%\documentclass[12pt,twoside]{myreport}
\documentclass[a4paper,twocolumn,nofootinbib]{revtex4}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx} %for å inkludere grafikk
\usepackage{verbatim} %for å inkludere filer med tegn LaTeX ikke liker
\usepackage{color}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{natbib}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{no115}

%\renewcommand\appendixname{Appendiks}

\newcounter{oppgave}

%multiple choice stuff:----------------------------------------
\newcounter{question}
\newif\ifinchoices
\inchoicesfalse
\newenvironment{questions}{%
  \list{\thequestion.}%
  {%
    \usecounter{question}%
    \def\question{\inchoicesfalse\item}%
    \settowidth{\leftmargin}{10.\hskip\labelsep}%
    \labelwidth\leftmargin\advance\labelwidth-\labelsep
  }%
}
{%
  \endlist
}%

\newcounter{choice}
\renewcommand\thechoice{\Alph{choice}}
\newcommand\choicelabel{\thechoice.}
\def\choice{%
  \ifinchoices
    % Do nothing
  \else
    \startchoices
  \fi
  \refstepcounter{choice}%
  \ifnum\value{choice}>1\relax
  \penalty -50\hskip 1em plus 1em\relax
  \fi
  \choicelabel
  \nobreak\enskip
}% choice
\def\CorrectChoice{%
  \choice
  \addanswer{\thequestion}{\thechoice}%
}
\let\correctchoice\CorrectChoice

\newcommand{\startchoices}{%
  \inchoicestrue
  \setcounter{choice}{0}%
	\par % Uncomment this to have choices always start a new line
  % If we're continuing the paragraph containing the question,
  % then leave a bit of space before the first choice:
  \ifvmode\else\enskip\fi
}%

\newbox\allanswers
\setbox\allanswers=\hbox{}
\newcommand{\addanswer}[2]{%
  \global\setbox\allanswers=\hbox{\unhbox\allanswers #1.~#2\quad}%
}
\newcommand{\showanswers}{%
  \vfill
  \begin{center}
    L{\o}sninger
  \end{center}
  \noindent\unhbox\allanswers
}
%End multiple choice stuff-----------------------------------------------------------

%% ------------------------------------------------------ %%
%
%%  TITLE & AUTHOR
%
%% ------------------------------------------------------ %%

\begin{document}

\title{Labøvelse FYS2150 \\ Bølgeopptikk}
\author{Fysisk institutt, UiO}
%\affiliation{UiO} %krever {revtex4}
\date{V{\aa}ren 2004, revidert \today}

%% ------------------------------------------------------ %%
%
%%  ABSTRACT
%
%% ------------------------------------------------------ %%
\begin{abstract}
I denne øvelsen skal dere studere diffraksjon av lys ved hjelp at tre ulike eksperimentelle oppsett. Først skal dere se på brytningen av monokromatisk lys som oppstår når det passerer skarpe kanter, som f.eks. en spalte. Deretter skal dere se på hvordan dette fenomenet kan brukes til å skille de ulike bølgelengdene polykromatisk lys består av. Til å gjøre dette skal dere benytte et gitterspektrometer. I den siste delen av oppgaven skal dere bruke et Fabry-Perot-interferometer. Dette instrumentet har en vesentlig høyere oppløsning enn gitterspektrometeret, som betyr at det kan skille to bølgelengder som ligger svært nærme hverandre. FP-interferometeret er faktisk så følsomt at det kan brukes til å studere oppsplittingen av degenererte energinivåer i et atom som følger av et eksternt påtrykt magnetfelt. Dere skal studere dette fenomenet, som går under navnet Zeeman-effekten.    

\end{abstract}

\maketitle{}


\section {Diffraksjon og interferens}

En plan monokromatisk lysb{\o}lge med b{\o}lgelengde $\lambda$ faller inn mot en
skjerm med en smal spalte.  B{\o}lgenormalen st{\aa}r vinkelrett p{\aa}
skjermen. Vi benytter et kartesisk koordinatsystem med $z$-aksen langs
b{\o}lgenormalen.  Et punkt p{\aa} skjermen har koordinatene $(\xi,\eta,0)$.  Et
diffraksjonsm{\o}nster observeres i et plan i stor avstand $R$ fra
skjermen. Et vilk{\aa}rlig punkt i observasjonsplanet har koordinater 
$(x,y,R)$. Geometrien er vist i Fig.~\ref{fig:geometri}.  Spalten har
bredde $a$ og lengde $b$.


\begin{figure} [htb]
\includegraphics[width=86mm]{fig1.png}
\caption{Geometrien som benyttes ved beregning av det elektrisk feltet
i et punkt $(x,y,R)$ i observasjonsplanet.}
\label{fig:geometri}
%\vspace{0.3cm}
\end{figure}

