gassen i atmosf?ren er ideell gass, (husker du ikke hva ideell gass er s? klikk p? denne linken og les litt om det fra en tidligere bloggpost). Husker du hva det betyr? Det betyr at hastigheten til gasspartiklene er Gaussisk fordelt! Ta litt vare p? denne tanken om en Gaussisk hastighetsfordeling litt til, s? skal vi gi denne fluksen litt mer shine. Vi kj?rer et lite tankeeksperiment:
Se for deg at vi (1) har en str?lingskilde, (2) oss som skal m?le str?lingen, og (3) en sky av gass mellom oss og str?lingskilden. Vi tenker oss f?rst at alle gasspartiklene st?r i ro, uten noen form for bevegelse. Str?lingen vi pr?ver ? m?le treffer denne gasskyen f?r den treffer oss, som vil absorbere str?ling med en b?lgelengde som tilsvarer forskjellen mellom energiniv?ene i gass-atomet. Dermed f?r vi en syltynn sort linje i absorpsjonsspekteret v?rt, p? akkurat den b?lgelengden. Men vent, det er mer, for det blir faktisk ikke en syltynn sort linje, men en passe tjukk sort linje. Holdt du godt p? tanken om at gassen hadde Gaussisk hastighetsfordeling? I s? fall medalje til deg ?. Vi tenker oss n? at gassen har en hastighet (som den faktisk har). Denne hastigheten vil resultere i et slags "omvendt dopplerskift" (om jeg kan kalle det for det?) der den absorberer str?ling med b?lgelengde som er skiftet med dopplerskiftet korresponderende til farten partikkelen har! Alts? f?r partikkelen en fart relativt til str?len som treffer den, og tillater dermed ? absorbere str?ler med litt forskj?vne b?lgelengder. Siden gassen har en Gaussisk fordeling av hastighet, vil ogs? de ulike b?lgelengdene som absorberes ogs? f? en Gaussisk fordeling!
Men hva i alle dager har dette med fluks ? gj?re? Jo, dette p?virker jo str?lingsfluksen vi m?ler, siden vi n? vil m?le mindre str?ling med b?lgelengdene som blir absorbert pr. areal pr. tid! Ser vi p? kurven for fluks pr. b?lgelengde \(F(\lambda)\) vil vi da f? et opp-ned Gaussisk plot (siden vi mangler fluks p? den b?lgelengden), som kan hjelpe oss p? v?r vei i analysen.
Med en slik Gaussisk linjeprofil p? fluksen, kan vi skrive fluksmodellen v?r n? p? formen
\(F(\lambda) = F_{cont}(\lambda) + (F_{min} - F_{cont(\lambda)})e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda - \lambda_0}{\sigma}\right)^2}\)
der \(F_{cont}(\lambda)\) er kontinuumsfluksen (fluksen vi hadde sett dersom all absorpsjonen var borte), \(F_{min}\) er verdien p? bunnpunktet i den Gaussiske linjeprofilen (fluksverdien vi mister mest av), \(\lambda_0 \) er b?lgelengden som absorberes mest (\(F(\lambda_0) = F_{min}\)) og \(\sigma\) er standardavviket (dersom du husker lite av disse sannsynlighetsgreiene anbefaler jeg deg virkelig ? lese p? denne linken).
Det neste steget n? er ? finne et uttrykk for standardavviket i linjeprofilen, og det skal vi gj?re kjapt og enkelt for dere. Vi slenger rett og slett et stykke god informasjon p? koldtbordet, og tar det derfra. Vi henter frem fra l?reb?kene at \(FWHM\) for denne fluksmodellen er
\(FWHM = \frac{2\lambda_0}{c}\sqrt{\frac{2kT\ln2}{m}}\)
der \(k \) er Boltzmann konstant, \(T\) er gassens temperatur m?lt i Kelvin, og \(m\) er massen til et gassmolekyl av gassen vi ser etter. Vi har en snedig liten relasjon mellom \(\sigma\) og \(FWHM\) som er
\(\sigma = \frac{FWHM}{\sqrt{8\ln2}}\)
som med litt formelmagi gir oss uttrykket for standardavviket
\(\sigma = \frac{2\lambda_0}{c}\sqrt{\frac{kT}{4m}}\)
Med dette har vi alt redskapet vi trenger for ? analysere atmosf?ren, livet g?r fritt og fint, og herifra kan ingenting g? galt!
