\documentclass[11pt,a4paper]{report}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english,norsk]{babel}

\usepackage{graphicx}

\pagestyle{empty}

%% Numbered exercises
\newcounter{excount}[chapter]
\newenvironment{exercise}[1][]{\addtocounter{excount}{1} \noindent {\bf Oppgave
%    \arabic{excount}
 \ \ #1}\hspace{2mm}}{\vspace{4mm}}

\title{FYS2140 Hjemmeeksamen -- V{\aa}r 2014}

\author{}


\begin{document}

\maketitle

\section*{Viktig info:}
\begin{itemize}
\item
Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn!
\item
Innleveringsfrist fredag 28.\ mars kl.\ 14.30 i skranken p{\aa} ekspedisjonskontoret. (Ikke oblighylla!) Husk {\aa} kvittere p{\aa} liste. 
\item
Leveringsfristen er absolutt.
\item
Behold en egen kopi av din besvarelse! (Du f{\aa}r ikke tilbake besvarelsen.)
\item
Hjemmeeksamen teller ca.\ 20\% av karakteren i FYS2140 og m{\aa} v{\ae}re best{\aa}tt for {\aa} best{\aa} kurset.
\item
Dette er en hjemmeeksamen, s{\aa} dere har full anledning til {\aa} bruke forelesningsnotater og annen faglitteratur for {\aa} finne fram til n{\o}dvendig informasjon. Til gjengjeld forbeholder vi oss retten til {\aa} trekke ut noen av dere til en muntlig redegj{\o}relse for besvarelsen deres senere.
\item
Der vi ber om kommentarer eller forklaringer, {\o}nsker vi korte og konsise svar som viser at dere har forst{\aa}tt poenget. Besvarelsen skal v{\ae}re pent og oversiktlig f{\o}rt inn. Husk {\aa} bruk fornuftige enheter i regningen, noen av oppgavene med numeriske svar er n{\ae}r umulig {\aa} f{\aa} til uten.
\item
Eventuell programkode vil ikke taes i betraktning i vurderingen av besvarelsen, men du kan gjerne legge ved relevante plott av resultater.
\item
Lykke til!
\end{itemize}

\cleardoublepage

\noindent
Det er i alt mulig {\aa} f{\aa} 20 poeng p{\aa} denne eksamen. Noen av oppgavene kan (b{\o}r) l{\o}ses numerisk. 

\bigskip
\begin{exercise}
\begin{itemize}
\item[{\bf a)}] Vi begynner med en klassisk oppvarming, og ser p\aa\ to klosser med masse $M$ og $m$, $M>m$, som er bundet sammen med en fj\ae r\footnote{Alts\aa\ en mekanisk fj\ae r, ikke fuglefj\ae r.} med fj\ae rkonstant $k$, og som ligger p\aa\ et friksjonsl\o st underlag. Legg $x$-aksen slik at den tunge klossen ligger i $x=0$ hele tiden. Dersom den letteste klossen slippes fra ro med et utslag $A$ fra likevektspunktet $x_0$, finn posisjonen og bevegelsesmengden til den letteste klossen som funksjon av tiden $t$ i klassisk mekanikk. [2 poeng]
\end{itemize}
Vi skal n\aa\ g\aa\ kvantemekanisk til verks. P\aa\ forelesning har vi utledet de stasjon\ae re tilstandene 
til potensialet i {\bf a)}. Imidlertid kan en partikkel, si en kvantemekanisk kloss, v\ae re beskrevet av en b\o lgepakke av de stasjon\ae re tilstandene.
\begin{itemize}
\item[{\bf b)}] Vi ser f\o rst p\aa\ en kloss som begynner i tilstanden
\begin{equation}
\Psi(x,0) = \left(\frac{1}{2\pi a^2}\right)^{1/4}e^{-(x-x_1)^2/4a^2},
\end{equation}
hvor $x_1$ og $a$ er to reelle konstanter. Lag et plott av sannsynlighetstettheten til denne tilstanden. Husk enheter p\aa\ aksene. Velg konstanter selv, men vi anbefaller lengder p\aa\ nanometerniv\aa. Hva forteller de to konstantene oss?
[2 poeng]
\item[{\bf c)}] Neste skritt er \aa\ se p\aa\ hva som skjer med denne tilstanden i et harmonisk oscillator potensial n\aa r vi lar tiden begynne \aa\ g\aa. Bruk vinkelfrekvensen $\omega=564$\,ps$^{-1}$ og likevektspunktet $x_0= 0.127$\,nm for potensialet, og anta at massen til den lette klossen er protonmassen og massen til den tyngste klossen er massen til et kloratom $^{35}$Cl. Start klossen med $x_1=0.240$\,nm og $a=0.004$\,nm. 