Det elektriske feltet i lysb{\o}lgen beskrives ved hjelp av en kompleks
skalarfunksjon $\phi$. Vi vil finne ut hvordan $\phi$ varierer over
observasjonsplanet ved {\aa} benytte Huygens prinsipp. Hvert punkt 
$(\xi,\eta,0)$ 
p{\aa} b{\o}lgefronten i spalte{\aa}pningen er utgangspunkt for en kuleb{\o}lge
\begin{displaymath}
\phi(s,t)\equiv {1\over s}e^{i(ks-\omega t)}.
\end{displaymath}
Her er $k=2\pi/\lambda$ vinkelb{\o}lgetallet, 
$\omega$ er vinkelfrekvensen, $t$ er tiden, og $s$ er
avstanden mellom $(\xi,\eta,0)$ og observasjonspunktet $(x, y, R)$:
\begin{displaymath}
s = \sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+R^2}\;.
\end{displaymath}  
Verdien av funksjonen $\phi$
i punktet $(x, y, R)$ i observasjonsplanet finnes ved {\aa} superponere
kulefunksjonene fra alle punktene i spalte{\aa}pningen.  I det generelle
uttrykk for denne superposisjon er hver kulefunksjon multiplisert med
en vinkelavhengig faktor $\chi$.  Det vil f{\o}re for langt {\aa} diskutere det
generelle uttrykket her.  Vi innf{\o}rer restriksjonene
\begin{displaymath}
a<<R,\ b<<R,\ |x|<<R,\ \mathrm{og}\ |y|<<R\;,
\end{displaymath}
slik at vi
kan approksimere faktoren $\chi$ ved tallet 1 i superposisjonen, dvs.\ i
integralet av $\phi(s,t)$ over spalte{\aa}pningen.

Ovenst{\aa}ende restriksjoner gj{\o}r det mulig {\aa} erstatte $s$ i
integralet med uttrykket
\begin{displaymath}
R+{{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}\over{2R}}\;.
\end{displaymath}
I nevneren i uttrykket for kulefunksjonen beholder vi bare det f{\o}rste
leddet her, dvs.\ at vi erstatter $s$ med konstanten $R$.  Dette medf{\o}rer
at dobbelintegralet over $\xi$ og $\eta$ forenkles til et produkt av to enkle
integraler.  For {\o}vrig velges observasjonspunktene slik at vi kan
neglisjere kvadratleddene $\xi^2$ og $\eta^2$ 
i eksponentialfunksjonen.  Illuminansen $E$
i observasjonsplanet er proporsjonal med $|\phi(x,y)|^2$.  
Vi begrenser oss n{\aa} til {\aa}
finne ut hvordan $E$ avhenger av $x$.  For en konstant verdi av $y$ f{\aa}r vi
endelig
\begin{equation}
E(x)\propto \left| \int{e^{-{{2\pi i\xi x}\over{\lambda R}}}}d\xi\right|^2
=a^2\left({{\sin(\pi au)}\over{\pi au}}\right)^2\;,
\label{eq:enkelspalte}
\end{equation}
der $u\equiv x/(\lambda R)$.

Hvis skjermen har to smale, parallelle spalter med bredde $a$ og
plassert slik at avstanden mellom spaltene er $A$, blir
%\begin{equation}
%E_2(x) \propto a^2\left({{\sin(2\pi Au)}\over{\sin(\pi Au)}}\cdot
%{{\sin(\pi au)}\over{\pi au}}\right)^2
%\end{equation}
\begin{equation}
E_2(x) \propto 4a^2 \cos^2(\pi A u)\left({{\sin(\pi au)}\over{\pi au}}\right)^2\;.
\label{eq:doubleslit}
\end{equation}
Her har vi blant annet brukt sammenhengen $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ for å forenkle uttrykket. For $N$ parallelle spalter (et ``gitter'') ender vi opp med uttrykket 
%Integrasjonsomr{\aa}det er i dette tilfellet lik unionen av intervallene
%\begin{displaymath}
%\left<-{{A+a}\over 2},-{{A-a}\over 2}\right>\ \mathrm{og}\ 
%\left<{{A-a}\over 2},{{A+a}\over 2}\right>.
%\end{displaymath}

%For $N$ parallelle spalter (et ``gitter'') f{\aa}r vi det med generelle uttrykket:
\begin{equation}
E_N(x) \propto a^2\left({{\sin(N\pi Au)}\over{\sin(\pi Au)}}\cdot
{{\sin(\pi au)}\over{\pi au}}\right)^2.
\label{eq:gittmaksimum}
\end{equation}
Interferensm{\o}nsteret i observasjonsplanet blir n{\aa} ganske komplisert.
Illuminansen i observasjonsplanet f{\aa}r hovedmaksima n{\aa}r
\begin{equation}
x={{m\lambda R}\over A},\ m=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ ... .
\label{eq:hovedmaksimum}
\end{equation}
Illuminansen er lik null n{\aa}r
\begin{displaymath}
x={{\lambda R}\over{AN}},\ 2{{\lambda R}\over{AN}},\ 
  ..., (N-1){{\lambda R}\over{AN}},\ (N+1){{\lambda R}\over{AN}},\ ...
\end{displaymath}
Det er $(N-1)$ nullpunkter mellom to nabohovedmaksima.  Det er $(N-2)$
sekund{\ae}re maksima mellom to nabohovedmaksima.  De sekund{\ae}re maksima
har mye mindre illuminans enn et hovedmaksimum. Halvparten av bredden
til et hovedmaksimum er $\lambda R/(AN)$.

N{\aa}r lysets b{\o}lgelengde forandres fra $\lambda$ til 
$\lambda+\Delta\lambda$, 
forskyves posisjonen til et
hovedmasksimum fra $x=m\lambda R/A$ til 
$x+\Delta x=m(\lambda+\Delta\lambda) R/A$, 
slik at $\Delta x=mR\Delta\lambda/A$.  Vi kan klare {\aa} skille de
n{\ae}rliggende hovedmaksima svarende til b{\o}lgelengdene $\lambda$ og 
$\lambda+\Delta\lambda$ hvis $\Delta x$ er lik
eller st{\o}rre enn halvparten av bredden til et hovedmaksimum.  Herav
f{\o}lger at gitterets oppl{\o}sningsevne er $\lambda/\Delta\lambda=mN$.

