Klarer vi ? ta bilde av Casjoh, og er den fotogen?
Ombord p? romskipet skal vi ta med oss et kamera. Det er dette kameraet som skal ta bilde av den andre planeten i den beboelige sonen, nemlig Casjoh (som er planet 1).
Men kameraet v?rt har en viss oppl?sning, og det er flere faktorer vi m? ta hensyn til for ? f? et tydelig bildet av planeten. Avstanden mellom romskipet og planeten er selvf?lgelig viktig. Dersom vi er veldig langt unna planeten, vil ikke bildet bli bra og planeten blir en uklar liten flekk i midten av bildet. Et slikt bilde vil ikke l?re oss s? mye nytt om planeten, dessverre. Men vi kan heller ikke v?re for n?rme planeten n?r vi tar bildet, fordi da vil ikke kameraet klare ? fokusere, og vi vil igjen f? et uklart bilde. Vi m? finne ut av hvor n?rme, eller hvor langt unna, romfart?yet m? v?re fra planeten for ? f? et perfekt bilde. Eller ikke perfekt s? klart, et bilde som viser planeten litt tydelig er mer enn godt nok i v?re ?yne!
Kameraet v?rt er et kvadratisk bilde med \(\text P \times \text P\) piksler, hvor \(\text P\) representerer antall piksler langs én side av bildet. Om vi tar bildet av planeten med kun én piksel s? vil vi f? et veldig uklart bilde. Vi m? pr?ve ? f? med mange piksler for ? f? et godt oppl?st bilde.
I tillegg har kameraet et synsfelt p? \(\text F \times \text F\), hvor \(\text F\) er m?lt i radianer. Synsfeltet til kameraet er det omr?det som kameraet "ser" av rommet, n?r det skal ta bilde. Om kameraet har et stort synsfelt, kan vi fange opp mer av rommet i bildet som tas. Men dersom synsfeltet er for stort, s? vil planeten bli d?rlig oppl?st.
La oss finne et uttrykk for den minste avstanden som romfart?yet kan ha fra planeten, for at bildet kan oppl?se planeten, alts? at planeten vises som mer enn bare ett piksel i bildet.
Vi har et synsfelt p? \(\text F \times \text F\) radianer, hvor \(\text F\) bestemmer vinkelen av rommet som kameraet kan fange opp. Siden vi ?nsker at planeten skal v?re synlig som mer enn ett piksel, m? denne vinkelen dekke mer enn én piksel.
Fra geometrien vet vi at omr?det som en vinkel, i radianer, dekker kan beskrives slik:
\(\theta = \frac{\Delta s}{R}\)
hvor:
- \(\theta\) er vinkelen i sentrum av sirkelen m?lt i radianer
- \(\text R\) er radiusen til sirkelen m?lt i meter
- \(\Delta s\) er bulengden, alts? den buede lengden langs sirkelen i forhold til vinkelen \(\theta\), m?lt i meter
Vi kan bruke denne enkle geometrien i v?rt system. La oss se p? situasjonen fra romskipet sitt perspektiv. Kameraet i romskipet ser rett ned p? planeten. For kameraet blir planeten akkurat som en helt vanlig sirkel (ref. Figur 13).
Vi ser i Figur 13 at vi kan beskrive vinkelen som kameraet ser ved:
\(\theta = \frac{\text R}{\text L}\) \((13)\)
hvor:
- \(\theta\) er vinkelen m?lt i radianer
- \(\text R\) er planetens radius m?lt i meter
- \(\text L\) er avstanden mellom romskipet og planeten m?lt i meter
Men her har vi ikke funnet vinkelen ved ? ta buelengden delt p? radiusen. Istedenfor har vi tatt radiusen til planeten delt p? avstanden mellom planeten og romskipet. Hvorfor kan vi gj?re dette?
Vel, avstanden mellom planeten og romfart?yet, \(\text L\), virker som en radius i sirkelen vi ser p?. Vi har en indre sirkel, som er planeten og en ytre sirkel som er banen som romskipet sammen med kameraet f?lger. Avstanden \(\text L\) blir radiusen i denne sirkelen.
Men hvorfor bruker vi radiusen til planeten, og ikke buelengden? Dette kommer kanskje ikke som et sjokk, men her har vi tatt for oss enda en forenkling. For \(\theta\) har vi antatt sm? vinkler, som gj?r at vi kan bruke planetens radius for ? beskrive den totale vinkelen som kameraet dekker. Det er rimelig ? anta sm? vinkler i en situasjon lik den vi ser p?. Dette er fordi vi ser p? store objekter som er langt unna. Dette er triks vi ofte benytter oss av i astronomien og i fysikken.