Dataanalyse - dette g?r skikkelig galt
Ikke la deg skremme av overskriften, dette skal g? fint (enn s? lenge). Vi har fastmontert noen apparater fra IPA som skal ta n?dvendige datam?linger for oss. Det er veldig viktig ? nevne at absolutt ALL DATA har blitt normalisert, slik at \(F_{cont}=1\). M?ling av data som blir gjort er
- \(F\), fluks m?lt fra atmosf?re
- \(\lambda\), m?lte b?lgelengder p? fluksen [nm]
- \(\sigma_{st?y}\), Gaussisk st?y vi har f?tt p? toppen av fluks-dataen
Dersom vi pr?ver ? plotte frem et lite utklipp av fluksen p? b?lgelengden i intervallet \([\lambda_0 - \Delta\lambda_{max}, \lambda_0 + \Delta\lambda_{max}]\)for \(N_2O\) med \(\lambda_0=2870nm\), f?r vi dette plottet:
Oi, dette var stygg data ? se p?! Dermed bretter vi opp ermene og setter i gang til verks. Vi trenger fortsatt et par verkt?y til i verkt?y-kassa for ? kunne analysere denne type data. Det f?rste vi m? kunne er hvordan vi faktisk skal finne ut av hva vi skal se p?, og hvordan vi finner riktige parametere til modellen v?r for fluks, som skal fortelle oss hva slags gass vi har i atmosf?ren. Vi starter med f?rstnevnte, og ser kjapt videre p? noe vi kaller \(\chi^2\)-metoden (storebror til minste kvadraters metode):
Lynkurs i ? spotte kurver
Vi kan starte med dette plottet, som er for \(H_2O\) med \(\lambda_0=820nm\), og se etter hva som er interessant.
I alt dette st?yet, leter vi etter noe som kan tyde p? en Gaussisk linjeprofil. En annen viktig ting vi ser etter, er at \(F_{min}\) skal v?re lav, dvs. at spikes som stikker dypt nedover i grafen helst er mindre enn \(0.7\), fordi det betyr at det forsvinner en del fluks ut her. Husk at dataen er normalisert. Det jeg f?rst og fremst gj?r da er ? zoome inn p? venstresiden av plottet, og scrolle meg bortover mot h?yre for ? se om jeg finner en slik profil. P? dette plottet ser jeg allerede et par steder som interesserer meg, som jeg skal ringe ut:
Disse stedene er interessante p? grunn av enten dype spikes, eller p? grunn av Gaussisk linjeprofil. Da zoomer jeg inn p? disse omr?dene, og skriver ned hva b?lgelengden \(\lambda_{obs}\) er p? disse omr?dene.
Superlynkurs i \(\chi^2\)-metoden
\(\chi^2\) er ikke s?rlig vanskeligere enn minste kvadraters. Du husker kanskje at minste kvadraters metode ble skrevet slik:
\(\Delta = \sum_\limits{i}(F_{real,i} - F_{model}(t_i))^2\)
og \(\chi^2\) er bare en liten justering til det:
\(\chi^2 = \sum_\limits{i}\left(\frac{F_{real,i} - F_{model}(t_i)}{\sigma_{st?y,i}}\right)^2\)
Om du ikke la merke til det har vi delt p? den m?lte datast?yen, og det er det hele. Grunnen til dette er fordi datast?yen ikke lenger er *omtrent* den samme i alle datapunkter, som var en forutsetning for minste kvadraters. Dermed m? vi inkludere denne n?r den faktisk er forskjellig i alle datapunkter. Les mer om minste kvadrater her. Det vi da gj?r er ? variere parameterne \(F_{min}\), \(\lambda_0\) og \(\sigma \) i modellen v?r f?r fluks \(F(\lambda)\), og finner det settet med parametere som gir oss den minste \(\chi^2\) som da sier oss noe om sannsynligheten for at dette stoffer er i atmosf?ren.
