GPS

Introduksjon

Det svever rundt 30 satellitter over hodene deres p? jorda hele tiden. Det er satellitten som er sendt opp av USAs forsvar, og som brukes til ? navigere. Med h?y n?yaktighet kan de beregne posisjonen til en mottaker i nesten all slags v?r. I dette innlegget skal vi fors?ke ? g? grundig til verks for ? vise hvordan satellittene er underlagt relativistiske effekter.

Situasjonen

Vi befinner oss p? v?r hjemplanet. Over hodene v?re svever to satellitter. De sender hele tiden et signal til v?r mottaker, med tiden de sendte det ut og posisjonen deres. N?r vi starter eksperimentet er alle klokkene synkronisert. Etter hvert som tiden g?r vil vi unders?ke om posisjonen vi f?r oppgitt fra satellittene stemmer overens med det vi vet at den skal v?re. Her har vi gjort noen antagelser:

• Planeten roterer ikke om sin egen akse. Alts? vil v?r posisjon forbli uendret hele tiden.
• Satellittene beveger seg i en sirkul?r bane.

Metoder

Newtons 2. lov

For ? finne farten satellittene har, bruker vi Newtons 2. lov for sentripetalakselerasjon.

\(\begin{align} \Sigma F=m\frac{v^2}{r} \end{align}\)

hvor \(m\) er massen til objektet, \(v\) er farten langs sirkelbanen og \(r\) er avstanden til denne sirkelens sentrum. Siden vi vet posisjonen til satellittene, kan vi finne avstanden deres fra  planetens sentrum. Vi bruker de f?rste m?lingene vi f?r fra satellittene.

\(\vec{r}_1=[-3831.207, -3148.374]\,\text{km}\\ \vec{r}_2=[-1743.749, -4642.152]\,\text{km}\\ r_1=|\vec{r}_1|=4958.871\,\text{km}\\ r_2=|\vec{r}_2|=4958.854\,\text{km}\)

Kraftsummen er tyngdekrafta, som gir oss uttrykket for banefarta.

\(\begin{align} v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \end{align}\)

Her er \(G\) gravitasjonskonstanten (\(6.67\cdot10^{-11}\,\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)), \(M\) er massen til planeten   (\(1.649\cdot10^{23}\,\text{kg}\)) og \(r\) er avstanden fra planetens sentrum. Med dette finner vi banehastigheten til hver av satellittene.

\(v_1=v_2=1.49\,\text{km/s}\)

Cosinusloven

Vi kommer til ? bruke cosinusloven til ? finne vinkler. Den sier at 

\(\begin{align} a^2=b^2+c^2-2\,bc\cos\alpha \end{align}\)

En kjapp forsmak: la A v?re sentrum av av planeten og B din posisjon. C er posisjonen til den ene satellitten. Dermed vet du avstanden mellom deg og satellitten, hvis du vet de andre verdiene. 

Schwarzchild-geometri

Betrakt f?lgende situasjon: i n?rheten av et sterkt tyngdefelt st?r det en person p? et "skall" som omslutter legemet som gir opphav til feltet. Denne observat?ren ser p? to eventer som skjer n?rme han selv. Eventene skjer i hans referansesystem, s? han m?ler egentiden (tiden m?lt i samme referansesystem som eventene skjer). Langt langt unna befinner det seg en annen observat?r. Han befinner seg s? langt vekk at rommet rundt han ikke blir b?yd av tyngdefeltet. Dersom langt-vekk-observat?ren skal m?le avstanden i tiderommet mellom de to eventene som skjer n?r tyngdefeltet, m? han bruke Scwarzchild-geometri. Det er gitt slik.

\(\begin{align} \Delta s^2=\bigg(1-\frac{2M}{r}\bigg)\Delta t^2-\frac{\Delta r^2}{\Big(1-\frac{2M}{r}\Big)}-r^2\Delta\varphi^2 \end{align}\)

Her er \(M\) massen til legemet, \(r\) radiell avstand fra legemet og \(\varphi\) den tangentielle hastighetskomponenten. Dette resultatet er en av de f? analytiske l?sningene p? Einsteins likning, men det skal vi ikke g? inn p? her. Husk at ogs? \(\Delta s^2=\Delta \tau^2\), hvor \(\tau\) er egentiden. Dette resultatet skal vi bruke til ? finne forholdet mellom tidsintervallene sendt ut fra satellittene. 