Hvis skjermen p{\aa} Fig.~\ref{fig:geometri} har en sirkul{\ae}r apertur, blir
diffraksjonsm{\o}nsteret rotasjonssymmetrisk.  Illuminansen i et plan i
stor avstand R fra aperturen er proporsjonal med
\begin{displaymath}
\left({{2J_1(w)}\over w}\right)^2\;,
\end{displaymath}
der $J_1$ er Besselfunksjonen av f{\o}rste orden og
\begin{displaymath}
w={{\pi a r }\over{\lambda R}}\;.
\end{displaymath}
Her er $a$ aperturens diameter og $r$ er avstanden fra
diffraksjonsm{\o}nsterets sentrum (i observasjonsplanet).  De f{\o}rste
nullpunktene til $J_1$ er 
\begin{displaymath}
0\ \  3,832\ \  7,016 \ \ 10,173\ \  13,324.
\end{displaymath}

\stepcounter{oppgave}
\subsection*{Oppgave \theoppgave. Enkeltspalter med forskjellige bredder}
Benytt spalter med kjente bredder.  Det er hensiktsmessig {\aa} returnere
lyset ved hjelp av et speil slik at observasjonsskjermen kan plasseres
n{\ae}r spalten.  M{\aa}l avstanden mellom to m{\o}rke omr{\aa}der i
diffraksjonsm{\o}nsteret.  Disse omr{\aa}dene b{\o}r ligge s{\aa} langt fra
hverandre som mulig.  Benytt den m{\aa}lte avstand til {\aa} bestemme spaltens
bredde (du trenger enkeltspaltens illuminansuttrykk).  Sammenlikn de
eksperimentelt bestemte verdier for spaltenes bredder med de oppgitte
verdier.

\stepcounter{oppgave}
\subsection*{Oppgave \theoppgave. To parallelle spalter}
Vi {\o}ker tverrsnittet p{\aa} laserstr{\aa}len ved hjelp av to konvekse
linser. N{\ae}rmest laseren plasseres en linse med en brennvidde p{\aa} 20~mm.
Den andre linsens brennvidde er 200~mm.  Avstanden mellom linsene
velges lik summen av brennviddene (dette er en ``afokal'' sammensatt
linse).  Spaltebredde og avstand mellom spaltene er oppgitt.  Hvor
mange illuminansmaksima (lyse striper) venter du {\aa} finne innenfor
enkeltspaltens sentrale diffraksjonstopp?  Unders{\o}k om det observerte
antall striper stemmer overens med det forventede antall.

\stepcounter{oppgave}
\subsection*{Oppgave \theoppgave. Flere parallelle spalter}
Unders{\o}k hvordan interferensm{\o}nsteret forandres n{\aa}r antall spalter vokser. 

\stepcounter{oppgave}
\subsection*{Oppgave \theoppgave. Sirkul{\ae}r apertur}
Benytt en sirkul{\ae}r apertur med oppgitt diameter (fjern linsene som ble
benyttet til {\aa} utvide laserstr{\aa}len).  Beregn verdiene p{\aa} diameterne
til de innerste m{\o}rke ringene i diffraksjonsm{\o}steret p{\aa}
observasjonsskjermen. Unders{\o}k om de m{\aa}lte diameterne stemmer overens
med de forventede verdier.

\section{Gitterspektrometeret}
Et spektrometer best{\aa}r i hovedsak av en kollimator, et gitter eller
prisme og en kikkert med tr{\aa}dkors i okularet.  Kollimatoren er et r{\o}r
med en justerbar spalte i den ene enden og en konveks linse i den
andre. Spalten befinner seg i linsens brennplan.  N{\aa}r spalten belyses
av f.\ eks.\ en spektrallampe, kommer det parallelt lys ut fra
kollimatoren.  Et gitter plassert vinkelrett p{\aa} kollimatoraksen vil
avb{\o}ye spektralkomponentene i lyset fra lampen i forskjellige
retninger.  Ved hjelp av kikkerten, som b{\o}r v{\ae}re innstilt p{\aa}
``uendelig'', kan vinklene svarende til disse retningene leses av p{\aa}
spektrometerets gradskala.\footnote{Se 
\url{https://www.youtube.com/watch?v=h-e1mW1Qs2s} 
for en demonstrasjon i bruken av
spektrometerets gradskala.}  Avlesningen foretas n{\aa}r kikkertens tr{\aa}dkors
faller sammen med spektrallinjen.  Det er fordelaktig {\aa} observere en
spektrallinje med kikkerten i to posisjoner.  Den ene gangen er
kikkerten i posisjonen $\alpha_h$, til h{\o}yre for kollimatoraksen.  Den andre
gangen er kikkerten i posisjonen $\alpha_v$, til venstre for
kollimatoraksen. Avb{\o}yningsvinkelen som skal settes inn i
gitterlikningen
\begin{displaymath}
d\sin\theta=m\lambda
\end{displaymath}
er lik 
\begin{displaymath}
\theta={{\alpha_h-\alpha_v}\over 2}.
\end{displaymath}
Her er $m$ spekterets orden og $d$ er gitterkonstanten,
dvs.\ avstanden mellom strekene i gitteret.

