For ? finne hvilken retning raketten peker i skal vi bruke noe som heter stereografisk projeksjon. Wow, det var en munnfull! Men hva betyr dette da? En stereografisk projeksjon er et metode for ? avbilde koordinatene fra en sf?risk overflate til koordinatene p? et plan. Dette er kanskje litt vanskelig ? se for seg, og jeg kommer tilbake til dette straks, men f?rst vil jeg kort forklare hvordan vi definerer et sf?risk koordinatsystem i tilfelle dette er litt ukjent.
Sf?risk koordinatsystem
Vi definerer et sf?risk koordinatsystem ved radius \(r\) og vinklene \(\theta\) og \(\phi\), som hver har ulike begrensninger. Vi definerer grensene p? koordinatene, hvor begrensningene p? vinklene er oppgitt i radianer:
\(0 \leq r \leq \infty\) , siden radiusen ikke kan v?re negativ og kulen kan v?re uendelig stor.
\(0 \leq \theta \leq \pi\) , siden en av vinklene vil kunne g? i en halvsirkel og dette kan ikke v?re negativt og vil heller ikke v?re st?rre enn vinkelen til en halvsirkel.
\(0 \leq \phi \leq 2\pi\) , siden den andre vinkelen vil kunne g? i en full sirkel og dette kan ikke v?re negativt og vil heller ikke v?re st?rre enn vinkelen til en runde til en sirkel.
I figur 1 kan du se en illustrasjon av det sf?riske koordinatsystemet slik vi har definert det. Videre til hva vi egentlig lurte p?, hvordan fungerer stereografisk projeksjon?
Stereografisk projeksjon
Ved stereografisk projeksjon transformerer vi koordinatene fra overflaten til en sf?re til koordinatene p? et plan, for ? lage en avbildning. Et lett gjenkjennelig eksempel p? dette er ? sammenligne en stereografisk projeksjon av jorda med en globus.
I figur 2 kan du se en stereografisk projeksjon av jorda. Hvis du sammenligner figur 2 med hvordan jorda ser ut i globus form, s? f?r du forh?pentligvis en idé om hva en stereografisk projeksjon er. N? skal vi over til det litt mer matematiske av hvordan dette fungerer. Det finnes flere m?ter ? bruke stereografisk projeksjon p?, men vi skal bruke den metoden som jeg illustrerer i figur 3 og 4.
Som du kan se i figur 3 og 4, s? vil projeksjonen "brette ut" en del av sf?ren slik at vi f?r en flate. I figur 3 kan du se en todimensjonal del av den tredimensjonale flaten som er vist i figur 4. Som du muligens har skj?nt ved alle disse figurene, s? relaterer stereografisk projeksjon de sf?riske koordinatene \((\theta, \phi)\) med de kartesiske koordinatene \((X, Y)\). I figur 4 kan du se at projeksjonen er avhengig av synspunktet v?rt, og vi tar hensyn til dette ved ? definere senteret av projeksjonen til ? v?re der \(X = Y = 0\), alts? i origo i det kartesiske koordinatsystemet. Dette senteret vil v?re transformasjonen fra det spesifikke punktet \((\theta_0, \phi_0)\) i det sf?riske koordinatsystemet.
Vi har f?lgende formler og uttrykk som relaterer koordinatene \((X, Y)\) og \((\theta, \phi)\) (du trenger ikke bekymre deg over hvor vi fikk disse fra):
\(X = \kappa sin\theta sin(\phi - \phi_0) \) (1)
\(Y = \kappa (sin\theta_0 cos\theta - cos\theta_0 sin\theta cos(\phi - \phi_0)\) (2)
\(\theta = \theta_0 - arcsin \left[ cos \beta cos\theta_0 + \dfrac{Y}{\rho} sin\beta sin\theta_0 \right]\) (3)
\(\phi =\phi_0 + arctan \left[ \dfrac{Xsin\beta}{\rho sin\theta_0cos\beta - Ycos\theta_0sin\beta} \right]\) (4)
\(\dfrac{2}{\kappa} = 1 + cos\theta_0cos\theta + sin\theta_0sin\theta cos(\phi-\phi_0)\) (5)
\(\rho = \sqrt{X^2 + Y^2}\) (6)
\(\beta = 2arctan\left( \dfrac{\rho}{2} \right)\) (7)
Disse formlene er kanskje litt vanskelig ? skj?nne, men du trenger heldigvis ikke ? forst? alt dette for ? kunne bruke de! Videre har vi en illustrasjon av hvordan koordinatene er relatert til hverandre (figur 5), hvor vi kan se at punktet \((\theta_0 , \phi_0)\) er senteret av projeksjonen, alts? origo i xy-koordinatsystemet.
