N? som vi har integrert oss varme i skjorta, skal vi legge de idealistiske forutsigelsene v?re litt til sides. Tiden er i stedet inne for ? laste romskipet v?rt med instrumenter og skrive programvare som besvarer sp?rsm?let;
"Du vet alle de tallene vi har tygget opp de siste m?nedene? - Hvor gale er de egentlig?"
Vi skal nemlig s?rge for at raketten kan gi oss data om bevegelsen sin i sanntid.
Orientering
Kompass er veldig laglig p? planeter hvor man har relativt stabile magnetfelt. N?r vi vil finne ut hvilken retning raketten v?r peker kan en god strategi v?re ? ta utgangspunkt i noe tilsvarende stabilt i solsystemet. Stjernene er en god kandidat i denne sammenhengen. Vi vet hvordan hele himmelkula ser ut, og kan dele den opp i biter, som i et puslespill. Si at raketten tar et bilde rett forut. Hvis vi da klarer ? finne ut hvor p? himmelkule-puslespillet akkurat denne brikken h?rer hjemme, burde det avsl?re orienteringen til raketten. Dette er i alle fall den generelle idéen.
Prinsipielt er det jo ganske rett fram, men vi m?ter likevel p? noen utfordringer i den praktiske implementeringen. F?r vi bestemmer oss for hvordan vi skal dele opp himmelkula, m? vi vite litt om hvordan bildene fra raketten vil se ut. Hvis vi velger ? alltid ta standard, rektangul?re bilder fra fronten til raketten, m? bildet st? normalt p? xy-planet vi beveger oss i.
Det mest hensiktsmessige blir da ? lage brikker som samsvarer med dette formatet, slik at vi kan gj?re mer direkte sammenligninger. Vi kan for eksempel f?re en bilderamme langs omkretsen av det sirkul?re planet, og lage rektangul?re biter hele veien rundt. Dette virker greit nok s? langt. Enhver pusler som tar seg selv seri?st burde derimot begynne ? ane en alvorlig problematikk. Himmelkula v?r er tredimensjonal, mens kameraet tar todimensjonale bilder. ? plassere todimensjonale brikker i et tredimensjonalt puslespill blir som ? dra p? 3D kino uten briller; det ser galt ut og er en ufeilbar vei til migrene.
For ? kunne spille effektivt, m? vi derfor transformere kula over til et plan som svarer til bildene vi kommer til ? ta. Vi kan da bruke et kj?rt verkt?y for b?de geologer og Flat Earth Society; stereografisk projeksjon. Tanken er at vi kan knytte punkter fra himmelkula til en korresponderende plassering i planet
Figuren over viser et utsnitt av hva som foreg?r. Det vertikale bildesnittet i z-retning blir tilsvarende, og vi har projisert en del av kula over p? et rektangel. Se n? for deg at sirkelen p? bildet er et togspor med punktet P bevegelig langs sporet, og en konstant synsvinkel. Vi kan da dra punktet rundt hele sirkelen, og for hver grad lage en tilsvarende projeksjon over til et rektangel. Nedenfor har jeg for eksempel dratt P en kvart omkretslengde.
Til slutt f?r vi 360 bilder vi kan sammenligne rakettbildet med. Tanken er da at orienteringen er i sentrum av den projeksjonen som blir den n?rmeste tiln?rmingen.
N? har jeg absolutt ingen intensjon om ? sitte ? manuelt sammenligne 360 bilder. Mye av grunnen til at jeg gikk gjennom bryet ? lage projeksjoner i samme format som bildene vi tar, er at bilder, som det meste digitale, kan brytes ned i mindre- og overraskende konkrete deler, som lar seg sammenligne effektivt.
Piksler. Alle som har kommet tilbake fra traumene etter for?k p? ? tegne rette linjer i Microsoft Paint, vet hva piksler er.
Den lille knekken i midten gj?r at linjen tar opp to piksler med bredden sin. Hver piksel er da en liten, kvadratisk, ensfarget rute. Denne fargen representeres av en unik tallverdi, som er det datamaskinen faktisk tolker. P? linjen over svarer for eksempel verdien til hver piksel til fargen svart. Vi kan med andre ord se for oss et bilde som et rutenett av tallverdier. To identiske bilder vil da ha de samme tallverdiene i korresponderende ruter. Vi kan ikke forvente at kamerabildet er identisk med noen av projeksjonene mine. Vi kan likevel be datamaskinen finne projeksjonen som har de likeste tallverdiene ved ? substrahere dem.
Bilde fra rakett - Projeksjon = Forskjell
Sentrum av projeksjonen som gir minst forskjell blir rakettens estimerte orientering.
Hastighet
? finne rakettens hastighet i forhold til sola er litt mindre intuitivt, selv om prinsippet ogs? her er enkelt. Vi kan igjen se til stjernene. Fra spekteranalysen vi har sett p? tidligere, husker vi at vi kan m?le den radielle hastigheten til en stjerne ved ? se p? dopplerskiftet i str?lingen fra den. Dette kan vi gj?re fra solens perspektiv, men vi kan ogs? ta med et spektrometer og m?le fra raketten. Det er kanskje ikke helt ?penbart hvorfor to ulike m?linger av hastigheten til en stjerne vi ikke bryr oss om hjelper oss. Den ender likevel opp med ? bli et praktisk mellomledd.
