I disse blogginnleggene skal vi dele oppskytningen i fire deler:
- Simulering av oppskytning.
- Planlegging av reise.
- Faktisk oppskytning.
- Beregning av ulike st?rrelser etter vi har kommet i bane rundt planeten.
La oss hoppe i det!
Simulering av oppskytning
Vi begynner med ? lage en simulering. Bruk av simuleringer er en veldig god m?te ? planlegge og teste ut ting p?. Dersom noe g?r galt i en simulert oppskytning vil det ikke ha noen betydning fordi man bare kan pr?ve p? nytt. Dermed er dette en veldig god m?te ? l?re p? gjennom pr?ving og feiling. Det er likevel viktig ? nevne at simuleringene er forenklinger av virkeligheten, s? man kan ikke forvente at den faktiske romreisen blir helt lik det vi simulerer. Dette skyldes at vi kun tar hensyn til planetene og stjernen n?r vi kj?rer simuleringene, mens i den faktiske oppskytningen vil det v?re m?ner, kometer og andre partikler som virker inn p? bevegelsen. Likevel vil simulasjonene gi en pekepinn p? hvordan ferden vil g?.
S? hva mener vi spesifikt med ? simulere oppskytningen? I denne sammenhengen ?nsker vi ? beregne ulike baner for raketten ved forskjellige initialbetingelser, slik som tiden for oppskytningen. Vi ?nsker til slutt ? finne ut hvilke initialbetingelser som gj?r at vi kommer n?rme nok planeten til ? komme i bane rundt den. Dette kan gj?res med testing og feiling, men det vil ikke v?re n?dvendig ? perfeksjonere fordi det vil v?re flere ting som vil p?virke banen i den faktiske oppskytningen.
Simulasjonene vil se p? hvilke baner raketten f?r n?r vi ser p? stjernen og planetenes p?virkning gjennom bevegelsen. Vi har er valgt ? gj?re en simulering der vi har de gitte inititalbetingelsene:
- \(r_0=(1.35,-0.196)AU\)
- \(v_0=(4.27,5.98)AU/yr\)
- \(t_0=6.37?r\)
Med disse initialbetingelsene ga simulasjonene oss de f?lgende grafene. Her har vi i figur 2 plottet av bevegelsen for ett ?r, og i figur 3 en plottet av figuren for 20 ?r.
Her ser vi at vi havner i en ganske stabil bane rundt sola. Som vi ser overlapper rakettens ulike baner om sola, som tyder p? at planetene ikke vil ha noe s?rlig stor p?virkning p? rakettens posisjon. Det er alts? sola som vil p?virke mest, slik som vi ville forvente. Dersom man zoomer mer inn p? banene vil man se at det er noen avvik mellom banene (se figur 4). Dette skyldes at planetene, selv om de har liten p?virkning, vil f?re til litt ulike baner for de ulike oml?pene. I tillegg vil numeriske tiln?reminger kunne f?re til litt un?yaktighet.
Planlegging av oppskytning
? lage en plan for oppskytningen kan gj?res p? uendelig mange m?ter. Her har vi valgt ? lage en veldig enkel plan. Planen er f?lgende:
- Skyt opp raketten.
- Gj?r en boost p? \(1\cdot10^{-4}AU/yr\) for ? ?ke hastigheten \(0.03yr\) etter unnslippningshastigheten er n?dd. Denne skal skje i samme retning som raketten peker
- H?p p? ? treffe planeten direkte, eller brenn mer drivstoff for ? korrigere igjen.
Som du ser er ikke dette en spesielt detaljert plan, men med litt flaks kan den fungere. Mer sannsynlig er det at vi m? gj?re noen ekstra booster underveis.
Det at vi gj?r en boost p? \(1.0\cdot10^{-4}AU/yr\) vil si at vi bruker drivstoff for ? endre hastigheten i en bestemt retning. Her har vi valgt ? gj?re dette i samme retning som raketten allerede peker i h?p om at den ved st?rre fart vil n? fram til planeten i tide. Alts? skjer boosten i positiv x-retning.