Uttrykket for den relative usikkerheten i b{\o}lgelengden er
\begin{displaymath}
{{\Delta\lambda}\over \lambda}=\sqrt{\left({{\Delta d}\over d}\right)^2+
\left({{\Delta\theta}\over{\tan\theta}}\right)^2}\;,
\end{displaymath}
der
\begin{displaymath}
\Delta\theta={1\over 2}\sqrt{\left(\Delta\alpha_h\right)^2
+\left(\Delta\alpha_v\right)^2}\;.
\end{displaymath}
{\bf NB! Det er viktig {\aa} uttrykke usikkerheten  i radianer.}

\stepcounter{oppgave}
\subsection*{Oppgave \theoppgave. Balmerlinjer}
En hydrogenlampe settes foran kollimatorspalten.  Bestem b{\o}lgelengdene
til de spektrallinjene du klarer {\aa} se tydelig.  Ansl{\aa} usikkerhetene i
vinklene $\alpha_h$ og $\alpha_v$, 
og beregn de tilh{\o}rende usikkerhetene i b{\o}lgelengdene.
Gitterkonstanten $d$ kan regnes ut fra antall streker pr.\ tomme, som er 
oppgitt.  Sammenlikn de b{\o}lgelengdene du finner
med de teoretiske verdiene som er gitt ved
\begin{displaymath}
\lambda_n={1\over{R\left[\left({1\over 2}\right)^2
                        -\left({1\over n}\right)^2\right]}}\;,
\end{displaymath}
der Rydbergkonstanten $R = 1,097\cdot 10^7$~m$^{-1}$ og hovedkvantetallet 
$n = 3,\ 4,\ 5,\ ...$. 

\stepcounter{oppgave}
\subsection*{Oppgave \theoppgave. Heliumlinjer}
En heliumlampe settes foran kollimatorspalten.  Bestem b{\o}lgelengdene
til {\em minst} en r{\o}d, en gul, en gr{\o}nn, en bl{\aa} og en bl{\aa}fiolett
spektrallinje.  Ansl{\aa} usikkerhetene i de avleste vinklene og beregn de
tilh{\o}rende usikkerhetene i b{\o}lgelengdene.



\section{3.  Zeeman-effekten}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Zeeman-effekten er et  magneto-optisk fenomen som vi kan forklare ved hjelp av kvantemekanisk teori. Effekten handler kort oppsummert om at energien assosiert med et ``hopp'' fra et elektronskall til et annet kan påvirkes av et ytre magnetfelt. Fra Planck-Einstein-sammenhengen ($E=h\nu$) ser vi at vi kan observere dette som en liten endring i frekvens $\Delta\nu$, med andre ord en liten fargeforandring i lyset som sendes ut.   

Endringen $\Delta \nu$ som vi ser etter er svært liten (langt svakere enn vårt øye klarer å skille, og også mindre enn oppløsningen til gitterspektrometeret dere brukte i forrige oppgave). Derfor trenger vi et meget følsomt instrument for å oppdage den. I dette forsøket skal dere bruke et \emph{Fabry-Perot interferometer} (også kalt FP etalon). FP-interferometeret har så stor oppløsning\footnote{FP-interferometre var sentrale da forskere endelig klarte å observere gravitasjonsbølger høsten 2015, noe som sier litt om følsomhetspotensialet til dette instrumentet. Instrumentene som ble brukt til dette var dog av en litt annen størrelsesorden enn vi har tilgjengelig i vår lab. For mer informasjon, søk opp ``Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory''.} at vi kan bruke Zeeman effekten til å måle
verdien av Bohr-magnetonet $\mu_B$, som er (nesten) lik det fundamentale magnetiske momentet 
fra egenspinnet til et enkelt elektron.  

\subsection{Spinn i kvantemekanikken}
Det magnetiske momentet til en klassisk partikkel med masse $m_e$, ladning $q$ og spinn $S$
er $\mu = g q S/2m_e$. Vi har valgt å ta med den dimensjonsløse faktoren $g$, som har vist seg å være en av de viktigste
størrelsene i moderne fysikk. I klassisk mekanikk er $g=1$. I kvantemekanikken er også $g=1$ for vanlig banespinn,
men for egenspinnet til elektronet sier kvantemekanikken at $g_e=2$.  

Kvante-spinnkomponenten til elektronet langs en akse er  $S_z = \hbar/2$.  
Altså følger det at elektronets magnetiske moment er:  
%\begin{align*}
\[
\mu_e \approx \frac{e\hbar}{2m_e} \equiv \mu_B\;,
\]
%\end{align*}
hvor $\mu_B$ kalles Bohr-magnetonet. Legg merke til ``omtrent lik''-symbolet etter $\mu_e$ i ligningen over. Det viser seg at denne sammenhengen ikke er eksakt, noe som blir utdypet i neste avsnitt. Avviket er imidlertid såpass lite at det ikke spiller noen praktisk rolle for forsøket dere skal gjøre. 


\subsection{Digresjon om betydningen av presisjonsmålinger}

For elektronet har man fra partikkelfysikken funnet den eksperimentelle verdien
$g_e = 2.002\,319\,304\,361(53)$, som stemmer meget godt med den teoretiske 
verdien.  Ifølge kvanteelektrodynamikken er korreksjonen til laveste orden (``en løkke'')
$g_e =  2  + \alpha / \pi \approx 2.002\,32$.
\emph{Finstrukturkonstanten} $\alpha$ er gitt av forholdet mellom to fundamentale ladninger:
$\alpha^{-1} = (e_P/e)^2 =  137.035\,999\,074(44) \approx 137.0$,
der $e = -1.602\,176\,565\,(35)\times 10^{-19}$~C er elektronets ladning, og
Planck-ladningen $e_P = \sqrt{2\varepsilon_0 c h} =  1.875\,545\,9\times 10^{-18}$~C er
kun gitt av fundamentale fysiske størrelser:  
Plancks konstant $h = 6.626\,069\,57\times10^{-34}$~Js,
permittiviteten $\varepsilon_0 = 8.854\,187\,817\,620\times 10^{-12}$~F/m til det tomme rom, 
og lysets hastighet $c$ i denne tilstanden.\footnote{Det har hittil 
	ikke vært mulig å påvise at den elektriske konduktiviteten i \emph{kvante-Hall-effekten} avviker fra et helt antall
	``naturlige'' enheter  $G_K = 1/R_K = 2 \varepsilon_0 c\alpha$.  Derfor kan $\alpha$ nå måles 
	``på kjøkkenbenken'' med omtrent samme presisjon som i høyenergifysikken.}

