Jeg tror ikke det er kontroversielt ? p?st? at en av v?re objektivt beste filmsjangre er sci-fi western. Det er noe veldig treffende med kombinasjonen av s?rstatsdialekt, fremmede ?rkenplaneter og skrale, men merkelig effektive, romskip. I f?rste eksperiment p? veien mot en bedre forst?else av den spesielle relativitetsteorien, skal vi spille inn en duellscene fra nettopp en slik film, men fra to ulike referanserammer.
Fokuset i scenen er to romskip, som fyker forbi planeten v?r med en fart p? over 90% av lysfarten. I manuskriptet har de instrukser om ? skyte laserstr?ler mot hverandre samtidig. Vi har ett kamerateam p? planetoverflaten, og et annet i et tredje romskip som f?lger bevegelsen til de to andre.
Fra planeten tar vi f?lgende opptak.
Vi m?ler en avstand \(L = 424.3\,km\) mellom skipene, og farten \(v = 0.906c\) mot h?yre. I filmen ser vi at venstre romskip fyrer sin laser f?rst, selv om skipene hadde klare instrukser om ? skyte samtidig.
Nedenfor har jeg tegnet situasjonen.
N? vet vi jo hendelsesforl?pet fra v?rt planetperspektiv. Venstre skip var utvilsomt raskest p? avtrekkeren. Det vi likevel er mest interessert i, er en sammenligning med romskipversjonen. Siden myndighetene nylig avskaffet interplanetarisk nettn?ytralitet, m? vi antagelig vente en stund f?r vi mottar denne. I mellomtiden kan vi jo pr?ve ? resonnere oss frem til situasjonen.
Det er ikke mye vi kan si med sikkerhet, men vi vet i det minste at intervallet \(\Delta s^2\) er det samme for oss alle. Det invariante tidromsintervallet er v?r paracet mot den relativitetsinduserte hodepinen.
F?rste steg blir derfor ? definere noen hendelser vi kan regne intervaller ut fra. Vi kan si at hendelse A og B er venstre- og h?yre romskip, respektiv, som avfyrer laserne sine. C og D er tilsvarende at de blir truffet. Nedenfor ser du tidene og posisjonene vi m?ler fra planeten.
F?r vi g?r i gang med rakettperspektivet, vil jeg bare se p? en siste hendelse. I manuskriptet er det nemlig tenkt at h?yre skip skal overleve eksplosjonen, og p? sadistisk vis nyte skuet av destruksjonen den har p?f?rt motstanderen sin. Eller med fysikkterminologi; hendelse E.
Dette m? skje n?r lyset fra venstre eksplosjon n?r h?yre skip. Romskipet begynner i posisjon \(x = L\), og beveger seg med farten \(v\). Lyset starter i posisjonen \(x_C\), hvor eksplosjonen i hendelse C skjer, og reiser med lysfart over en tid \(\Delta t = t_E - t_C\).
\(x_{h?yre\,\,skip}(t_E) = x_{lys\,\,?fra\,\, C} (t_E)\)
\(L + v t_E?= x_C + c (t_E - t_C)\)
Jeg l?ser for \(t_E\) og finner
\(t_E = \frac{x_C-L-ct_C}{v-c}?= 23.9 ms\)
Dette gir oss triumfposisjonen
\(x_E =?L + v t_E = 6918.7 km\)
N? har vi en grei oversikt i v?r ramme, og er klar for ? utforske hva observat?ren i romskipet ser. De eneste antagelsene jeg v?ger ? gj?re er
1) Lys har samme fart for alle observat?rer, \(c \approx 300\,000km/s\)
2) Samtidighet er relativt.
3) Tidromsintervallet \(\Delta s^2 = (c\,t)^2 - x^2\) er likt for alle observat?rer.
Vi m? forvente ? gjennomg? en del ligninger, f?r vi n?r noen tilfredsstillende spenningstopp. Hvis lyden av det kun gj?r deg moderat begeistret, kan du sammenligne ligningene med kildelisten til en journalist. Du bestemmer selv hvor n?ye du studerer dem, jeg har de bare med for ? ikke miste all kredibilitet. Det mest interessante ? f? med seg er kanskje hvordan jeg setter dem opp. Resten er ren omstokking av symboler.