Gi en kort beskrivelse av oppf\o rselen der du fokuserer p\aa\ endringen i sannsynlighetsfordelingen, spesielt hvordan toppen flytter seg og hva som skjer med vidden av fordelingen. {\it Hint:} Det er nesten umulig \aa\ gj\o re dette analytisk. Snakk med din lokale datamaskin. [2 poeng]
\item[{\bf d)}] Ved hjelp av animasjonen du har laget deg i {\bf c)}, finn hvordan forventningsverdien til posisjonen $\langle x \rangle$ og bevegelsesmengden $\langle p \rangle$ endrer seg med tiden $t$ for tilstanden v\aa r. Finn ogs\aa\ $\sigma_x$ som funksjon av $t$. Gi gjerne svaret i form av en graf. Sammenlign svarene med oppgave {\bf a)}. [3 poeng]
\item[{\bf e)}] Vi gj\o r n\aa\ en m\aa ling av energien til den letteste klossen. Hva slags verdier kan vi f\aa? Gitt at vi m\aa ler $E=0.185$\,eV, hvilken tilstand er klossen i etter m\aa lingen? [1 poeng]
\end{itemize}

V\aa rt eksempel med klossene er selvf\o lgelig bare en firkantet m\aa te \aa\ snakke om et HCl-molekyl. Vi tenker oss at hydrogenatomet (egentlig protonet i kjernen) er fanget i et potensial skapt av den tiltrekkende Coulomb-kraften mellom elektronenen til Cl$^-$ ionet og protonet, og den frast\o tende kraften mellom de to kjernene. Dette potensialet ligner p\aa\ harmonisk oscilator potensialet for sm\aa\ utslag rundt likevektspunktet, hvor fj\ae rkonstanten $k$ beskriver den kjemiske bindingsstyrken mellom atomene. V\aa r gaussfunksjon gir da sannsynligheten for \aa\ finne protonet i en gitt avstand fra Cl-kjernen.\footnote{Vi burde her advare om at ditt lokale HCl-molekyl, som er i termisk likvekt med omgivelsene, nok ikke befinner seg i en slik gausstilstand, men snarere en stasjon\ae r tilstand. Mer om det senere i kurset.}

En enda bedre beskrivelse av dynamikken i et diatomisk molekyl f\aa r vi med det s\aa kalte Morse-potensialet:\footnote{Philip M. Morse, {\it Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II. Vibrational Levels}, Phys.~Rev.~34, 57--64 (1929).}
\begin{equation}
V(x) = V_0\left[e^{-2b(x-x_0)}-2e^{-b(x-x_0)}\right],
\label{eq:morse}
\end{equation}
hvor $x=x_0$ gir minimum for potensialet, $-V_0$ er den potensielle energien i minimum og $b$ er en parameter som bestemmer formen.
\begin{itemize} 
\item[{\bf f)}] Vis at harmonisk oscillator potensialet er en god tiln\ae rming til (\ref{eq:morse}) n\aa r $b(x-x_0)$ er liten. [2~poeng]
\end{itemize}
Vi velger $V_0=10.2$\,eV og $b=12.6$\,nm$^{-1}$ i de f\o lgende oppgavene for \aa\ sammenligne med harmonisk oscillator potensialet, og fordi dette er realistiske verdier for nettopp HCl.
\begin{itemize}
\item[{\bf g)}] Gi en kort beskrivelse av oppf\o rselen til b\o lgepakken (\ref{eq:morse}) i Morse-potensialet gjennom de f\o rste oscillasjonene. Kan du tenke deg en situasjon hvor Morse-potensialet er en d\aa rlig modell av fysikken for et diatomisk molekyl? [2 poeng]
\item[{\bf h)}] I forrige oppgave vil du kanskje ha lagt merke til at b\o lgefunksjonen ikke fortsetter \aa\ g\aa\ pent frem og tilbake. Det er alts\aa\ kun i den symmetriske harmoniske oscilatoren at b\o lgepakken oppf\o rer seg som i en klassisk oscillasjon. Det ligger imidlertid en overraskelse p\aa\ lur. La animasjonen g\aa\ helt frem til $t\simeq 0.613$\,ps. Hva skjer med b\o lgefunksjonen? Lag ogs\aa\ et plot av utviklingen til $\langle x\rangle$. {\it Hint:} Dersom du har bommet litt med tallene s\aa\ kan fenomenet opptre for andre tidsverdier, la gjerne animasjonen g\aa\ s\aa\ lenge at du begynner \aa\ se et m\o nster i selve animasjonen eller $\langle x \rangle$. [2 poeng]
\end{itemize}
Morse-potensialet kan i prinsippet l\o ses analytisk, men uttrykket for de stasjon\ae re tilstandene er stygt. Det viser seg imidlertid at energiene er gitt ved en korreksjon til energien for en harmonisk oscillator $E_n^{\rm HO}$:
\begin{equation}
E_n= -V_0+E_n^{\rm HO}-\frac{(\hbar\omega)^2}{4V_0}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2,
\end{equation}
hvor $n=0,1,2,\ldots$, og vinkelfrekvensen er gitt ved $\omega=b\sqrt{2V_0/m}$.
\begin{itemize}
\item[{\bf i)}] Hvor mange bundne stasjon\ae re tilstander finnes det for v\aa rt molekyl? Og hvor mye energi skal det til for \aa\ l\o srive protonet dersom det befinner seg i den laveste stasjon\ae re tilstanden? [2 poeng]
\item[{\bf j)}] Dersom vi antar at de tilh\o rende stasjon\ae re tilstandene er gitt ved $\psi_n(x)$, beskriv hvordan du n\aa\ i prinisppet kunne regnet ut sannsynligheten for \aa\ finne protonet i tilstanden med energi $E_n$ ved et tidspunkt $t$.
[1 poeng]
\item[{\bf k)}] Hvis vi ser p\aa\ Morse-potensialet i et spredningsproblem hvor et proton kommer inn fra h\o yre, hva blir transmisjons- og refleksjonskoeffisienten? [1 poeng]
\end{itemize}
\end{exercise}

\end{document}