For ? besvare sp?rsm?let om hvordan gassene fordeler seg, m? vi tenke godt over hvordan atmosf?rer egentlig fungerer.
Denne tankeprosessen gir meg assosiasjoner til den korte perioden i livet mitt hvor jeg pr?vde ? bli en del av aksjefondsverdenen. Til ? begynne med, valgte jeg, intuitivt nok, fondet som hadde finest tall gjennom det siste ?ret. Gjett om jeg ble sjokkert da avkastningen min etter et par m?neder var -2%. Jeg gjorde derfor det mest rasjonelle jeg kunne; sprang s? fort beina mine kunne b?re meg over til fondet som hadde best resultater fra de siste par m?nedene. Som slike historier gjerne g?r, s? toppet det hele seg selvf?lgelig kort tid senere da det opprinnelige aksjefondet f?k til himmels.
Hvis denne anekdoten har noe som helst poeng, m? det jo v?re at jeg aldri burde f?tt myndighet over min egen bankkonto. Atmosf?redynamikk gir meg litt den samme kaotiske f?lelsen av at jeg tukler med ting jeg virkelig ikke burde f? lov til ? r?re. Du endrer én liten ting i ligningene dine, og alt skyter fart en helt uforutsett retning. For ? i det hele tatt begynne ? forst? noen ting, f?les det som om du m? n? bunnen av en uendelig br?nn du har falt nedi mot din vilje.
N? er jeg litt dramatisk. Det er litt ? holde styr p?, men hvor hele mine ?konomiske kunnskaper stammer fra perioden jeg var med i Labb og Line-klubben, har jeg jo faktisk dedikert flere ?r av livet mitt til probleml?sing. Og mens ?konomiske trender gjerne er utenfor min kontroll, burde atmosf?reforhold tross alt v?re mer forutsigbare.
Vi er f?rst og fremst interessert i hvordan tettheten endrer seg med h?yden, og trenger noen tetthet-sammenhenger.
Hydrostatisk likevekt
En interessant observasjon vi kan begynne med er at til tross for alle bestem?dres p?stand om at "den forbaska trekken" er verdens st?rste onde, s? er atmosf?rer tross alt rimelige stabile saker. I alle fall p? stor skala. S? hva er det egentlig som gj?r at alt ikke kollapser?
For det f?rste m? det jo n?dvendigvis virke en gravitasjonskraft p? gassmolekylene.
Men dette kan ikke v?re hele historien. Vi m? ha en noe som dytter tilbake; en trykkraft.
Det var bedre. Alle kreftene balansert i et statisk system. Som balsam for fysikersjela. N?r trykket og gravitasjonen utjevner hverandre p? denne m?ten kaller man det hydrostatisk likevekt. For ? utlede en nyttig sammenheng fra dette, kan vi se p? en bitteliten boks av atmosf?ren i en avstand \(R\), fra planetsentrum. P? denne boksen virker det en gravitasjonskraft, en trykkraft p? toppen og en p? bunnen.
Siden vi har hydrostatisk likevekt m? disse kreftene balansere hverandre.
\(G =?F_{p, bunn} -?F_{p, topp} = \Delta F_p\)
Trykk P er jo per definisjon kraft fordelt over areal. Hvis topp- og bunnflaten har areal \(A\) f?r vi \(\Delta F_p = A\Delta P \). Dermed m? gravitasjonskraften v?re like trykkforskjellen over boksen, multiplisert med arealet. Vi trenger ikke tenke p? sidekantene, siden kreftene her vil utjevne hverandre. Hvis boksen inneholder masse \(m\) f?r vi da
\(-m g = A\Delta P\)
N? m? vi bare finne en m?te ? f? inn denne atmosf?retettheten p?. Massen til boksen er massetetthet ganger volum, \(m = \rho V = \rho A \Delta h\).
\(-\rho A \Delta h g = A \Delta P\)
\(- \rho g = \frac{\Delta P}{\Delta h}\)
Siden boksen er bitteliten kan vi bruke derivasjons-notasjon, og f?r at endringen i trykket som f?lge av endring av radius er lik det negative produktet av massetettheten og tyngdeakselerasjonen.
