La oss anta at vi har to romskip som flyr i samme retning med konstant hastighet, vi flyr ogs? i samme retning midt i mellom med en lik konstant hastighet og ser p? ut p? romskipene. I et referansesystem vil s? raketten til venstre alltid ligge i origo. Plutselig observerer vi at romskipene skyter mot hverandre og tilintetgj?r hverandre.
Vi valgte kanskje et veldig d?rlig sted ? befinne oss, i midten av en galaktisk krig. Derimot er vi kun en n?ytral observat?r, og rakettenes laserstr?ler blir ufarlige n?r de skyter rett igjennom oss. Disse to bev?pnede rakettene har en distanse L mellom seg. Vi kaller s? event A for n?r den r?de raketten skyter ut sin laserstr?le og event B for n?r den bl? raketten skyter ut sin. I v?rt referansesystem skjer dette simultant ettersom vi ligger i samme referansesystem som rakettene. Etter en stund vil disse laserstr?lene treffe den andre raketten, noe som ogs? skjer simultant i v?rt referansesystem. Vi kaller det at den r?de raketten eksploderer for event C og det at den bl? raketten eksploderer for event D.
La oss n? se p? dette systemet fra et annet referansesystem, vi velger s? ? se p? systemet fra planeten som st?r stille. Hva observerer vi n??
Som vi vet, g?r jo lyset med en konstant hastighet \(c\) i alle referansesystemer. Denne farten vil alle v?re enige om uansett hvilket referansesystem du tilh?rer. Vi f?r s? ogs? vite at laserstr?lene krysser hverandre simultant i planetens referansesystem. Her oppst?r s? problemet: Hvis alle referansesystemer er enig om at lyshastigheten er konstant, m? jo den r?de raketten ha skutt f?rst (event A) for at den skal komme seg halvparten av distansen til den bl? raketten, hvor laserstr?lene krysser hverandre simultant i planeten og romskipenes referansesystem. Den bl? rakettens laserstr?le (event B) vil s? ha en mindre distanse ettersom den r?de raketten beveger seg mot den. Vi kan derfor resonnere oss fram til at fra planetens perspektiv vil vi se event A f?rst, s? event B. Etter at laserstr?lene har krysset hverandre, gjelder jo fortsatt at den r?de rakettens laserstr?le har en lengre distanse ? bevege seg enn den bl?, derfor m? event C ha skjedd f?r event D. La oss sette opp en tabell for hva som skjer:
| Rakett |
Planet |
|||
|---|---|---|---|---|
| Akse | x' | t' | x | t |
| A | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | L | 0 | xB | tB |
| M | L/2 | L/2 | xM | tM |
| C | 0 | L | xC | tC |
| D | L | L | xD | tD |
Merk at vi bruker naturlige enheter, det betyr at vi snakker om tid og rom med samme enheter. Dette f?r vi til ved ? bruke lyshastigheten som basis. Vi m?ler s? distanse i hvor lang tid det tar for lyset ? bevege seg den distansen, og fart blir m?lt i en prosentdel fra lyshastigheten slik at \(c = 1\).
La oss n? sette opp noen likninger av det vi vet vi kan beskrive fra referansesystemet til planeten for ? avduke noen av de ukjente verdiene for planetsystemet. Vi vet at:
R?d raketts posisjon:
\(x_r = x_A + v\Delta t = v\Delta t\)
Observat?rraketts posisjon:
\(x_o = x_M + v\Delta t = \frac{L}{2} + v\Delta t\)
R?d laserstr?les posisjon:
\(x_{rl} = x_A + v \Delta t = \Delta t\)
Vi kan s? sette opp en likning. Vi finner for den tiden den r?de laserstr?len treffer observat?rraketten. Vi setter s? \(\Delta t = t_M - t_A = t_M\) og skriver opp likningen:
\(x_{rl} = x_o\)
\(t_M-t_A = \frac{L}{2} + v(t_M-t_A)\)
\(t_A= t_M - \frac{L}{2(1-v)}\)
\(t_M = \frac{L}{2(1-v)}\)
Som vi ser, vil s? nevneren bli mindre jo st?rre fart vi har. Hvis farten var 0, ville vi f?tt t'M. Tiden vil s? eksplodere jo n?rmere opp mot lyshastigheten vi kommer. Vi vet ogs? at dette er den samme tiden som n?r den bl? laserstr?len m?tte den r?de. Vi kan s? regne oss fram til posisjonen til den bl? laserstr?len som beveger seg i negativ x-retning, og vi vet at \(x_{rl} = x_o = x_{bl}\) ved en tid tM:
Bl? laserstr?les posisjon:
\(x_{bl} = x_M - v\Delta t = x_M - \Delta t = \frac{L}{2} - \Delta t\)
Vi kan s? finne ut tC ved ? sette posisjonen til den bl? laserstr?len lik posisjonen til den r?d raketten:
\(x_r = x_{bl} \\ v\Delta t = \frac{L}{2}-\Delta t \\ v(t_C-t_M) = \frac{L}{2}-(t_C-t_M) \\ t_C = \frac{L}{2(1+v)} + t_M = \frac{L}{1-v^2}\)
Vi kan s? finne det generelle forholdet mellom tiden vi fant for planetsystemet og for rakettsystemet:
\(\frac{t_C}{t'_C} = \frac{L}{L(1-v^2)} = \frac{1}{1-v^2}\)
Vi kan s? gj?re om til v?re kjente enheter meter og sekund:
\(\frac{t_C}{t'_C} = \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ \)
Denne formelen virket jo ganske kjent! Vi har jo nemlig lorentzfaktoren:
\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
Men hvorfor kom vi ikke i m?l? Det har seg slik at distansen fra observat?rraketten til den r?de raketten er mindre enn fra den r?de til observat?ren! Som nevnt tidligere er dette fordi at den r?de beveger seg mot den bl? laserstr?len, mens den r?d beveger seg med. Det ville derfor egentlig ha skjedd en lengdekontraksjon som gj?r at lengden endrer seg.
Vi ser dermed ved ? endre referansesystemer er ikke alltid eventer samtidige lengre! Eventer er relativt da de fra planeten ville ha p?st?tt den r?de raketten skj?t f?rst men de i observat?rraketten ville ha sett at begge skj?t simultant.