Avviket fra den kvantemekaniske verdien $g=2$ skyldes bl.a. \emph{vakuum-fluktuasjoner}, 
og viser at kvantefeltteori er nødvendig for å gi en fullverdig og konsistent beskrivelse.
Den eksperimentelle verdien av $g_e$ stemmer så godt med Standardmodellen at dette er den beste 
modellen vi har i fysikken.  
For tiden er det tilsynelatende et lite statistisk avvik ($3.5\,\sigma$) mellom teori og eksperiment.  
I beste fall kan dette vise seg å skyldes ny fysikk utenfor Standardmodellen,
men i partikkelfysikken krever en ``oppdagelse'' et avvik på minst $5\,\sigma$, 
dvs. at sannynligheten for at avviket skyldes en statistisk fluktuasjon er mindre enn $3\times 10^{-7}$.

%%%%%%   BEGIN  FIGURE  %%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[t]  %[htbp]  
	\begin{center}
		%\includegraphics[scale = 0.18]{Magnet-FPetalon.jpg}
		\def\svgwidth{1\columnwidth}
		\input{Oppsett_Zeeman.pdf_tex}
	\end{center}
	\caption[]{Skisse av oppsettet dere skal bruke for å studere Zeeman-effekten.\footnote{Veileder: 
			Lampen = PHYWE09050.01 skal ha strøm fra PHYWE Power Supply for Spectral Lamps (11727.93).  
			Elektromagneten = PHYWE06480.01 (FI3579)(FL0002) 
			($\leq 640\,$mA at $4A$) skal ha strøm fra PHYWE Stelltrafo/Power Supply (13531.93).
			NB: Spolene skal seriekobles! (inn-rød-blå-rød-blå-ut).
			Amp.meter = BK Precision 3 1/2 digit multimeter (Model 2832) ($\leq 4 A$). 
			$L_1$ er montert på FP (vendes?), $L_2 = +300$ ca. 20 cm fra FP, 
			$L_3 = +100$ ca 30 cm fra $L_2$. 
			$B$-feltet sjekket med Hall-sonde 4.11.2011 ($I = 0, \dots 2A$). Kameraet (Pro-MicroScan 5866 med device driver DCM130E) skal leses ut med {\tt minisee}-programmet fra ScopeTek.}}
	\label{fig:OppsettZeeman}
\end{figure}
%%%%%%   END  FIGURE  %%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Eksperimentet} 

I denne øvelsen skal dere studere oppsplittingen av den røde spektrallinjen\footnote{Geometrien til 
	FP-interferometeret er slik at ``linjene'' er ringer, men språkbruken arves fra gitterspektrometrien,
	hvor spaltene gir spektrallinjer (atomets ``bar-kode'').}
med $\lambda_0=643.8\,$nm fra en kadmiumlampe som er plassert i et magnetfelt med 
flukstetthet $B$ av størrelsesorden 1 Tesla (se Fig.\,\ref{fig:OppsettZeeman}).
Magnetfeltet splitter opp den opprinnelige ``linjen'', fordi  denne skyldtes fotoner fra flere 
ulike kvantetilstander med samme energi (\emph{degenererte kvantetilstander}, se Fig.\,\ref{fig:KadmiumLevels}). For et gitt banespinn $L$ er det  $2L+1$ degenererte tilstander. 
I et magnetfelt er den ``spinnløse'' tilstanden (den med $L_z$ kvantetallet $m = 0$)
upåvirket, mens de andre får mer energi (hvis $m >0$) eller mindre energi (hvis $m <0$).


I vårt tilfelle er det 9 tillatte overganger, hver med 3 forskjellige energidifferanser (se  Fig.\,\ref{fig:KadmiumLevels}).
Der hvor det med $B=0$ var kun en farge $\lambda_0$ i spekteret, har vi med $B \neq 0$ tre farger $(\lambda_0-\Delta\lambda,\,\lambda_0,\,\lambda_0+\Delta\lambda)$. Endringen $\Delta \lambda$ er imidlertid svært liten, dvs i størrelsesorden noen pico-meter ($10^{-12}$ m). Dette er vesentlig mindre enn vi kan observere med det blotte øye, og også utenfor oppløsningen til et vanlig gitterspektrometer.


Frekvensforskjellen (husk at sammenhengen mellom bølgelengde og frekvens er $\lambda \nu = c$) kan vi beregne kvantitativt slik:
\begin{equation*}
\Delta\nu = \nu_a - \nu_b = 2\mu_B B/h\;.
\end{equation*}

Vi studerer tilfellet hvor magnetfeltet står normalt på lysretningen.  Lyset er da
planpolarisert, og det elektriske feltet til de to nye linjene står normalt
på det elektriske feltet til lyset med bølgelengde $\lambda_0$. Ved hjelp
av en analysator filtrerer vi bort linja med bølgelengde
$\lambda_0$ og betrakter i det som følger bare linjene med frekvens
$\nu_a$ og $\nu_b$.