\(\frac{dP}{dh} =?- \rho g\)
Dette gjelder for alle slike sm? bokser vi finner i atmosf?ren. Men n? m? vi v?re litt forsiktige med hvordan vi formulerer oss. For tyngdeakselerasjonen er jo avhengig av avstanden vi har fra planeten. Vi kan heller ikke bare anta at atmosf?retettheten vil v?re den samme overalt. Vi m? derfor skrive
\(\frac{dP}{dh} =?- \rho (h) g (h)\)
for ? presisere at sammenhengen gjelder i et lokalt omr?de. For enhver plass i atmosf?ren; hvis du kan m?le tyngdeakselerasjonen og tettheten rundt deg, kan du multiplisere disse for ? finne ut hvor mye trykket vil endre seg per lille distanse du beveger deg opp eller ned. Stilig, men ikke egentlig direkte anvendbart for oss. Vi har egentlig bare klatret over p? en ny problemtre-gren, og beh?ver n? en annen trykk-massetetthet-sammenheng.
F?r jeg g?r videre vil jeg bare understreke hvordan tyngdeakselerasjonen endres med h?yden.
\(g(h) = \frac{GM(h)}{R(h)^2}\)
Avstanden \(R(h)\) er grei nok. Den m? vi kunne utrykke som summen av planetradiusen og h?yden vi befinner oss i \(R(h) = r + h\). Men hva med massen? Det er alts? snakk om all masse innenfor omkretsen av skallet med radius \(R(h)\) vi befinner oss i. Det betyr selvf?lgelig at vi m? ta med hele planetmassen som vanlig, men ogs? atmosf?repartiklene har en masse. Denne er som vanlig produktet av massetetthet og volum. Men siden tettheten antagelig ikke er konstant, m? vi ta integralet over alle massebidrag-skall med tykkelse \(dh\) opp til h?yden \(h\) vi befinner oss i.
\(M(h) = M_{planet} + \int_0^h \rho(\hat h)4\pi(r+\hat h)^2d\hat h\)
Det er ikke sikkert disse effektene gir en betydelig effekt p? regnestykket v?rt, men det skader ikke ? ta det med s? lenge vi ikke har full oversikt over situasjonen.
Ideell gass
Vi beh?ver alts? en annen sammenheng. Da kan antagelsen om at vi har ? gj?re med ideelle gasser hjelpe oss godt p? vei. Vi har nemlig f?lgende sammenheng mellom trykk \(P\), partikkeltetthet \(n\) og temperatur \(T\).
\(P = nkT\)
hvor \(k\) er en konstant. Denne partikkeltettheten er antall partikler \(N\) per volum \(V\), \(n = \frac{N}{V}\). Men antall partikler kan vi finne ved ? dele den totale massen av hele atmosf?ren opp i biter p? st?rrelse med den gjennomsnittlige partikkelmassen. Siden vi tidligere har konkludert med at vi kun har vanndamp, m? jo denne bare v?re \(m_{O_2}\) og \(n =?\frac{m}{m_{O_2}V}\). Du begynner kanskje n? ? ane at denne omskrivingen ikke var helt uten baktanker. Den totale massen per volum er jo bare massetettheten; akkurat det vi etterhvert vil finne. Vi har da sammenhengen
\(P = \frac{\rho k T}{m_{O_2}}\)
Vi m? fremdeles tenke p? at b?de trykk og massetetthet, men ogs? temperaturen, kan variere med h?yden.
\(P(h) = \frac{k}{m_{O_2}}\rho (h)T(h)\)
Temperaturmodeller
N? har vi to fine sammenhenger
\(\frac{dP}{dh} =?- \rho (h) g (h) ?\)
\(P(h) = \frac{k}{m_{O_2}}\rho (h)T(h)?\)
og tre ukjente funksjoner \(\rho (h)\), \(P(h)\) og \(T(h)\). Det kan jo derfor virke litt som jeg har g?tt fra ? ha en ligning med to ukjente, til to ligninger med tre ukjente. Dette er likevel ikke den bomturen det kan virke som. Vi har nemlig en modell for temperaturfordelingen.
- Overflatetemperaturen har vi beregnet tidligere \(T_0\approx 115 K\).
- Fra overflaten og opp til en h?yde hvor temperaturen er halvert har vi adiabatisk atmosf?re. Det vil si at gassen kan endre temperatur uten ? utveksle varme med omgivelsene, og vi har en sammenheng \(T = CP^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\), hvor v?r \(\gamma = 1.4\).