Da kan vi endelig komme oss tilbake p? sporet av dataanalysen. Idéen v?r bak analysen er ? lese av datakurvene for fluksen i et gitt intervall, og finne en b?lgelengde et sted som er interessant for oss ? unders?ke. Videre gj?r vi et parameters?k med \(\chi^2\)-metoden, som skal gi oss parameterne til modellen \(F(\lambda)\) som passer best med dataen i dette intervallet. Vi gj?r dette for alle gassene p? alle b?lgelengdene vi har, og leser av resultatet fra \(\chi^2\) og modellen \(F(\lambda)\). Dermed bestemmer vi om det er sannsynlig at vi har den og den gassen i atmosf?ren, og i s? fall hvor mye av den vi har.
Jeg skriver opp en mer spesifikk oppskrift p? hvordan vi skal gj?re det, som er selve metoden for hvordan vi g?r frem:
Oppskrift p? analyse(1) Vi finner ut av hvilket stoff vi ?nsker ? se p?, eksempelvis \(H_2O\), og finner frem alle tall vi har p? denne gassen. Det er da typ. \(\lambda_0,\;\Delta\lambda_{max},\;m,\;\sigma\) og antar en temperatur \(T\) for denne gassen et sted mellom \(150-450K\). (2) Vi plotter frem et slikt plott av fluksen slik som vi har gjort ovenfor i intervallet \([\lambda_0 - \Delta\lambda_{max}, \lambda_0 + \Delta\lambda_{max}]\) og zoomer vi inn og leter etter omr?der som kan likne p? profiler vi leter etter. Vi ser p? omr?der som strekker seg langt ned p? grafen eller omr?der med Gaussisk profil. Finner vi et interessant omr?de skriver vi ned b?lgelengden \(\lambda_{obs}\) som kan se ut som \(\lambda_0\) i linjeprofilen. (3) Etter ? ha notert ned b?lgelengden \(\lambda_{obs}\) p? omr?det vi syntes ser interessant ut (gjerne det som kan se ut som \(\lambda_0\) i modellen) finner vi hvilke parameterverdier \(F_{min},\;\sigma,\;\lambda_0\) som gir oss den modellkurven \(F(\lambda)\) som som passer best inn med fluksdataen i intervallet vi ser p? ved ? bruke \(\chi^2\)-metoden. Dette skal fortelle oss hvor sannsynlig det er at gassen vi ser p? befinner seg i atmosf?ren v?r. Vi gjentar dette for alle gassene p? alle b?lgelengdene vi forventer. |
Hvor skal vi lete?
Jeg har s? langt snakket om parameters?k med \(\chi^2\)-metoden, men vi kan jo ikke s?ke oss gjennom uendelig mange parametere. Vi er n?dt til ? begrense oss, s? dermed er vi n?dt til ? bestemme et par intervaller. Det er vanlig ? se etter en \(F_{min}\in[0,\;0.7]\), siden verdier over det er s? sm? at det ikke er noe s?rlig som absorberes av gassen. N?r vi leter etter \(\lambda_0\) bruker vi standardavviket \(\sigma\) som vi regnet ut tidligere, og leter i et omr?de rundt \(\lambda_0\in[\lambda_{obs} - 3\sigma, \lambda_{obs} + 3\sigma]\), siden vi f?r med oss \(99.7\%\) av b?lgelengdene som kan v?re kandidater for beste modell (66, 95, 99.7 - regelen fra statistikken). For ? finne hvilken \(\sigma\) som passer best inn i modellen leter jeg i intervallet \(\sigma\in[0,\;3\sigma]\). MERK ogs? at jeg blander to ulike \(\sigma\) om hverandre her, den ene \(\sigma\) er en parameter i modellen v?r \(F(\lambda)\), mens den andre \(\sigma\) er standardavviket i en tenkt flukskurve for en type gass. Det er viktig ? holde forskjell p? dem. Dette gj?r jeg fordi innen \(3\sigma\) har jeg dekket alle lambda som vil v?re inneholdt i linjeprofilen for denne gassen.
