\documentclass[a4paper,
oneside,        % one or two-side layout
onecolumn,      % number of columns on each page
norsk,          % document language (for babel et al.)
%% dvips,          % driver for `graphics', `color', et al.
%% titlepage,      % put the title on a page of its own
]{article}       % document class
\usepackage[latin1]{inputenc}   % The input encoding
\usepackage[T1]{fontenc}        % The output encoding
\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}            % For extra math macros etc.
\usepackage{textcomp}
\usepackage{listings}
\setlength{\oddsidemargin}{-1in}
\addtolength{\oddsidemargin}{3.5cm}
\setlength{\textwidth}{\paperwidth}
\addtolength{\textwidth}{-2in}
\addtolength{\textwidth}{-2\oddsidemargin}
\newcommand{\Var}{\mathop{\mathrm{Var}}\nolimits}       % Variance
\newcommand{\VAR}{\mathop{\mathrm{VAR}}\nolimits}       % Variance
\newcommand{\Cov}{\mathop{\mathrm{Cov}}\nolimits}       % Covariance
\newcommand{\COV}{\mathop{\mathrm{COV}}\nolimits}       % Covariance
\newcommand{\Corr}{\mathop{\mathrm{Corr}}\nolimits}     % Correlation
\newcommand{\Sdev}{\mathop{\mathrm{Sdev}}\nolimits}     % Standard deviation
\newcommand{\Sdevhat}{\widehat{\Sdev}}                  % Estimated st. dev.
\newcommand{\Bin}{\mathop{\mathrm{Bin}}\nolimits}           % Binomial
\newcommand{\Exp}{\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits}           % Exponential
\newcommand{\Poisson}{\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits}   % Poisson

%% Standard error
\newcommand{\SE}{\mathop{\mathrm{SE}}\nolimits}

%% Mean standard error
\newcommand{\MSE}{\mathop{\mathrm{MSE}}\nolimits}

%% Bias
\newcommand{\bias}{\mathop{\mathrm{bias}}\nolimits}

%% Uavhengig og identisk fordelte
\newcommand{\uif}{\overset{\text{u.i.f.}}{\sim}}

%% Independent and identically distributed
\newcommand{\iid}{\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}}

%% Convergence in probability
\newcommand{\cip}{\overset{\text{P}}{\rightarrow}}
\newcommand{\limp}{\mathop{\mathrm{lim\,p}}}

%% Convergence almost surely
\newcommand{\cas}{\overset{\text{a.s.}}{\rightarrow}}
\newcommand{\plim}{\mathop{\mathrm{p\,lim}}}

%% Konvergens nesten sikkert
\newcommand{\kns}{\overset{\text{n.s.}}{\rightarrow}}

%% Convergence in distribution
\newcommand{\cid}{\overset{\text{d}}{\rightarrow}}

%% Equality in distribution
\newcommand{\eid}{\overset{\text{d}}{=}}

%% Akaike's information criterion
\newcommand{\aic}{\mathop{\mathrm{AIC}}\nolimits}

%% Signum function
\newcommand{\sign}{\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits}

%% Indicator function
\newcommand{\indicator}{\mathop{\mathrm{I}}\nolimits}

%% Equality by definition
\newcommand{\defeq}{\stackrel{\text{def}}{=}}

%% Miscellaneous other commands
\newcommand{\matlab}{\textsc{Matlab}}

%%
%% Hyphenation patterns.
%%
\hyphenation{}

%%
%%
%%
\usepackage{theorem}

\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{\theorembodyfont{\upshape}
  \theoremstyle{break}\newtheorem{oppg}{Oppgave}
  \theoremstyle{break}\newtheorem{algo}{Algoritme}
}

%% Level one lists should use (a), (b), ...
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{(\textit{\theenumi})}

%% Level two lists should use (i), (ii), ...
\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{(\textit{\theenumii})}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Set document title, author and date.
%%
\title{\matlab-oppgaver i ST100}
\author{Peter J. Acklam}
%%\date{2.~august 2001}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Now the actual contents of the document.
%%
\begin{document}
\lstset{language=matlab}

%%\layout                         % Show document layout.