- Videre oppover er atmosf?ren isotropisk; temperaturen er konstant \(T=\frac{T_0}{2}\).
Dermed kan vi dele l?sningen v?r i to deler; en adiabatisk og en isotropisk, og l?se for tetthet. En konsekvens er jo da at vi samtidig finner l?sninger for temperatur og trykk, som fors?vidt ogs? er interessante st?rrelser for oss.
Adiabatisk del
I den adiabatiske delen begynner vi p? overflaten med \(T_0 = 115?K\) og \(\rho_0 = 18.4 kg/m^3\). Tettheten p? jordoverflaten er til sammenligning \(1.2 kg/m^3\). Overflatetrykket finner jeg ved ? bruke ligningen for ideell gass i \(h=0\).
\(P_0 = P(0) = \frac{k}{m_{O_2}}\rho (0)T(0) \approx?967 kPa\)
Trykket p? jordoverflaten er p? sin side bare \(101 kPa\). Ut fra \(P_0\) og \(T_0\) kan vi finne \(C = P(0)^{\gamma-1}T(0)^{\gamma}\). Da har vi alle utgangsbetingelsene vi beh?ver. Du kan l?se likningssettet analytisk ved ? l?se en separabel differensiallikning, eller du kan gj?re som meg og vende deg til datamaskinen. Til n? har vi kun brukt Eulers metode for ? l?se bevegelsesligningene. Det er likevel ingenting i veien for at vi ikke kan l?se andre ordin?re differensialligninger p? samme m?te.
I f?rste iterasjon regner jeg tyngdeakselerasjonen- og finner den deriverte av trykket p? bakken. Jeg bruker s? vanlig Euler til ? beregne trykket i en h?yde \(dh\). Denne setter jeg inn i det adiabatiske uttrykket, f?r jeg finner tettheten fra den ideelle gassloven. Til slutt kan jeg oppdatere masseutrykket.
\(g(0) = \frac{M(0)G}{(r+0)^2}\)
\(\frac{dP}{dh} =?- \rho (0) g (0)\)
\(P(0+dh) = P(0) +?\frac{dP}{dh}dh = P(0)+dP?\)
\(T(0+dh) = CP(0+dh)^{\frac{\gamma -1}{\gamma}}\)
\(\rho(0+dh) = \frac{k}{m_{O_2}}P(0+dh)T(0+dh)\)
\(M(dh) = M(0) + 4\pi (r+0)^2dh?\)
Vi ender da opp med et sett l?sninger for \(h=dh\). Vi kan da gjenta samme operasjoner for ? f? \(h=2h\) og s? videre. Vi ber datamaskinen holde p? s? lenge temperaturen \(T > \frac{T_0}{2}\), som var grensebetingelsen f?r atmosf?ren ble isotropisk. Jeg kaller de siste grenseverdiene vi f?r f?r dette skjer for henholdsvis \(T_g\), \(P_g\) og \(\rho_g\).
Isotropisk del
I den isotropiske delen gjelder stadig hydrostatisk likevekt og vi antar fremdeles at gassen er ideell. Det eneste vi egentlig trenger ? endre i algoritmen v?r er dermed utrykket for temperatur, som n? skal v?re konstant \(T = \frac{T_0}{2}\). Vi benytter startverdiene \(T = T_g\), \(P = P_g\) og \(\rho = \rho_g\), og fortsetter algoritmen til trykket er redusert til en hundredel av overflateverdien \(P_0\).
Profiler
Nedenfor ser du profil-plott av skalert trykk, tetthet og temperatur. Den stiplede linja er grensen mellom adiabatisk og isotropisk del.
Vi ser at b?de trykk og tetthet synker eksponentielt i den adiabatiske delen, men slaker litt ut n?r vi n?r det isotropiske omr?det. Temperaturen er p? sin side omtrent line?r i den adiabatiske delen. N?r det gjelder st?rrelsene har vi sv?rt h?yt trykk og atmosf?retetthet. Det er likevel h?y usikkerhet b?de rundt utregningene av overflatetemperaturen og gasstypene vi har. Dette er et greit utgangspunkt, men vi m? kanskje v?re forberedt p? ? m?te litt andre forhold enn modellen v?r sp?r.
Til slutt i dag kan vi kanskje konkludere med at det fondsparing og atmosf?redynamikken har til felles, er at de begge krever en god dose t?lmodighet.