Resultat og diskusjon - det er her ting g?r j?skla skeis
Skal jeg v?re d?nn ?rlig her har vi ikke s? mye resultater ? vise til. Det vil si at vi ikke fikk til noen resultater ? vise til. La meg forklare dere hvor galt det g?r:
Vi skal f? et unikt sett med parametere \(F_{min},\;\sigma,\;\lambda_0\) som skal minimere \(\chi^2\)-metoden. Saken er bare den at vi f?r flere verdier for disse parameterne. Dermed er det vanskelig for oss ? bestemme noen kurver, og i det hele tatt tolke noe som helst om noen av gassene og b?lgelengdene vi forventer ? ha i atmosf?ren v?r. I tillegg f?r vi at \(F_{min} = 0.7\) for alle gasser p? alle b?lgelengder, noe jeg syntes er veldig tvilsomt, som tyder p? at noe med implementasjonen av koden i Python er gal. Vi har dratt oss i h?ret i ukesvis for ? finne feilen, men til ingen nytte og med 50% av h?ret igjen. Vi er n?dt til ? se oss sl?tt av atmosf?ren. Dermed m? vi finne p? noe annet for ? klare ? lande, og vi skal pr?ve ? finne ut av en strategi for dette.
Hva gj?r vi da n?r ingenting g?r som det skal?
Det blir egentlig ikke s? fryktelig komplisert, bare veldig kjedelig. Vi tenker oss at vi har den aller letteste atmosf?ren, med den gassen som veier minst. Dette er en ekstremt pessimistisk og urealistisk antakelse, men dersom vi gj?r dette og klarer ? simulere en suksessfull landing vil vi klare ? lande for en hvilken som helst annen sammensetning av atmosf?ren siden den da vil v?re tyngre. En lett gass vil gj?re det lettere for oss ? falle gjennom atmosf?ren fordi den har lavere tetthet (eller tettheten er spredt lenger utover mot verdensrommet fra planetens overflate), som gj?r det vanskelig for oss ? bremse ned (og lettere ? krasje). Dermed er det lite friksjonskrefter og trykk som virker p? raketten og fallskjermen vi skal bruke til ? lande med h?yere opp i atmosf?ren, som gj?r det vanskelig for oss ? lande siden det er lettere ? krasje. Et annet ganske ille tilfelle ville ogs? v?rt den tyngste gassen, som vil ha h?y tetthet lavere ned i atmosf?ren. Da er det enklere ? lande, men lettere ? brenne opp i atmosf?ren underveis dersom hastigheten er for stor, siden tettheten stiger fortere p? kort tid lavere i atmosf?ren enn for den tynne gassen, som har det fordelt lenger utover mot verdensrommet. Vi har at den aller letteste gassen vi kunne ha med i atmosf?remodellen var \(CH_4\) (metangass) med masse \(m_{CH_4} = 2.676\cdot 10^{-26}kg\). Dermed vil den absolutt letteste sammensetningen av atmosf?re v?re \(100\%\;CH_4\), som igjen er urealistisk. Det kan ogs? v?re nyttig ? teste den aller tyngste atmosf?ren vi kan ha, som vil v?re laget av \(100\%\;N_2O\), slik at vi har testet og landet for begge worst-case scenarioer.
Klarer vi alts? ? lande i de begge mest ekstreme worst-case scenarioene med atmosf?re av \(100\%\;CH_4\) eller atmosf?re av \(100\%\;N_2O\) vil vi ogs? klare ? lande i alle atmosf?rer som befinner seg mellom disse to. Det er surt ? gj?re det s? kjedelig, men vi m? likevel bare ta det med oss og teste denne atmosf?resammensetningen, i all uviten om hva den ekte atmosf?ren best?r av. Hvem vet, kanskje vi en dag vil finne ut, men i n?rmeste fremtid har vi viktigere ting ? finne ut av. Finn ut hva p? neste blogginnlegg.
Forrige innlegg << Neste innlegg >>