Dette ble til slutt en saga av en historie. Vi har mye arbeid foran oss, s? la oss bare hoppe i det.
Mottaksbetingelser
Jeg har bablet mye om "den magiske mottakshorisonten" de siste ukene. Jeg tror tiden n? er inne for ? presisere n?yaktig hva jeg mener med dette. Tyngdekraften fra en masse er kun avhengig avstanden til denne massen. Jo n?rmere vi kommer destinasjonen, jo mer vil kraften fra planeten dominere over den fra sola. Vi n?r da etterhvert en horisont, hvor planetgravitasjonen er ti ganger st?rre en sola sin p?virkning. F?rst da har vi en god mulighet til ? komme i stabil bane rundt planeten, og nettopp dette, kj?re leser, er den magiske mottakshorisonten. Antagelig mer konkret enn den er magisk, men "den konkrete mottakshorisonten" lyder liksom ikke like bra.
Konkret eller magisk, er den uansett en viktig st?rrelse for oss. Et annet viktig poeng er at det ikke n?dvendigvis er nok ? treffe innenfor denne avstanden. Vi m? i tillegg ha lav nok fart.
Det er veldig fort gjort ? rett og slett fyke rett ut av solsystemet, og plutselig ende opp som en slags utilsiktet Voyager 3. Noe som i grunnen ikke h?res ut som den verste skjebnen, f?r vi tar den endel?se tomheten innover oss. Hvis du synes det er langt mellom planetene, tror jeg ikke de interstellare avstandene vil tilby s?rlig tr?st for deg. Dagens eksistensielle dose.
Greit, s? vi m? komme oss n?r nok, med lav nok hastighet. F?r jeg begynner ? p?nske ut n?yaktig hvordan vi kan f? dette til, trenger jeg som alltid noen utgangsverdier.
Utgangsbetingelser
La oss ta et lite kollektivt flashback til f?rste uke; i de dager da vi simulerte oppskytingen. Der og da brydde jeg meg egentlig bare om ? f? raketten opp og vekk fra planeten. N?, n?r vi senere har zoomet ut for ? se p? hele solsystemet, m? vi tenke p? oppskytningen med referanse til solen i origo. Sp?rsm?let blir da hvor planeten befinner seg etter oppskytning i dette systemet.
Vi holder oss stadig i den samme, todimensjonale verdenen. Jeg kan starte en klokke p? \(t=0\), da jeg skyter opp raketten og planeten v?r er p? x-aksen i solsystemet. Min umiddelbare tanke var da at posisjonen til raketten etter oppskytning m? v?re summen av posisjonen til planeten, planetradiusen og h?yden hvor vi unnslipper. Mens farten p? sin side bare burde v?re lik unnslipningshastigheten.
Da glemmer jeg derimot to ting.
1) Planeten roterer rundt sin egen akse.
2) Planeten g?r i bane rundt sola.
Raketten er jo en del av planetsystemet helt til den unnslipper, slik at vi m? ta begge disse punktene til betraktning. Utgangsposisjonen er lik planetposisjonen etter oppskytning summert med posisjonen til raketten i forhold til planeten. Denne posisjonen m? da v?re avhengig vinkelen \(\alpha\) planeten har rotert i l?pet av oppskytningen.
\(\vec r = \vec R_{planet} + (r_{planet} + h_{unnslipp})(\cos \alpha \hat x + \sin \alpha \hat y)\)
Raketten vil p? samme m?te ogs? ta med seg hastighetene fra planetoml?pet og -rotasjonen n?r den bryter l?s. Vi har jo for vane ? neglisjere ting som har sm? effekter p? resultatet. Et godt sp?rsm?l blir derfor om vi faktisk m? ta stilling til disse.
a) Unnslipningsfarten
Planeten unnslipper i punktet hvor den kinetiske energien er lik den potensielle. Det vil si at hastigheten vekk fra planeten er for stor i forholdhold til kraften som drar den tilbake.
\(E_{kinetisk} = E_{potensiell}\)
\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r_{planet} + h_{unnslipp}}\)
\(v_{unnslipp} = \sqrt{\frac{2GM}{r_{planet} + h_{unnslipp}}} \approx 2 AU/?r \approx 9.5 km/s\)
b) Rotasjonsfarten
Farten fra rotasjonen er omkretsen i den radiusen du befinner deg, delt p? tiden det tar for en full rotasjon. Rett og slett den gode gamle veiformelen, med konstant fart.
\(v_{rotasjon} = \frac{2\pi}{t_{oml?p}}\left(r_{planet} + h_{unnslipp}?\right) \approx ?0.08 AU/?r \approx 0.38 km/s\)
c) Oml?psfarten
Siden vi starter p? x-aksen, og g?r i tiln?rmet sirkel rundt origo, er banefarten omtrent lik startfarten til planeten i y-retning.