M?let v?rt er ? komme i bane om planeten vi skal lande p?. Vi sier at dette skjer n?r gravitasjonskraften fra planeten er ti ganger sterkere enn den fra sola. S? vi vil alts? fors?ke ? manuvrere romskipet slik at vi kommer n?rme nok planeten. Dette skjer n?r avstanden til planeten er gitt ved
\(l=|r|\sqrt{{M_p\over 10M_*}}\)
Dette utledet vi i et tidligere blogginnlegg. Her inng?r de f?lgende st?rrelsene:
- \(l\) er avstanden til planeten.
- \(|r|\) er avstanden fra raketten til sola.
- \(M_p\) er massen til planeten.
- \(M_*\) er massen til sola.
Oppskytning!
N? som vi har gjort noen simuleringer og gjort klar en plan er det p? tide ? gj?re den faktiske oppskyntingen. Dessverre var det noen problemer med systemet under den faktiske oppskytningen s? vi har ikke noen ordentlige m?linger av turen. Likevel skal vi fors?ke ? gjenfortelle omtrent hvordan turen gikk, men merk at dette ikke er eksakt. I figur 5 kan du se omtrentlig hvordan turen gikk.
Som du ser m?tte vi gj?re 4 boosts i l?pet av turen. F?rst gjorde vi en rett fram p? \(1.0\cdot10^{-4}AU/yr\) for ? s?rge for at vi bevegde oss raskt nok i retningen av planeten. Etter en stund var det noe som begynte ? trekke p? oss nedover (i figuren). Dette skyldtes sannsynligvis en m?ne som h?rte til hjemplaneten fordi denne befant seg under oss og var ganske n?rme rundt dette tidspunktet. Derfor hadde vi en liten boost i negativ y-retning p? \(5.0\cdot10^{-5}AU/yr\) for ? rette opp raketten igjen. Litt senere m?tte vi p? en "sky" med sm? partikler. Disse bremset ned raketten noe, s? vi m?tte sette opp farten igjen med en boost p? \(7.5\cdot10^{-5}AU/yr\). Den siste boosten brukte vi n?r vi begynte ? n?rme oss planeten. Det s? ut til at vi akkurat kom til ? bomme p? planeten rett over, s? vi satte i gang nok en boost p? \(-2.0\cdot10^{-5}AU/yr\) i x-retning som bremset ned raketten noe for at planeten skulle rekke ? bevege seg litt lenger opp f?r vi n?dde den.
Etter romreisen klarte vi ? komme inn i en stabil bane rundt planeten. I figur 6 og 7 kan du se plott av banen raketten beveger seg i om. Den f?rste figuren viser den f?rste banen raketten tok rundt planten. I figur 7 kan du se de 100 f?rste oml?pene om planeten.
Fra figuren ser det ut til at banene ligner mye, men dette skal vi sjekke med beregninger senere. Tilsvarende de banene vi fant gjennom rommet tidligere vil man se at banene ikke overlapper fullstendig dersom man zoomer nok inn p? grafen (se figur 8).
?rsakene er mye av det samme, nemlig p?virkning fra andre planeter og numeriske un?yaktigheter. N?r jeg sier numeriske un?yaktigheter mener jeg hvordan datamaskinen vil gj?re tiln?rminger som ikke alltid vil v?re eksakte. Vi gjennomf?rer jo tross alt romreisen i et datagenerert solsystem der alt beregnes med en datamaskin. N?r vi regner ut ting numerisk deler vi ofte opp i mange sm? deler som beregnes hver for seg. Dersom man skulle f?tt eksakte l?sninger m?tte man delt opp i uendelig mange deler. Dette er selvf?lgelig ikke mulig, men vi kan velge ganske h?ye antall. Dermed kan vi tilpasse antallet beregninger ut i fra n?yaktigheten vi trenger i et gitt tilfelle.