Fordi enhver stjerne er mye lengre unna solsystemet, enn raketten er unna sola, vil synslinjene alltid v?re tiln?rmet parallelle. Da kan vi si at stjernehastigheten i forhold til sola er summen av hastigheten til raketten i forhold til sola, og hastigheten til stjerna i forhold til raketten. Differansen av de to hastighetsm?lingene f?rer oss n?rmere det vi er ute etter; raketthastigheten i forhold til sola i retning av stjernen.
Dette gir oss likevel ingen informasjon om eventuelle normale hastigheter raketten m?tte ha. Vi trenger fremdeles ikke bekymre oss over z-retningen, men vi beh?ver stadig en annen m?ling fra en referansestjerne langs en synslinje som ikke er parallell med den f?rste referansen i xy-planet. Med vektorene vi f?r fra disse to m?lingene kan vi entydig bestemme raketthastigheten.
Referansefartene m? v?re lik den totale hastigheten multiplisert med enhetsretningen i forhold til solen. Hvis de lager henholdsvis vinklene \(\alpha_1\) og \(\alpha_2\) med x-aksen, f?r vi.
\(v_1 = [v_x, v_y]\cdot[\cos(\alpha_1), \sin(\alpha_1)]= v_x\cos(\alpha_1) + v_y\sin(\alpha_1)\\ v_2 = [v_x, v_y]\cdot[\cos(\alpha_2), \sin(\alpha_2)]= v_x\cos(\alpha_2) + v_y\sin(\alpha_2)\)
Til slutt kan vi l?se disse med hensyn p? \(v_x\) og \(v_y\).
N?kkelen i metoden er likevel at hastigheten til raketten i forhold til sola i en bestemt retning, egentlig er et m?l p? hvor uenige de er i hastighetsm?lingen av et eksternt, tredje objekt. Dette er et vanlig referanse-problem, hvor en hastighetsm?ling i system A er lik hastighetsm?lingen i system B summert med hastigheten til system B i system A.
Posisjon
Da gjenst?r det bare ? skrive programvare for ? finne rakettposisjonen i forhold til sola. I denne siste problemstillingen skal jeg se litt vekk fra de fjerne stjernene. Vi har nemlig ryddet plass til en radar som til enhver tid kan gi oss avstanden mellom raketten, planetene og sola. Da er vi jo allerede langt p? vei. La oss begynne med distansen radaren gir oss til sola.
\(|p_{sol}-p_{rakett}| = d_{sol}\)
Siden sola per definisjon er i origo i v?rt system, m? raketten v?re en plass p? sirkelen med sentrum i origo og radius \(r=d_{sol}\).
Videre kan vi se p? avstanden fra en planet til raketten.
\(|p_0 - p_{rakett}| = d_0\)
Vi f?r alts? en ny sirkel, denne gangen om planeten og med radius lik avstanden \(d_0\) til raketten.
Siden vi m?ler avstandene til sola og planeten ved samme tid, m? l?sningen for rakettposisjonen n?dvendigvis v?re den samme; raketten m? befinne seg p? begge sirklene samtidig. Dette er tilfelle i de to punktene hvor de generelt vil overlappe. Jeg sier generelt, for vi kan jo se for oss et scenario hvor sirklene bare tangerer hverandre. Siden dette typisk ikke er situasjonen, m? vi likevel se p? enda en planet.
Der har vi en entydig l?sning hvor alle sirklene overlapper i et punkt, og vi har lokalisert raketten. Det er egentlig en litt stilig framgangsm?te, hvor vi i prinsippet ikke trenger ? vite noe om hvilken retning planetene og stjernen er i forhold til raketten. Vi vet bare at raketten er en plass p? sirklene med radius lik avstandene vi f?r fra radaren. Siden disse avstandene er m?lt p? samme tidspunkt, m? n?dvendigvis raketten befinne seg p? hver av sirklene. Dette blir dermed bare en god gammel "finn skj?ringspunktet mellom grafene"-oppgave. Det er alltid kult n?r ting man skulle tro m? ha kompliserte l?sninger faller ut av enkel geometri. En liten tr?st for alle oss som ikke har en Marcel Grossmann i livet v?rt, antar jeg.
Skipslasting
Vi har da sett p? tre ganske enkle metoder vi kan bruke for ? sjekke rakettbevegelsen underveis. Fordelen er at vi ikke er avhengig av un?dvendig kompleks- og sammensatt instrumentering. Vi ber romskipet samle én type data, og fokuserer heller p? ? bearbeide denne dataen for ? f? ut den relevante informasjonen.
Vi m? bare s?rge for at v?rt romskip er lastet med
- Et kamera for ? finne orienteringen
- Et spektrometer for ? finne hastigheten
- En radar for ? finne posisjonen
Da, kj?re leser, var b?de planleggingen og pakkelisten komplett. Neste gang m?tes vi til avreise.