\documentclass{article}
%\pagestyle{headings}


\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,latexsym}

\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\evensidemargin}{.3cm}
\setlength{\oddsidemargin}{.3cm}
\topmargin = -40pt
\textheight = 690pt

\begin{document}


\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\T}{{\mathbb{T}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\K}{{\mathbb{K}}}
\newcommand{\HH}{\mathfrak H}
\newcommand{\KK}{\mathfrak K}
\newcommand{\LL}{\mathfrak L}

\def\A{{\cal A}}
\def\B{{\cal B}}
\def\H{{\cal H}}
%\def\K{{\cal K}}
\def\L{{\cal L}}
%\def\N{{\cal N}}
\def\M{{\cal M}}
\def\O{{\cal O}}
\def\P{{\cal P}}
\def\S{{\cal S}}
\def\T{{\cal T}}
\def\U{{\cal U}}


\begin{flushleft}

\Large \textbf{MAT3000/4000 - V\aa ren 2013} 

\smallskip
\textbf{Obligatorisk oppgavesett nr. 1}

\smallskip
\smallskip

\large \textbf{Innleveringsfrist: torsdag 28/02-2013, innen kl 14.30.} 

\smallskip
\smallskip
\normalsize
{\it  Besvarelsen leveres p{\aa  } Matematisk Institutt, 7. etasje i N.H.\ Abels hus.  
 Husk {\aa   } bruke forsiden som du finner via hjemmesiden. 
 

\medskip Dersom du p{\aa  } grunn av sykdom eller andre tungtveiende
 grunner har behov for {\aa  } utsette innleveringen, m{\aa  } du i god tid f\o r
 innleveringsfristen sende s\o knad til} : 
 $\, \, $ studieinfo@math.uio.no 
 
{\it Husk at sykdom m{\aa  }  dokumenteres ved legeattest. 
 
 

 
 
 \bigskip
 For \aa\ f\aa\ 
godkjent oppgavesettet m\aa\ det  komme klart frem av besvarelsen at man 
har gjort et reelt fors\o k p\aa\ \aa\ l\o  se alle oppgavene. 
Videre m\aa\ over halvparten av oppgavesettet v\ae re besvart p\aa\ en tilfredstillende m\aa te. Det er meningen at besvarelsene til MAT4000-studenter skal skrives ved hjelp av et presentasjonsverk\o y for matematikk (LaTeX). Studenter p{\aa   } LEP-programmet bes avtale dette n\ae rmere med foreleseren.


\smallskip
Det er lov \aa\ 亚博娱乐官网_亚博pt手机客户端登录e om oppgavene. Men alle m\aa\ levere sin egen personlig besvarelse 
 og kunne gj\o  re rede for den muntlig om n\o  dvendig. 

\smallskip
Det vises ellers til det generelle regelverket for obligatoriske oppgaver, som  man finner p\aa\ hjemmesiden til emnet.
}
\end{flushleft} 


\bigskip
\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 1}
\normalsize


\medskip

a) Begrunn at  likningen $ 1008 \, s + 807 \,  t = 15 $  har heltallige l\o sninger og angi alle disse. 

\medskip
b) Begrunn at $\overline{269}$ har en  (multiplikativ) invers i $\, \Z /(336)$ og angi denne.

\medskip
c) Begrunn at restklasselikningen $ \overline{807} \, \, \overline{x} = \overline{15} \, $\, i $\Z /(1008)$ har l\o sninger og angi alle disse.

\bigskip
\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 2}
\normalsize


\medskip Betrakt f\o lgen av naturlige tall definert rekursivt ved $a_1=3$ og
$$ a_{n+1} = (a_n -1)^2 + 1 $$
for $ n \in \N$. Regn ut $a_2, \, a_3 $ og $a_4$. 

\smallskip Vis deretter at $a_n$ og $a_m$ er relativt primiske n\aa r $n, m \in \N$ og $n\neq m$. 


\end{flushleft} 


 \smallskip \smallskip
\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 3}
\normalsize
\bigskip

La $p$ v\ae re et primtall st\o rre enn 2. Vis at $\sum_{k=1}^{p} k^p \equiv 0$ (mod $p$).


\end{flushleft} 


 \smallskip \smallskip
\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 4}
\normalsize
\medskip

L\o s oppgave 5.4 i tallteoriheftet.


\end{flushleft} 

\medskip
\Large  \begin{flushleft}\textbf{Oppgave 5}
\normalsize


\medskip a) Finn primtallsfaktoriseringen til 2166021. Beregn deretter $\phi(2166021)$, der $\phi$ betegner Eulers 

\quad \, phi-funksjon.

\medskip b) Begrunn at 2166021 er en kvadratsum og skriv dette tallet som en sum av to kvadrattall. 


\end{flushleft} 
\smallskip
\smallskip 
 \normalsize


\normalsize
 

\begin{flushright}SLUTT \end{flushright}


\end{flushleft} 

\end{document}