\(v_{oml?p} \approx v_{y}(0) \approx 7 AU/?r \approx 33 km/s\)
Konklusjonen her blir dermed at vi ikke bare m?, men ogs? virkelig burde utnytte disse enorme hastighetene vi f?r med p? kj?pet. N? vet vi i alle fall hvor vi begynner og hvor vi vil ende opp. Da mangler bare alt fra B til ?.
Fysikken i kulissene
Uansett hvor vi legger ruta v?r, m? vi forholde oss til alle kreftene som lurer i kulissene. Som nevnt i sist innlegg, trenger vi heldigvis bare vurdere gravitasjonskraften fra sola og planetene p? raketten.
\(\Sigma \vec F = \vec F_{sol} + \vec F_b + ...+ \vec F_i\)
Vi husker igjen at alle disse kreftene kun er avhengig av avstandsvektoren mellom den gitte massen og raketten. Vi bruker s? den gode, gamle oppskriften som alltid kommer velduftende og saftig ut av ovnen.
1) Jeg har en utgangsposisjon \(\vec r_0\) og -hastighet \(\vec v_0\) for raketten
2) Jeg bruker Newtons andre lov \(\vec a = \frac{\Sigma \vec F}{m}\) og finner akselerasjonen i denne posisjonen
3) Ut fra akselerasjonen legger jeg til en liten hastighetsendring
\(\vec a\cdot dt = \frac{\vec {dv}}{dt}dt = \vec {dv} \implies \vec v = \vec {v_0} + \vec {dv}\)
4) Ut fra denne nye hastigheten legger jeg til en liten posisjonsendring
\(\vec v\cdot dt= \frac{\vec{dr}}{dt}dt= \vec {dr} \implies \vec r = \vec {r_0} + \vec {dr}\)
Gjenta til full metthet er n?dd. Dette m?ltidet minner veldig om det vi gjorde n?r vi regnet planetbevegelsene. Forskjellen n?, er at vi ikke skal observere passivt hvordan raketten beveger seg. Samtidig som vi tar hensyn til eksterne krefter p? raketten, skal vi f? den til ? overlappe i tid og rom med mottakshorisonten til Muskus H, som lever sitt eget liv i v?rt ytre solsystem, uten ? ofre v?re problemstillinger en tanke.
Ruteplanlegging
Hvis jeg kort skulle oppsummere fors?kene mine p? ? n? mottakshorisonten:
Jeg visste helt ?rlig ikke hvor jeg skulle begynne, men var likevel ved godt mot i begynnelsen av uka. Nybegynnertabbe. La meg ta deg med p? en reise gjennom tidssvinn og romslige feil.
Min f?rste idé var av den primitive sorten. Hvorfor ikke bare akselerere raketten rett ut mot planetbanen, og justere vinkelen til jeg treffer? Hvor vanskelig kan det v?re?
Ganske vanskelig, viser det seg. Man kan sikkert skrive en roman om hvorfor dette er en d?rlig idé.
Jeg kan se for meg de f?rste kapitlene
Kapittel 1: Hvorfor det er et kjas ? treffe sm? omr?der som beveger seg i flere tusen kilometer i timen.
Kapittel 2: Hvorfor det er et mas ? bremse ned store akselerasjoner (ref. kapittel 1).
Kapittel 3: Hvorfor det ikke er ideelt ? akselerere direkte vekk fra massive fusjonsbomber.
Det er sikkert mulig ? f? dette til ? fungere med litt taktisk bremsing og vinkling av banen. Jeg var derimot ute etter noe litt mer forutsigbart og drivstoff-effektivt. Jeg ble da tipset om en snedig liten greie, kalt Pokémon-banen.
Nei, vent litt. Hohmann-banen, mener jeg.
Hohmann ja. Dette er en ellipsebane som b?de tangerer banen du starter i, og banen du vil ende opp i. Du kommer inn p? Hohmann-banen ved ? akselerere en bestemt tangentiell mengde i tangeringspunktet. N?r du s? n?r banen hvor destinasjonsplaneten er, akselerer du tangentielt en gang til for ? kommer inn p? ?nsket bane. Disse akselerasjonene er avhengig av radiusene du g?r til og fra og massen i sentrum.
Veldig elegant s?nn sett, og veldig drivstoffs-effektivt. Den brukes derimot som regel kun p? n?re planeter, siden den p? den andre siden ikke er veldig tidseffektiv. Jeg gjorde likevel et fors?k. Utfordringen ble da ? gjennomf?re denne man?veren p? et tidspunkt hvor raketten n?dde den store oml?psbanen i n?rheten av destinasjonsplaneten. Men n? kommer jeg litt p? forskudd av meg selv. F?r vi kommer s? langt m?tte jeg, som insinuert, en del utfordringer.
1) Zimmer og zen
Nedenfor ser du en kompilasjon av noen av de f?rste plottene jeg fikk, hvor den bl? linjen viser rakettbanen, mens den r?de prikken er planetens posisjon ved sluttiden.
Ay, ay og mere ay. Jeg har riktignok ytret min kj?rlighet for numerisk integrasjon, som l?ser mange problemer mye enklere enn det jeg kan. Senest for noen avsnitt siden kunne du for eksempel lese
Vi bruker så den gode, gamle oppskriften som alltid kommer velduftende og saftig ut av ovnen.