Vi ser p? planeten, gjennom kameraet, fra romfart?yet. Da kan vi si at vi ser hele planeten som en skive p? himmelen foran oss. Vinkelen \(\theta\) beskriver hvor mye av planeten som dekker v?rt synsfelt fra romfart?yet. Jo n?rmere vi er planeten, desto st?rre blir denne vinkelen. Og omvendt, jo lenger unna vi beveger oss fra planeten, desto mindre er \(\theta\). Dette ser vi illustrert i Figur 13.
Planeten har radius \(\text R\), denne er avstanden fra sentrum av planeten til overflaten. Skiven som kameraet ser p? himmelen er planetens overflate, og st?rrelsen av denne bestemmes i radiusen \(\text R\). Og denne vil v?re med p? ? bestemme hvor stor planetens ser ut, sett fra v?rt synsfelt (fra romfart?yet).
Buelengden \(\Delta s\) beskriver den faktiske fysiske lengden langs overflaten til planeten. Men vi har alts? forenklet situasjonen, vi har antatt sm? vinkler, og kan derfor bruke radiusen \(\text R\) direkte.
La oss fortsette ? uttrykke den minste avstanden som romfart?yet kan ha fra planeten, for ? f? et godt oppl?st bilde. Vi har s? langt funnet en m?te ? beskrive vinkelen til synsfeltet til kameraet:
\(\theta = \frac{\text R }{ \text L}\) \((13)\)
Vi ?nsker at denne vinkelen skal gj?re slik at synsfeltet dekker mer enn én piksel. Som nevnt tidligere har kameraet en oppl?sning p? \(\text P \times \text P\) piksler. Som betyr at langs en side av bildet har vi \(\text P\) antall piksler. Alts?, vi har \(\text P\) piksler i bredden og \(\text P\) piksler i h?yden av bildet som kameraet tar. Synsfeltet til kameraet er \(\text F\), og er den totale vinkelen som kameraet ser. Kameraet har en oppl?sning p? \(\text P \times \text P\) piksler, og hele synsfeltet \(\text F \times \text F\) er fordelt utover dette. Synsfeltet \(\text F\) er fordelt over \(\text P\) piksler i b?de bredden og i h?yden, da er vinkelen som én piksel dekker lik synsfeltet \(\text F\) delt p? antall piksler \(\text P\):
\(\theta_\text{piksel} = \frac{\text F}{ \text P} \)
Dette er hvor stor del av himmelen som én piksel dekker. Jo h?yere oppl?sning vi har, alts? jo h?yere \(\text P\) er, desto mindre del av himmelen vil hver piksel dekker.
Men vi ?nsker at planeten skal v?re tydelig og godt synlig i bildet. Derfor m? planeten dekke minst én piksel. Da m? vinkelen \(\theta\) v?re st?rre en vinkelen som kun én enkelt piksel dekker, \(\theta_\text{piksel}\):
\(\theta \geq \theta_\text{piksel} \)
Da kan vi sette dette inn i utrykket vi hadde for vinkelen \(\theta\) i likning \((13)\). Da f?r vi:
\(\frac{\text R} {\text L} \geq \frac{\text F}{ \text P}\)
Hvor \(\text L\) er avstanden mellom romfart?yet og planeten. Alts? den vi ?nsket ? finne et uttrykk for. N? kan vi l?se likningen med hensyn p? \(\text L\):
\(\text L \leq \frac{\text R \text P}{ \text F}\)
hvor:
- \(\text L\) er avstanden mellom romfart?yet og planeten m?lt i meter
- \(\text R\) er radiusen til planeten m?lt i meter
- \(\text P\) er antall piksler i kameraet langs en side av bildet (men det er totalt \(\text P \times \text P\) piksler)
- \(\text F\) er kameraets synsfelt m?lt i radianer
Fra likningen ser vi jo st?rre synsfelt som kameraet har, desto n?rmere m? romskipet v?re planeten for ? kunne ha en god oppl?sning p? bildet. Fordi dersom synsfeltet, \(\text F\), ?ker. Da har vi en st?rre verdi i nevneren, og n?r vi deler p? noe stort blir verdien mindre. Alts? avstanden, \(\text L\), blir liten.
I tillegg kan vi tolke fra likningen at desto flere piksler som kameraet har, jo lengre unna kan romfart?yet v?re for ? kunne oppl?se planeten. Fordi n?r \(\text P\) er stor, blir ogs? \(\text L\) stor.
Alts?, vi ser at at avstanden \(\text L\) er proporsjonal med b?de st?rrelsen til planeten, radiusen \(\text R\), og antall piksler i kameraet \(\text P\). Og avstanden \(\text L\) er omvendt proporsjonal med kameraets synsfelt \(\text F\).