Egenskaper ved ellipsebanene
N? som vi har kommet i bane om planeten kan vi begynne ? studere banen vi tok om planeten. F?rst skal vi se p? posisjonen og hastigheten til raketten like etter den kom inn i banen. Da fikk vi de f?lgende resultatene:
| Avstand fra planetens sentrum | Magnitude til hastighet | Angul?r komponent til hastighet | Radiell komponent til hastighet |
|---|---|---|---|
| \(7.48\cdot10^{7}m\) | \(2.55\cdot10^{3}m/s\) | \(2.55\cdot10^3m/s\) | \(-1.01\cdot10^{-9}m/s\) |
S? hva forteller disse tallene oss? La oss begynne med avstanden til planeten. Som vi ser s? er vi cirka \(7480km\) over planetens sentrum, eller cirka \(900km\) over planetens overflate. Dette tilsvarer den ?vre delen av termosf?ren p? jorden, som er det nest ?verste laget i jordens atmosf?re.
Videre kan vi se p? hastigheten. Vi beveger oss med en hastighet p? \(2.55\cdot10^3m/s=9180km/h\). Til sammenligning s? kan et vanlig passasjerfly bevege seg med en hastighet p? rundt \(950km/h\), s? vi beveger oss litt over \(9.5\) ganger raskere enn det.
Videre kan vi se p? de to komponentene som inng?r i hastigheten. Vi ser raskt at med to desimalers n?yaktighet s? er magnituden til hastigheten like stor som den angul?re hastigheten. Dermed burde den radielle hastigheten v?re veldig lite. Dette stemmer godt overens med hva vi ser. Den radielle hastigheten har en absoluttverdi p? bare \(1.01\cdot10^{-9}m/s\). For ? forst? hvor ufattelig lite dette tallet er s? ville det tatt opp mot \(20\)timer ? bevege seg en avstand som tilsvarer bredden p? et h?rstr? med denne farten. ?rsaken til at hastigheten er s? liten i radiell hastighet skyldes sannsynligvis at raketten kommer direkte inn i en av de ytterste punktene i ellipsen, slik som perihelion eller aphelion slik som du ser i figur 9.
Banen er som tidligere nevnt en ellipsebane. Fra tidligere vet vi at det er flere ulike st?rrelser som beskriver formen til en ellipse. Disse har vi beregnet for v?r bane. Under kommer resultatene vi fikk fra det f?rste oml?pet. (apoapsis og periapsis er i praksis det samme som aphelion og perihelion, men brukes i stedet siden vi ser p? en rakett rundt en planet i stedet for en planet om en stjerne).
| Store halvakse | Lille halvakse | Eksentrisitet | Periode for oml?p | Avstand til apoapsis | Avstand til periapsis |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1.75\cdot10^8m\) | \(1.44\cdot10^8m\) | \(0.57\) | \(9.59\) dager | \(2.75\cdot10^8m\) | \(7.48\cdot10^7m\) |
S? hva betyr verdiene her? La oss begynne med ? se p? den store og lille halvaksen. Som vi ser er den store halvaksen rundt \(22\)% st?rre enn den lille. Til sammenligning er den store halvaksen til m?nen p? \(3.84\cdot10^8m\), s? den er noe over dobbelt s? stor som for rakettens bane.
La oss n? se p? eksentrisiteten. Den er p? \(0.57\), som tyder p? en ellipsebane slik som figurene viser. Dersom eksentrisiteten er \(0<e<1\) har vi en ellipsebane. Det at den ligger i midt i mellom tyder p? at vi ikke har en perfekt sirkel, men heller ikke en veldig "skvist" bane. Dette stemmer ogs? overens med b?de plottene og tallene for de to halvaksene.
La oss n? se p? oml?pstiden. Den er p? \(9.59\) dager. Til sammenligning er m?nens oml?pstid rundt jorda p? cirka \(27.3\) dager. Dersom vi sammenligner de store halvaksene i de to banene ser vi at forholdet er p? omtrent \(2.19\) (m?nens delt p? rakettens). Forholdet mellom oml?pstidene blir p? omtrent \(2.85\) som ogs? virker fornuftig. Vi forventer ikke her ? f? likt forhold ettersom den store halvaksen ikke alene bestemmer oml?pstiden, men siden de er knyttet sammen vil man forvente at forholdene ligner noe. Det ser vi at de gj?r her.
Til slutt kan vi se p? avstanden til apoapsis og periapsis. Her ser vi at avstanden til periapsis er lik avstanden raketten hadde til planetens sentrum med minst to desimalers n?yaktighet. Dette styrker hypotesen om at den radielle hastigheten er s? liten fordi raketten kommer inn i et punkt der raketten peker normalt p? vektoren mellom raketten og planeten.