Kamera og synsfelt
N? skal vi videre til hvordan vi skal bruke stereografisk projeksjon, og vi skal se p? bilder. Et kamera klarer nemlig ikke ? ta et fullstendig bilde av en sf?risk overflate, og bildet til kameraet vil v?re begrenset av synsfeltet dens. Vi betegner synsfeltet som \(\alpha\), og det er definert som vinklene bildet til kameraet spenner ut:
\(\alpha_{\theta} = \theta_{max} - \theta_{min}, \quad \alpha_{\phi} = \phi_{max} - \phi_{min}\) (8)
Med dette f?r vi begrensninger p? koordinatene \(\theta\) og \(\phi\) som ser slik ut:
\(-\dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \leq \theta - \theta_0 \leq \dfrac{\alpha_{\theta}}{2}, \quad -\dfrac{\alpha_{\phi}}{2} \leq \phi - \phi_0 \leq \dfrac{\alpha_{\phi}}{2}\) (9)
Disse begrensningene p? \(\theta\) og \(\phi\) vil medf?re begrensninger p? projeksjonen til \(X\) og \(Y\). Vi m? da finne disse begrensningene, og dette kan vi gj?re ved bruk av formlene og uttrykkene som jeg viste tidligere.
F?rst skal vi se p? begrensningene til \(X\), og vi setter da \(Y=0\) siden dette vil gj?re utregningen v?r mye lettere. Ved \(Y=0\) f?r vi at \(\theta = \theta_0 = \dfrac{\pi}{2}\). Vi bruker n? dette i likning 1 for ? finne grensene til \(X\):
\(\begin{align} X_{max/min} &= \kappa sin\theta sin(\phi - \phi_0) \\ &= \kappa \cdot 1 \cdot sin\left( \pm \dfrac{\alpha_{\phi}}{2} \right) \end{align}\)
Vi f?r dette uttrykket ved ? sette inn grensene fra likning 9, og som du nok vet s? er sinus til \(\pi/2\) lik 1. Vi kan videre flytte \(\pm\) ut av sinus siden \(sin(-x) = -sin(x) \). Vi fortsetter videre og setter inn uttrykket for \(\kappa \) fra likning 5:
\(\begin{align} X_{max/min} &= \pm \dfrac{2sin \left( \dfrac{\alpha_{\phi}}{2}\right)}{1 + cos\theta_0 cos\theta + sin\theta_0 sin\theta \cos(\phi - \phi_0) } \\ &= \pm \dfrac{2sin \left( \dfrac{\alpha_{\phi}}{2}\right)}{1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot cos \left( \pm \dfrac{\alpha_{\phi}}{2}\right)} \\ &= \pm \dfrac{2sin \left( \dfrac{\alpha_{\phi}}{2}\right)}{1 + cos \left( \dfrac{\alpha_{\phi}}{2}\right)} \end{align}\) (10)
Vi har at cosinus til \(\pi/2\) er lik 0, og at \(cos(-x) = cos(x)\), og slik fikk vi dette uttrykket som gir oss grensene til \(X\). N? vil vi finne grensene til \(Y\), og da setter vi \(X=0\) og f?r at \(\phi = \phi_0 = 0\). Vi bruker s? dette i likning 2 for ? finne grensene til \(Y\):
\(\begin{align} Y_{max/min} &= \kappa (sin\theta_0 cos\theta - cos\theta_0 sin\theta cos(\phi - \phi_0)) \\ &= \kappa (sin\theta_0 cos\theta - cos\theta_0 sin\theta cos(0-0)) \\&= \kappa (sin\theta_0 cos\theta - cos\theta_0 sin\theta) \end{align}\)
Vi vet at cosinus til 0 er lik 1. Videre ser du kanskje at vi kan bruke noen lure trigonometriske identiteter for ? gj?re dette lettere. Vi kan nemlig bruke at \(sin(x \pm y) = sinxcosy \pm cosxsiny\). Vi bruker dette og s? setter vi inn uttrykket for \(\kappa\) fra likning 5:
\(\begin{align} Y_{max/min} &= \kappa sin(\theta_0 - \theta) \\ &= -\kappa sin(\theta -\theta_0) \\ &= - \kappa sin \left( \pm \dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \right) \\ &= \mp \dfrac{2sin \left( \dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \right)}{1 + cos\theta_0 cos\theta + sin\theta_0 sin\theta cos(\phi - \phi_0)} \\ &= \mp \dfrac{2sin \left( \dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \right)}{1 + cos\theta_0 cos\theta + sin\theta_0 sin\theta \cdot 1} \end{align}\)
Her har vi brukt de samme prinsippene som tidligere. Videre kan vi bruke enda en trigonometrisk identitet for ? gj?re ting lettere for oss. Vi kan nemlig bruke at \(cos(x \pm y) = cosxcosy \mp sinxsiny\), og da f?r vi:
\(\begin{align} Y_{max/min} &= \mp \dfrac{2sin \left( \dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \right)}{1+ cos(\theta -\theta_0)} \\ &= \mp \dfrac{2sin \left( \dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \right)}{1 + cos\left( \pm \dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \right)} \\&= \mp \dfrac{2sin \left( \dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \right)}{1 + cos \left( \dfrac{\alpha_{\theta}}{2} \right)} \end{align}\) (11)
Her har vi alts? funnet grensene til \(X\) og \(Y\) definert av synsfeltet til kameraet. N? er vi klare til ? bruke all denne teorien og matematikken for ? unders?ke hvilken retning raketten peker i. F?lg med i neste innlegg!