%%%%%%   BEGIN  FIGURE  %%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[t]  %[htbp]  
	\begin{center}
		\includegraphics[scale = .38]{Magnet-KadmiumLevels.pdf}
	\end{center}
	\caption[]{Noen tillatte kvantesprang i kadmium, før og etter at magnetfeltet $B$ splitter
		tilstander med ulike ``magnetiske'' kvantetall $M_L$. Spinnbevaring medfører at $\sigma$- og $\pi$-fotoner
		er ortogonalt polalisert.}
	\label{fig:KadmiumLevels}
\end{figure}
%%%%%%   END  FIGURE  %%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%   BEGIN  FIGURE  %%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[t]  %[htbp]  
	\begin{center}
		\includegraphics[scale = .7]{Magnet-FPRings.jpg}
	\end{center}
	\caption[]{Interferensringer fra et FP-interferometer ($n$ er ikke interferensmaksimum  nr. 1,2,3,... etc., 
		jmf. Fig.\,\ref{fig:Braggbet}).
		\label{fig:FPRings}}
\end{figure}
%%%%%%   END  FIGURE  %%%%%%%%%%%%%%


\subsection{Interferometeret}

FP-interferometeret er basert på interferens av lys som blir
delvis reflektert mellom to semitransparente tynne parallelle plater.
I vårt FP-interferometer er avstanden mellom platene $t \approx 3.00\,$mm.  
Noe lys går direkte gjennom platene, mens resten blir
reflektert en eller flere ganger fra hver overflate før det fortsetter
i retning forover (Fig.\,\ref{fig:Braggbet}).
En linse bak de halvgjennomsiktige platene samler parallelle
stråler slik at de blir fokusert på en kamerabrikke plassert bak linsen (Fig. \ref{fig:OppsettZeeman}).


%%%%%%   BEGIN  FIGURE  %%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[t]  %[htbp]  
	\begin{center}
		\includegraphics[scale = .38]{Magnet-FPgeometri.jpg}
	\end{center}
	\caption[]{Geometrien til strålegangen i et FP-interferometer (utledning av  lign.\,(\ref{eq:2tcos})).
		Fordi det er luft mellom platene har vi antatt at lyset ikke brytes på vei inn og ut av interferometeret.
		Den siste likningen er betingelsen for å få konstruktiv interferens:  gangforskjellen $\Delta d$ 
		må være et helt antall bølgelengder for at strålene skal være i fase 
		(her er $\Delta d \approx 10\,000 \,\lambda \approx 6\,{\rm mm} \approx 2t$).}
	\label{fig:Braggbet}
\end{figure}
%%%%%%   END  FIGURE  %%%%%%%%%%%%%%%

Konstruktiv interferens oppstår når gangforskjellen som følge av indre
refleksjon er et helt antall bølgelengder (se Fig.\,\ref{fig:Braggbet}):
\begin{equation}
n\lambda=2t \cos{\theta} \approx 2t \quad (n\in\mathbb N)\;.
\label{eq:2tcos} 
\end{equation}
Radien  $r=f\tan{\theta}$ til ringen på kamerabrikken er bestemt av 
brennvidden $f$ til linsen.  Mange ringer er synlige på skjermen,
hver enkelt assosiert med en bestemt bølgelengde og orden,  
se Fig.\,\ref{fig:FPRings}.


\subsection{Bestemmelse av frekvensforskjellen $\Delta\nu$}

For en gitt bølgelengde $\lambda_a$ har vi at $n\lambda_a = 2t\cos\theta_{n,a}$ og
$(n-1)\lambda_a = 2t\cos\theta_{n-1,a}$, som gir
$$\lambda_a = 2t (\cos\theta_{n,a} - \cos\theta_{n-1,a})\;. $$
For små vinkler er $r/ f = \tan \theta \approx \theta$ og 
$\cos{\theta}\approx 1- \theta^2/2$, som innsatt i forrige likning gir 
\begin{equation}
\lambda_a =  c/\nu_a = {t\over{f^2}}(r^2_{n-1,a}-r^2_{n,a})\;.
\label{eq:one}
\end{equation}
Vi merker oss at differansen mellom kvadratene av radiene for to hosliggende ringer er konstant.

Helt tilsvarende finner vi for to linjer av samme orden $n$, men
forskjellige bølge\-len\-gder $\lambda_a$ og $\lambda_b$ og frekvenser $\nu_a$ 
og $\nu_b$ at
\begin{equation}
\Delta\nu=\nu_a-\nu_b={{\nu_a\nu_b t}\over{cf^2n}}(r^2_{n,a}-r^2_{n,b}).
\label{eq:two}
\end{equation}

Vi må kvitte oss med det ukjente tallet $n \,(\sim 10^4)$.
Vi starter med å sette inn $\nu_b$ fra ligning\,(\ref{eq:one})  i ligning\,(\ref{eq:two}):
\begin{displaymath}
\Delta\nu={\nu_a\over n}{{r^2_{n,a}-r^2_{n,b}}\over{r^2_{n-1,b}-r^2_{n,b}}}.
\end{displaymath}
I dette uttrykket kan vi tillate oss å sette $\nu_a/n\approx c/2t$,
slik at vi sitter igjen med et utrykk hvor kun diametrene 
$d_1 = 2 r_{n,b} < d_2 = 2 r_{n,a} < d_3 = 2 r_{n-1,b}$
til de tre innerste ringene skal måles:
\begin{equation*}
\Delta\nu =  \frac{c}{2t}\; \frac{d^2_2 - d^2_1}{d^2_3 - d^2_1}\;.
\label{eq:three}
\end{equation*}
\\
\textbf{Oppgaver:}
\begin{itemize}
	\item Undersøk eksperimentelt om lyset er planpolarisert slik teorien tilsier. Lagre bilder av ring-strukturen for å dokumentere funnene.
	\item Lagre et bilde av ringstrukturen slik at du kan beregne $\Delta \nu$ og $\mu_B$. Til dette trenger du et bilde av de tre innerste ringene som \emph{ikke} er der når $B=0$. Husk å notere strømstyrken du bruker på elektromagneten, og sjekk hvilken $B$-felt styrke det tilsvarer på tabell ved elektromagneten
	\item Regn ut $\Delta \nu$ og $\mu_B$. Diskuter usikkerheten og sammenlign med andre kilder. (Dette punktet er rapport-materiale, men det er lurt å gjøre et overslag mens dere er på labben for å sjekke om dere har gjort brukbare målinger. Da har dere muligheten til å rette det opp ved å gjøre nye målinger.)
\end{itemize}