%%\maketitle                      % Print document title

%%\begin{oppg}

\noindent
\textbf{\large Oppgave 4}\\[0.1cm]
Denne oppgaven viser hvordan en med utgangspunkt i uniformt fordelte variable
kan generere eksponensielt fordelte variable, og hvordan en fra disse igjen
kan generere en Poisson-prosess.
\begin{enumerate}
\item Trekk 1000 variable fra den uniforme fordelingen $U(0,1)$
med kommandoen 
\begin{lstlisting}
U = unifrnd(0,1,[1,1000]);
\end{lstlisting}
og lag et hisogram over variablene. Kommenter histogrammets utseende.
\item Vis at hvis $U$ er fordelt $U(0,1)$, s{\aa} vil 
$X=-\log(1-U)/\lambda$ v{\ae}re eksponensielt fordelt med parameter $\lambda$.
Gitt vektoren \lstinline{U} med uniformt fordelte variable fra forrige punkt,
kan du derfor f{\aa} eksponensielt fordelte variable med $\lambda=1$ ved
\begin{lstlisting}
X = -log(1-U);
\end{lstlisting}
Lag et histogram for \lstinline{X} og kommenter histogrammets utseende.
\item Fra eksponsialfordelte variable kan vi generere en Poisson-prosess
ved {\aa} la de eksponensielt fordelte variablene v{\ae}re ventetidene
mellom begivenheter i Poisson-prosessen, se side 199 i boka.

Du kan derfor generere en Poisson-prosess med $\lambda=1$ ved
\begin{lstlisting}
T = cumsum(X);
\end{lstlisting}
der \lstlinline{T} n{\aa} inneholder tidene for de 1000 f{\o}rste begivenhetene.
Overbevis deg selv om at dette blir riktig.
\item Vi skal n{\aa} se p{\aa} hvor mange begivenheter i Poisson-prosessen
som faller i gitte intervaller. Vi deler opp tiden fra 0 til 800
i 200 like lange intervaller med
\begin{lstlisting}
t = 0:4:800;
\end{lstlisting}
Antall begivenheter som inntraff i hvert intervall kan n{\aa} telles opp
med
\begin{lstlisting}
N = histc(T,t);
\end{lstlisting}
(Vi begrenser oss til tiden frem til 800 for {\aa} sikre oss at 
Poisson-prosessen vi har simulert ikke har stoppet opp f{\o}r.)
\item Vi teller opp hvor mange intervaller som hadde ingen begivenheter,
hvor mange intervaller som hadde \'en begivenhet, osv. opp til
ti begivenheter, og plotter ved kommandoene
\begin{lstlisting}
x=0:10;
y = histc(N,x);
bar(x,y);
\end{lstlisting}
Langs $x$-aksen har vi antall begivenheter og langs $y$-aksen antall
intervaller.
\item Vi vil til slutt sammenligne de relative frekvensene for den
simulerte prosessen med punktsannsynlighetene i en Poisson-fordeling
med parameter lik 4.

Lag en vektor med relative frekvenser og en annen vektor som inneholder
punktsannsynlighetene med
\begin{lstlisting}
relfr = y/200;
punktsanns = poisspdf(x,4);
\end{lstlisting}
Hvordan er samsvaret mellom verdiene i de to vektorene?

Det kan v{\ae}re enklere {\aa} sjekke samsvaret ved {\aa} plotte
de relative frekvensene og punktsannsynlighetene i det samme plottet.
For {\aa} f{\aa} det til m{\aa} begge vektorene v{\ae}re
kolonne-vektorer og 'limes' sammen i en matrise med to kolonner.
Dette gj{\o}res med
\begin{lstlisting}
x = x(:);                    %gjør om til kolonne-vektor
relfr = relfr(:);            %gjør om til kolonne-vektor
punktsanns=punktsanns(:);    %gjør om til kolonne-vektor
sanns = [relfr,punktsanns];  % lag en matrise med to kolonner
bar(x,sanns);
\end{lstlisting}
\end{enumerate}

\end{document}