For ? ikke miste all tilregnelighet, betegner jeg alle st?rrelser i romskiprammen med merkede symboler. Til ? begynne med kan vi se for oss situasjonen nedenfor.
Hendelser i denne rammen er kanskje greiere ? holde styr p? siden romskipene er i ro. Vi f?r anta at skipene fulgte manus, og skj?t samtidig. Hvis vi setter venstre skip i origo, blir til posisjonen h?yre skip lik avstanden mellom dem \(x'=L'\). Tiden til hendelse C og D m? v?re tiden det tar lyset ? reise denne konstante avstanden; \(t_C = t_D = \frac{L'}{c}\). Den eneste ukjente er dermed \(L'\). Vi kan bruke invarianse i tidromsintervallet mellom hendelse A og B til ? finne L' = 984.2 km.
Nedenfor har jeg oppsummert hendelsene slik jeg tror romskipet observerte dem.
Vi ser umiddelbart store forskjeller fra v?r planetramme. Vi har allerede kastet samtidighet ut av vinduet. Her ser det i tillegg ut til at eksplosjonene skjer mye tidligere fra romskipets perspektiv. Mindre tid har passert. Som om dette ikke var nok grunnlag for en eksistensiell krise, er avstanden mellom romskipene plutselig dobbel s? stor.
Hva s? med hendelse E, n?r h?yre romskip ser venstre skip eksplodere? Det burde i alle fall skje i posisjon \(x_E' = L'\), hvor h?yre romskip er. Vi kan ogs? tenke oss fram til at \(t_E'\) burde v?re tiden det tar laseren ? reise f?rst frem til venstre romskip, pluss tiden det tar lyset fra den resulterende eksplosjonen ? reise tilbake til h?yre skip. Alts? \(t_E' = 2\frac{L'}{c}\). Jeg lovte meg selv ? ikke trekke forhastede situasjoner, s? jeg vil gjerne validere med et tidromsintervall.
Vi kan for eksempel se p? intervallet mellom eksplosjonen av venstre romskip og den observerte eksplosjonen. I v?r planetramme har vi
\(\Delta s_{CE} ^2 = \Delta t_{CE}^2 - \frac{\Delta x_{CE}^2}{c^2} \)
Uten ? sette inn noen tall vet vi at \( \Delta t_{CE}\) m? v?re tiden det tar lyset ? reise distansen \(\Delta x_{CE}\), og \(\Delta s_{CE}^2 = 0\). M?ten tidromsintervallet er definert gj?r at dette alltid vil gjelde n?r vi snakker om lys. Vi vil selvf?lgelig alltid m?le at lyset bruker tiden det tar lyset ? reise den gitte avstanden. Det betyr at intervallet ogs? m? v?re null i romskiprammen.
\(\Delta s_{CE}' ^2 = 0\)
\(t_E' =?\frac{x_E'-x_C'}{c} +?t_C' ?\)
N?r jeg setter inn utrykkene fra tabellen f?r jeg
\(t_E' = 2\frac{L'}{c} = 6.57 ms\)
Akkurat det vi antok. Ogs? denne tiden er mindre enn den vi m?lte p? planeten.
N? tror jeg vi alle trenger en liten pause. Det passet derfor bra at rakettopptaket endelig n?dde fram.
Interessant. Vi f?r her bekreftet at de faktisk skj?t samtidig i romskiprammen. Tidspunktene og posisjonene vi regnet oss fram til ser ogs? ut til ? stemme. Vi m? derfor konkludere med at hendelsene ikke skjer samtidig, romskipet m?ler kortere tid og lengre avstand.
Dette var jo bare ett eksperiment, og i stedet for ? henge oss opp i disse tallene, vil jeg pr?ve ? jobbe meg mot noe mer generelt. Universet retter seg tydeligvis ikke etter min intuisjon. Det betyr likevel ikke at det ikke finnes noe som helst system i det vi ser.
F?r vi hopper inn i flere utregninger, vil jeg innf?re et lite hjelperomskip midt mellom skipene n?r \(t = t' = 0\). Dette er i samme referanseramme som resten av romskipene, og beveger seg da med \(v = 0.906\) til h?yre fra v?rt perspektiv. I romskiprammen st?r begge skipene i ro og skyter samtidig. Laserne m? derfor m?tes i posisjonen til hjelperomskipet.
