\documentclass[11pt, norsk, fleqn]{article}

\textwidth=16cm
\textheight=23.5cm
\topmargin=-1cm
\oddsidemargin=0cm
\evensidemargin=0cm
\pagestyle{empty}

\usepackage{pdfpages}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage{microtype}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
%\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{babel}
\usepackage{listings}
\lstset{basicstyle = \ttfamily}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[bf, sf]{titlesec}
\usepackage[colorlinks,
            urlcolor  = uiolink,
            linkcolor = uiolink,
            citecolor = uiolink]{hyperref}


\renewcommand{\sfdefault}{phv}
\definecolor{uiolink}{HTML}{0B5A9D}


\declaretheorem[style = definition]{oppgave}


\begin{document}

\begin{center}
FASIT (ikke idealløsning) til OBLIG 1 STK1100 og STK-FYS1110 våren 2024 - kan inneholde feil. \\
SKAL IKKE SPRES VIDERE!
\end{center}
\begin{oppgave}
\begin{itemize}
Det er 11 mulige etasjer å gå ut av. Det er 5 personer i heisen.
\item[a)] 
\[
P(\mbox{alle går av i hver sin etasje})= (11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7)/11^5 = 0.344
\]

\item[b)] 
\[
P(\mbox{minst to går av i samme etasje}) = 1-P(\mbox{ingen går av i samme etasje}) = 1 - 0.344 = 0.656
\]

\item[c)] 
\[
5!/(3!2!) = 10
\]

\item[d)] 
Her får vi hele veien bruk for antakelsen om at alle komponentene virker uavhengig av hverandre.

\begin{eqnarray}
P(\mbox{system virker}) &=& P((1-2 \mbox{ virker} ) \cup ( 3-4-5 \mbox{ virker})) \nonumber \\
&=& P(1-2 \mbox{ virker}) + P(3-4-5 \mbox{ virker}) - P((1-2 \mbox{ virker} )\cap (3-4-5 \mbox{ virker})) \nonumber \\
&= &  P(A) + P(B) - P(A)P(B) \nonumber 
\end{eqnarray}
der
\[
P(A) = P(1-2 \mbox{ virker}) = P((1 \mbox{ virker}) \cup (2 \mbox{ virker})) = 0.9 + 0.9 - 0.9^2 = 0.990 
\]
og
\begin{eqnarray}
P(B) &=& P(3-4-5 \mbox{ virker}) = P((3 \mbox{ virker} )\cap ((4 \mbox{ virker})\cup (5 \mbox{ virker}))) \nonumber \\
&= & P(3 \mbox{ virker})P((4 \mbox{ virker})\cup (5 \mbox{ virker})) = 0.9\times (0.9 + 0.9 - 0.9^2) = 0.891 \nonumber
\end{eqnarray}
slik at vi får
\[
P(\mbox{system virker}) = 0.990 + 0.891 - 0.990\times 0.891 = 0.99891
\]
\end{itemize}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}

Vi får oppgitt at $P(+|AI) = 0.92$, $P(+|AI') = 0.07$ og $P(AI) = 0.05$. 

\begin{itemize}
\item[a)]
Finner vha. Bayes setning at $P(AI|+) = 0.41$.\\

\item[b)] Setter opp ligningen $P(AI|+) \geq 0.90$ med $P(+|AI') = x$, løser og finner $x\leq 0.0054$.
\end{itemize}
\end{oppgave}

%\includepdf[pages=-]{oblig1-oppgave3.pdf}
%\includepdf[pages=-]{oblig1-oppgave4.pdf}
\end{document}