Relativistiske enheter

Dere har h?rt om Syst¨¨me International d'unit¨¨s. Det er kanskje bedre kjent som SI-enheter (Internasjonale enheter). Det er vel og bra, men hva om vi kan m?le alt i ¨¦n enhet? Vi har allerede v?rt innom hvordan fart er enhetsl?s i relativistiske enheter. Hvis vi har en fart i m/s, s? deler vi p? lysfarten og f?r en fart uten enhet, som en fraksjon av lysfarten. Dette er sv?rt nyttig, ettersom at lysets hastighet er lik for alle observat?rer. Vi vet at lengde og tid ikke er det samme, men det vil gj?re utregninger enklere. Vi kan m?le masse i meter p? f?lgende m?te.

\(\begin{align} M_\text{meter}=\frac{G}{c^2}\cdot M_\text{kg} \end{align}\)

En kjapp enhetsanalyse viser at dette stemmer.

\(\frac{G}{c^2}\cdot M_\text{kg}=\frac{\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\cdot\text{kg}=\text{m}\)

Dette reiser jo et betimelig sp?rsm?l: hvor mange meter veier jeg? Undertegnede kan avsl?re at han veier \(6.17\cdot10^{-26}\,\text{m}\), som tilsvarer \(617\cdot10^{-24}\,\text{m}\), som er \(617\) yoktometer (yokto: kvadrilliondel). Ikke veldig langt, alts?.

Gravitasjonelle og relativistiske effekter som feilkilder

N? er det p? tide ? starte p? selve problemet v?rt. N?r vi begynner eksperimentet vil klokkene v?re synkronisert. Dermed vil vi forvente at den aller f?rste m?lingen vi gj?r, s? tidlig som mulig etter start, vil v?re korrekt. Posisjonen v?r er 

\(\vec{r}=[-1772.491344,-569.529319]\,\text{km}\)

Utover i denne oppgaven kommer vi ikke til ? ta med s? mange desimaler, bortsett fra der det er helt n?dvendig. Verdiene fra den f?rste m?lingen setter vi inn i en tabell.

Vi vet at signalet blir sendt med lysfart, s? tidsintervallet m? tilsvare avstanden fra mottakeren v?r til satellittene. 

\(\Delta t_1=1.83\cdot10^{-2}\,\text{s}\\ \Delta t_2=2.08\cdot10^{-2}\,\text{s}\)

Tallet 1 vil alltid gjelde satellitt 1 og tallet 2 vil alltid gjelde satellitt 2. N? m? vi pr?ve ? finne ut av hvordan vi kan bruke dette til ? ansl? v?r posisjon. Den ?penbare l?sningen vil v?re ? bruke trilaterasjon. Det gjorde vi tidligere da vi ville finne posisjonen v?r etter take-off i dette innlegget. N? skal vi i stedet pr?ve ? bruke vinkler. 

I figuren til h?yre har vi fors?kt ? tegne et eksempel p? hvordan dette kan se ut. Vi har v?r posisjon og en vinkel \(\theta\) i positiv oml?psretning fra x-aksen. Det er denne vinkelen vi ?nsker ? finne. Den gr?nne og den bl? vektoren peker henholdsvis p? satellitt 1 og 2, med sine respektive vinkler \(\theta_1\) og \(\theta_2\). Vinklene mellom posisjonsvektoren v?r (r?d) og de to andre er gitt som \(\alpha_1\) og \(\alpha_2\). Sistnevnte er negativ, siden den g?r fra den r?de vektoren i negativ oml?psretning ned til den bl?. Igjen, dette er bare et eksempel og har ingenting med de faktiske verdiene vi har for posisjon. M?ten vi skal bruke dette p? er at vi vet at avstanden mellom v?r posisjon og satellittene er tiden lyset har brukt p? ? reise til oss. Alts? f?r vi f?lgende.

\(\begin{align} |\vec{r}_j-\vec{r}|&=c\Delta t_j\\ |\vec{r}_j-\vec{r}|&=\sqrt{(\vec{r}_j-\vec{r})(\vec{r}_j-\vec{r})}=\sqrt{r_j^2-2\,\vec{r}_j\vec{r}+r^2} \end{align}\)

Her indekserer vi med \(j\), for ? slippe ? gj?re utregningen flere ganger. Merk at \(|\vec{r}|=R\), for vi st?r jo p? planetoverflaten. Ser dere hva som skjer videre? Husker dere hvordan man regner ut prikkproduktet mellom to vektorer? Jo, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\varphi\), hvor \(\varphi\) er vinkelen mellom dem. Dermed f?r vi dette.