Til dere som tar kvantefysikk (FYS2140) parallelt med FYS2150: Læreboken (Griffiths~\cite{Griffith}) inneholder et delkapittel om Zeeman-effekten, og kan være et nyttig supplement for de som ønsker å sette seg ekstra godt inn i teorien. 


\section*{Referanser}
\bibliography{ReferanserBolgeoptikk}



%-------------------------------------------------------------------------
%prelab-section
%_----------------------------------------------------------------------
%% \vspace{1cm}
%% \hrule
%% \section{Prelaboppgaver}
%% \subsection*{Kort informasjon}
%% Disse oppgavene må løses før dere skal på laben. Besvarelsen skal leveres gjennom en flervalgsprøve \textbf{på Fronter}. Denne finner du i fellesrommet, under mappen ''Prelab''. Maksimal uttelling er 20 poeng, grense for bestått er 15 poeng. \textbf{Prelaboppgavene må være levert og bestått før labdagen}. Disse oppgavene skal sørge for at dere har lest og forstått oppgaveteksten før dere kommer på laben, slik at arbeidet der blir mest mulig effektivt. 

%% Dere vil trenge noen datasett for å gjøre beregningene i oppgavene under. Disse ligger i en mappe kalt ''skript og filer til bruk på lab og prelab''. Denne finner dere i øvingsmappen i fellesrommet på Fronter, samme sted som dere fant denne oppgaveteksten. 

%% Du trenger følgende filer til disse oppgavene:
%% \begin{itemize}
%% \item ``fft\_diffraction.m''
%% \item ``zeeman1.bmp''
%% \end{itemize}  

%% \subsection*{Oppgavene}

%% \begin{questions}

%% \question Gitterkonstanten $d$ er avstanden mellom 2 linjer. For en gitter med $30000$ linjer per tomme, hva er gitterkonstanten $d$? \emph{Hint: }$1$ tomme $= 2.54\,$cm \\ \textbf{1 poeng}

%% \choice $d=84.6\,$nm \\
%% \correctchoice $d=846.7\,$nm\\
%% \choice $d=33.3\,\mu$m\\
%% \choice $d=63.1\,\mu$m\\

%% \question Rydbergkonstanten er $R=1.097\cdot 10^7\,$m$^{-1}$. De teoretiske bølgelengdene for kvantaoverganger i hydrogen er $\lambda=R^{-1}/(1/n_{1}^2-1/n_{2}^2)$. Hvilke bølgelengder fra en hydrogenlampe burde vi kunne {\bf se}? \emph{NB: } Flere alternativer er riktig. \\ \textbf{inntil 2 poeng}

%% \choice $182.3\,$nm\\
%% \choice $397.0\,$nm\\
%% \correctchoice $410.2\,$nm\\
%% \correctchoice $434.1\,$nm\\
%% \correctchoice $486.2\,$nm\\
%% \correctchoice $656.3,$nm\\

%% \begin{figure}[h!]
%%  \centering
%%  \includegraphics[width=80mm]{prelab-fig1.png}
%%  \caption{Instilling på spektrometer}
%%  \label{fig:prelab1}
%% \end{figure}

%% \question Figur \ref{fig:prelab1} viser gradskiven på spektrometeret dere skal bruke i oppgaven. Hvilken vinkel er spektrometeret på figuren innstilt på?\\ \textbf{1 poeng}

%% \choice $222^{\circ}$\\
%% \correctchoice $213.6^{\circ}$ \\
%% \choice $213^{\circ}$ \\
%% \choice $222.4^{\circ}$\\


%% Dere skal lage et skript ({\bf 3 poeng}) som returner illuminansen i
%% diffraksjonsmønsteret som funksjon av $x,R,a,N$ og $A$ (se øvelsesteksten
%% for definisjoner) for 1 eller flere spalter og laserlys med
%% bølgelengde 632.8 nm (He-Ne lasertype). Skriptet skal virke dersom $x$
%% er en vektor (e.g. {\tt x=-100:0.1:100)}. Med dette skriptet (og litt kode
%% som lager en graf av illuminansen som funksjon av $x$) får dere et
%% verktøy for å sammenligne måleresultater i oppgavene 1-3 i øvelsen med
%% teorien.

%% NB! For $x=0$ får vi $\sin(Nx)/x=NaN$ (Not a Number): Bruk heller 
%% sinc-funksjonen i MATLAB som er definert slik: $\mathrm{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$.
%% Med et enkelt grep i koden kan vi f.eks.\ velge $\alpha$ slik at 
%% $\lim_{x\rightarrow 0} \alpha\sin(Nx)/x=1$.