- Ida Risnes Hansen, noen avsnitt siden
Den har derimot en dyster bakside jeg har fortrengt inntil n?.
Det vi egentlig gj?r i denne metoden er ? se p? et punkt, og ut fra tilstanden i dette punktet, hoppe framover i tid. Vi mister derfor informasjon om bevegelsen mellom disse punktene, og f?r i stedet en litt ekkel gr?sone vi ikke helt har kontroll p?.
Det hender nemlig iblant at du hopper litt lengre enn punktet ditt kunne forventes ? ha kontroll over, og lander litt for langt unna den egentlige kurven. Feilen kan da vokse, siden denne nye posisjonen er utgangspunktet for den nye akselerasjonen, og spiralen fortsetter. Dette kan ofte minimaliseres ved ? legge inn kortere, men flere hopp. Problemet blir da at datamaskinen m? gj?re flere utregninger, som kan f? mye ? si for den totale tiden programmet bruker. Interessekonflikten blir dermed
a) Jeg vil ha sm? og mange hopp for minst mulig gr?sone.
b) Jeg vil gj?re f?rrest mulig hopp for ? spare utregningstid for datamaskinen.
Dette er en balansegang man m? finne. Min ble til slutt 100 000 hopp per ?r, noe datamaskinen brukte omtrent 45 sekunder p? ? regne. Noe som for?vrig er for lenge til at jeg klarer ? stirre p? skjermen, men likevel akkurat for lite til at jeg rekker gj?re noe produktivt i mellomtiden. Ikke at dette er noe jeg har latt meg irritere over. Hans Zimmer og zen, Ida. Zimmer og zen.
2) N?r vi ikke kan flytte sola dit vi vil
Etter ? ha intensifiert hoppingen min, endte jeg opp med rakettbanen nedenfor.
Noe som gjorde meg irrasjonelt lykkelig. Ikke fordi jeg var s? mye n?rmere en l?sning, men det er alltid betryggende n?r baner tilsynelatende f?lger de fysiske lovene. Jeg var likevel ikke helt klar for Hohmann. Jeg foretrekker nemlig ? forholde meg til mer sirkul?re baner. At denne er skjev og elliptisk m? bety at utgangshastigheten vi fant ikke er normal p? posisjonsvektoren fra sola.
Men du vet hva de sier; "Hvis du ikke kan flytte sola dit du vil, vent til planeten din har rotert en passende vinkel." Vi kan jo rett og slett bare skyte ut raketten p? det tidspunktet hvor posisjonen v?r p? planetoverflaten er slik at resultanthastigheten ender opp normalt p? retningen til sola. P? den m?ten f?r vi ogs? med oss maksimal hastighet i banen.
Med det var jeg klar for ? finne Hohmann-banen min. Jeg la til to instrukser i programmet mitt.
1) Hvis tiden er lik \(t_A\); gi raketten den f?rste akselerasjonen.
2) Hvis raketten n?r den ?nskede banen ved \(t_B\); gi raketten den andre akselerasjonen.
For hvert tidshopp maskinen gj?r, sjekker den om disse to punktene er oppfylt. N?r det er tilfelle, akselereres raketten, alle andre tider forholder vi oss bare til bevegelsen vi f?r fra gravitasjonskreftene. Dermed var det bare opp til meg ? s?rge for at planeten og raketten begge var omtrent i tangenspunktet ved tiden \(t_B\). Jeg har kontroll over b?de n?r raketten blir skutt opp, og tidspunktet \(t_A\) hvor f?rste akselerasjon skjer.
Det mest naturlige var da ? fors?ke oppskytning ved \(t = 0\). Det viste seg da at ved ? sette \(t_A =0.17\) og akselererer etter et par m?neder i bane, s? n?r jeg mottakshorisonten etter \(t_B =3.8\) ?r.
Vakkert.
Det er derimot slett ikke sikkert at jeg kan skyte raketten opp ved \(t = 0\). For eksempel vil jeg jo, som forklart, optimalisere initialhastigheten til raketten. I tillegg vil trolig oppskytningstiden v?r endres ettersom vi n? m? legge til ekstra drivstoff for de to hastighetsendringene mine. Jeg m? med andre ord v?re forberedt p? ? modifisere tallene mine. Absoluttverdien av hastighetsendringene vil derimot v?re de samme uavhengig av de ulike tidsfaktorene, og jeg kan finne ut hvor mye ekstra drivstoff jeg m? ta med. Ut fra drivstoffberegningene i f?rste uke, estimerer jeg at jeg trenger ytterligere \(1520 kg\) drivstoff for mine totale fartsendringer p? \(4.4 AU/yr\).
Dermed er Goggel Maps komplett og snorkelruten klar til ? skisseres f?r avreise om noen uker. N? gjenst?r kun f? detaljer f?r nullene og enerne mine skal implementeres i en kaotisk virkelighet.