\(\begin{align} |\vec{r}_j-\vec{r}|=\sqrt{r_j^2+R^2-2\,r_jR\cos\alpha_j} \end{align}\)

Det vi alts? er ute etter her er vinkelen. Hvis dere ser p? figur 2, kan dere se at \(\theta=\theta_j\pm\alpha_j\), avhengig om \(\alpha_j\) er positiv eller negativ. Vi opph?yer i andre og finner vinkelen.

\(\begin{align} |\vec{r}_j-\vec{r}|^2&=(c\Delta t_j)^2\\ r_j^2+R^2-2\,r_jR\cos\alpha_j&=(c\Delta t_j)^2\\ \cos\alpha_j&=\frac{r_j^2+R^2-(c\Delta t_j)^2}{2\,r_jR}\\ \alpha_j&=\pm\arccos\bigg(\frac{r_j^2+R^2-(c\Delta t_j)^2}{2\,r_jR}\bigg) \end{align}\)

N?r vi bruker denne formelen p? verdiene i tabellen over ser vi at det er en verdi for \(\theta\) som er samsvarende for begge satellittene, \(\theta=-2.83\). Vi bruker polare koordinater

\(\vec{r}=[R\cos\theta,R\sin\theta]\)

og finner posisjonen v?r til ? v?re \([-1172.49,-569.53]\,\text{km}\). Dette er som sagt forventet, siden klokkene var synkroniserte ved start. 

N? skal vi ta med de gravitasjonelle og relativistiske effektene. Vi lar n? en langt-vekk-observat?r se p? situasjonen. Han m?ler ogs? tiden, med intervall \(\Delta t\), alts? uten noen indeks. Vi finner f?rst v?r tid, indeksert med tallet 3, relativt til langt-vekk-observat?ren. 

\(\begin{align} \Delta t_3^2=\bigg(1-\frac{2M}{R}\bigg)\Delta t^2 \end{align}\)

Her er \(\Delta r=0\) og \(\varphi=0\). Vi gj?r det samme for satellitt 1 og 2.

\(\begin{align} \Delta t_1^2=\bigg(1-\frac{2M}{r_1}\bigg)\Delta t^2-r_1^2\Delta\varphi_2^2\\ \Delta t_2^2=\bigg(1-\frac{2M}{r_2}\bigg)\Delta t^2-r_2^2\Delta\varphi_2^2 \end{align}\)

Siden \(v_\varphi=r\,dr/dt\), kan vi bruke banefarten fra i stad. N? kan vi finne tiden satellittene sendte ut posisjonen sin, lest av p? v?r egen klokke. Vi deler \(\Delta t_3^2\) p? \(\Delta t_j^2\) og f?r f?lgende uttrykk.

\(\begin{align} \Delta t_3^\text{sat. j}=\sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R}}{1-\frac{2M}{r_j}-v_j^2}}\cdot\Delta t_j \end{align}\)

Med dette kan vi finne de nye tidsintervallene v?re og se om posisjonen v?r endrer seg. De nye intervallene v?re ser i f?rste omgang helt like ut som de vi fant i stad, da vi ikke tok hensyn til effektene. Men det er snakk om veldig sm? endringer. Forskjellen er ikke gjeldende f?r langt bak komma. Vi kommer derfor ikke til ? inkludere verdiene her, men resultatet v?rt skal dere f?.

Avstandsfeilen her er s? liten at den nesten ikke spiller noen rolle. Men n? skal vi se p? hva som skjer n?r vi lar tiden g? en stund. Igjen, s? ser vi at forskjellene i tidsintervallene er vanvittig sm?, s? vi skal kun se p? resultatet.

Tiden det har g?tt mellom disse to m?lingene er tre timer, 35 minutter og 24 sekunder. Her ser vi tydelig at jo lenger tiden g?r, jo st?rre vil feilen bli. Hadde ikke GPS-satellittene korrigert for dette kunne de like gjerne ha latt v?r ? sende de opp. Grunnen til at dette skjer er at klokka g?r saktere for satellittene, og m?lingene blir dermed ikke korrekte, ettersom at de anvender radiob?lger til ? utf?re m?lingene.

Konklusjon

De relativistiske og gravitasjonelle effektene som forekommer mens GPS-satellitter skal beregne posisjoner, spiller sv?rt stor rolle p? resultatet. Etter omtrent tre og en halv time har vi regnet ut at feilen er p? nesten 160 meter. Dette avviket vil bare vokse og vokse jo lenger tiden g?r. Selv om det er meget sm? avvik fra m?ling til m?ling, vokser feilen seg st?rre og st?rre. 

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>