Vi har allerede sett litt p? de ulike st?rrelsene og sammenlignet med blant annet m?nen, men gir verdiene mening rent matematisk? La oss gj?re noen beregninger for ? sikre at de stemmer. Vi skal her sjekke med noen analytiske beregninger. La oss begynne med ? se p? eksentrisiteten. Du husker kanskje fra tidligere at ekstentrisiteten \(e\) er gitt ved
\(e=\sqrt{1-\left({b\over a}\right)^2}\)
Her er \(b\) den lille halvaksen, og \(a\) er den store halvaksen. La oss se om vi f?r samme eksentrisitet hvis vi setter inn tallene.
\(\sqrt{1-\left({1.44\cdot10^8m\over1.75\cdot10^8m}\right)}=0.57\)
Som vi ser f?r vi riktig verdi for eksentrisitet.
Vi kan ogs? sjekke at avstanden til apoapsis og periapsis er mulige ved ? se p? summen av dem. Summen av de to avstandene m? n?dvendigvis tilsvare to ganger den store halvaksen. La oss se hva vi f?r.
\(2.75\cdot10^8m+7.48\cdot10^7m\approx3.5\cdot10^8m\)
\(2\cdot1.75\cdot10^8m=3.5\cdot10^8m\)
Som vi ser f?r vi de samme verdiene igjen, som er et godt tegn for gyldigheten deres.
Konsistente baner?
Helt til slutt vil vi se om banene er konsistente, alts? om de endrer seg over tid. Fra figurene vi tegnet ser vi at det m? v?re noe endring men at de er ganske sm?. S? sp?rsm?let er hvor store endringene er eksakt, og kan vi konkludere at de er like nok til ? kalle de konsistene? ?rsaken til at dette er interessant er at det kan p?virke n?r det er mest gunstig ? fors?ke ? lande.
For ? finne svaret p? det har vi valgt ? bruke de ulike st?rrelsene som vi akkurat beregnet i over. Disse ble beregnet for de 100 oml?pene, og deretter brukt for ? regne variansen for noen av st?rrelsene.
Varians er en m?te ? m?le spredning i en rekke m?linger. Alts? kan vi her bruke det til ? beregne for eksempel hvor n?rme eksentrisiteten i de ulike oml?pene ligger hverandre. Dersom variansen er liten nok kan vi konkludere med at st?rrelsene, og dermed banene er konsistente. Med en varians p? 0 vil man kunne konkludere med at de er identiske. Dette kan man ikke forvente, men vi kan likevel f? et veldig lite tall.
Variansen er beregnet med denne formelen:
\(Var[X]={1\over n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x}_n)^2\)
Her er \(X\) en liste med \(n\) elementer. \(x_i\) er elementene i listen, og i-en representerer hvilket element det er snakk om. Til slutt er \(\bar{x}_n\) gjennomsnittet av alle elementene i listen. Bokstaven \(\Sigma\) betyr at vi summerer \((x_i-\bar{x}_n)^2\) for alle elementene i listen.
Etter ? ha beregnet variansen kom vi fram til f?lgende:
Eksentrisiteten har en varianse p? \(1.41\cdot10^{-7}\), alts? et veldig lite tall. Dette tyder p? at eksentrisiteten og alts? formen p? banene er omtrent identisk i de \(100\) oml?pene. Oml?pstiden har en varianse p? \(1.43\cdot10^{-7}(dager)^2\), som nok en gang er et veldig lite tall. Alts? er oml?pstiden ogs? omtrent identisk i de \(100\) oml?pene. Basert p? at variansen er s? liten for eksentrisiteten og perioden kan vi konkludere med at oml?pene er s?rt like, og at vi alts? har konsistente st?rrelser.
N? har vi endelig klart ? skyte opp og komme i bane rundt planeten vi ?nsker. N? gjenst?r det bare ? lande p? planeten og utforske den. I neste blogginnlegg skal vi gj?re forberedelsene til landingen slik som ? modellere atmosf?ren p? planeten.