%% \question Hvilken $\alpha$ gjør det mulig å sette 
%% $\lim_{x\rightarrow 0} \alpha*\sin(Nx)/x$ til 1?\\ \textbf{1 poeng}
%% \choice 1 \\
%% \correctchoice $1/N$ \\
%% \choice $N$ \\
%% \choice $2\pi$ \\

%% \question Bruk skriptet ditt til å finne antall 
%% maksima i diffraksjonsmønsteret innenfor $\pm\,50\,$mm.  Avstanden $R$ fra
%% spalten til skjermen er 5~m, laserlysets bølgelengde er 632.8~nm, 
%% spaltebredden er 0.12~mm.
%% \\ \textbf{2 poeng}

%% \choice 1 maksima\\ \choice 2 maksima\\ \correctchoice 3
%% makisma\\ \choice 4 maksima \\ \choice 5 maksima \\

%% En alternativ metode for å finne diffraksjons-spektrum er å gjøre en
%% fouriertransformasjon over spalteskjermen. Vi kan se dette ved at
%% spalteskjermen kan representeres som en skjerm hvor transmisjonen er
%% $0$, bortsett fra i spaltene, hvor transmisjonen er $1$. Dermed kan er
%% skjerm med en spalte representeres som en
%% rect-funksjon\footnote{\url{http://en.wikipedia.org/wiki/Rectangular_function}}
%% rect$(x/a)$, hvor $a$ er spaltebredden. Fourier transformen av en
%% rectfunksjon er:
%% \begin{equation}
%% \hat{f}\left(\text{rect}\left(\frac{x}{a}\right)\right) = \frac{\sin(\pi a u)}{\pi a u} 
%% \label{eq:fourier}
%% \end{equation}

%% Vi kjenner igjen uttrykket fra ligning \ref{eq:enkelspalte}. Uttrykket for spalteskjermen kan enkelt utvides til å inneholde flere spalter, og vi kan også legge til en dimensjon til slik at spaltene får en lengde (eller vi kan lage et grid). Vi må da utføre en to-dimensjonal fourier-transform. Matlab har en innebygget rutine som gjør dette for oss. I skriptet ''fft\_diffraction.m'' er denne rutinen implementert, og dere kan leke med å endre de ulike parameterene. 

%% \question Endre på koden i ''fft\_diffraction.m'' (eller enda bedre: skriv ditt eget program!) slik at vi har en spalteskjerm som er $1024\times1024$ stor, med $10$ spalter som er $5$ brede og har en spalteavstand $10$ mellom seg (alle enheter er i pixler). Finn x-koordinatene til 1. hovedmaksima (tilsvarende $m=1$ i ligning \ref{eq:hovedmaksimum}). \emph{Hint: } Her vil det lønne seg å plotte en intensitetsprofil langs x-aksen i midten av diffraksjonsspekteret. \\ \textbf{2 poeng}

%% \choice  $x=\left(462,\, 562\right)$\\
%% \choice  $x=\left(437,\, 587\right)$\\
%% \correctchoice $x=\left(411,\, 615\right)$\\
%% \choice  $x=\left(391,\, 633\right)$\\

%% \question Hvor mange sekundærmaksima finner du mellom hovedmaksimaene? Sjekk om det stemmer med teorien i oppgaveteksten. \\ \textbf{2 poeng}

%% \correctchoice 8\\
%% \choice 9\\
%% \choice 10\\
%% \choice 11\\ 


%% \question Du måler en differanse mellom to frekvenser $\Delta \nu = \nu_2 - \nu_1$. Hva er bølgelengdeforskjellen $\Delta \lambda$? (Anta at bølgehastigheten er $c$). \\ \textbf{2 poeng} 

%% \choice $\Delta \lambda = \frac{c}{\Delta \nu}$ \\
%% \choice $\Delta \lambda = c\Delta \nu$ \\
%% \choice $\Delta \lambda = -c\nu_1 \nu_2\Delta \nu$ \\
%% \correctchoice $\Delta \lambda = -\frac{c \Delta \nu}{\nu_1 \nu_2}$ \\


%% \question Hvilket bidrag til usikkerheten i verdien for Bohr-magnetonet i Zeeman-forsøket gir en usikkerhet i 
%% magnetfeltet $B$ på $\pm 5$\%? \\ \textbf{1 poeng}
%% \correctchoice $\pm 5$\% \\
%% \choice $\pm 2.5$\% \\
%% \choice $\pm \sqrt{5}$\% \\
%% \choice $\pm 10$\% \\

%% \question Bildefilen `zeeman1.bmp' inneholder data fra målinger av Zeeman-effekten. Her er polarisasjonsfilteret montert slik at kun de $\sigma$-polariserte fotonene slipper gjennom ($\pi$-linjene synes så vidt mellom de mye tydeligere $\sigma$-linjene). Bruk teorien i denne oppgaveteksten til å regne ut ca hvor sterkt $B$-feltet var i dette tilfellet. (Hint: Bruk verdien $\mu_B = 9.274\cdot 10^{-24}\,$J/T på Bohr-magnetonet. Husk at avstanden mellom speilene i FP-interferometeret er $t=3.00\,$mm.) \\ \textbf{3 poeng}

%% \choice $80\,$mT\\
%% \choice $140\,$mT\\
%% \choice $560\,$mT\\
%% \correctchoice $640\,$mT\\

%% \begin{figure}[h!]
%%  \centering
%%  \includegraphics[width=80mm]{prelab-fig2.png}
%%  \caption{Eksempel på diffraksjonsmønster fra ``fft\_diffraction.m''.}
%%  \label{fig:prelab2}
%% \end{figure}


%% \end{questions}
%\showanswers

\end{document}