Tilbake til planeten. Det tredje romskipet beveger seg med samme fart som de to andre skipene, og burde, ogs? i v?r ramme, forbli midt mellom dem. Fra rakettrammen vet vi at laserne vil krysse i posisjonen til dette romskipet. Dette er en definerbar hendelse som ogs? m? skje i v?r ramme. Da vet vi at laserne krysser midt mellom skipene, ogs? for oss. Jeg kaller det hendelse X.
Jeg begynner med ? se litt n?yere p? samtidigheten. Intervallet mellom skudd av venstre skip, hendelse A, og m?tet mellom laserne i midten, hendelse X, er null ut fra samme argument som f?r.
\(\Delta t_{AX}^2 - \frac{\Delta x_{AX}^2}{c^2} =?0\)
\(t_A = \frac{x_A}{c} + (t_X -?\frac{x_X}{c})\)
Bruker jeg i stedet hendelse B, f?r jeg tilsvarende
\(t_B = \frac{x_B}{c} + (t_X -?\frac{x_X}{c})\)
Siden \(x_A < x_B\), m? ogs? \(t_A < t_B\). Vi har jo sett det fra opptakene, men her faller ogs? relativ samtidighet rett ut av ligningene. N?r vi vet laserne skal m?tes midt mellom skipene som beveger seg mot h?yre, er dette resultatet ganske intuitivt. Hjelpeskipet i midten m? ogs? bevege seg mot h?yre, vekk fra venstre- og mot h?yre laser. Venstre laser har lengre vei ? g?, og m? avfyres f?rst hvis m?tet i midten skal skje.
N?r vi n? g?r videre, er det praktisk ? ha alle posisjonene som funksjon av tid foran oss. Da kan vi bare sette de relevante ligningene lik hverandre, og l?se for det vi er interessert i. Rekken av utregninger h?per vi etterhvert vil lede oss fram mot en generell sammenheng mellom tiden vi m?ler fra planeten, og tiden de m?ler i raketten.
Romskipene beveger seg alle med farten \(v\), og vi beh?ver bare ta hensyn til de ulike startposisjonene.
For venstre romskip har vi
\(x_V(t) = vt\)
For hjelperomskipet er
\(x_M(t) = \frac{L}{2} + vt\)
H?yre romskip har til slutt
\(x_H(t) = L + vt\)
Den venstre laseren sendes avsted ved \(t=0\), og beveger seg mot h?yre med lysfart.
\(x_{VL}(t) = ct\)
H?yre laser avfyres i posisjonen \(x_B= x_H(t_B)\) og sendes mot venstre med lysfart. Fra dette punktet blir endringen av posisjonen \(-c\Delta t = - c(t-t_B)\) og
\(x_{HL}(t) =?x_H(t_B) - c(t-t_B) = L + vt_B - c(t-t_B)\)
Denne er bare definert for \(t \geq t_B\), siden laseren ikke eksisterte f?r dette. Jeg har oppsummert p? figuren under.
N? kan vi begynne ? finne litt tidspunkter. Laserne og det midtre romskipet m?tes n?r
\(x_M(t_X) = x_{VL}(t_X)\)
\(\frac{L}{2} + vt_X = ct_X\)
Dette gir oss m?tetidspunktet
\(t_X =?\frac{L}{2(c-v)} = 7.53 ms\)
Fra opptaket m?lte vi at h?yre skip avfyrte sin laser n?r \( t = t_B = 8.65\). Dette er umulig, siden m?tet mellom laserne n?r \( t = t_X < t_B\). Det er ingen hemmelighet at usikkerheten i m?lingene jeg gjorde er store, og vi kan i stedet pr?ve ? finne et nytt utrykk for \(t_B\). Posisjonen til h?yre laser og midtre romskip, som er avhengig \(t_B\), overlapper n?r \(t=t_X\).
\(x_{HL}(t_X) = X_M(t_X)\)
\(L+vt_B - c(t_X-t_B) =?\frac{L}{2} + vt_X\)
Da er det bare ? l?se for \(t_B\), og
\(t_B = t_X?-\frac{L}{2(v+c)} = 7.16 ms\)
Dette var mer fornuftig. Vi har fortsatt usikkerhet i m?lingen av avstanden \(L\), men n? bryter vi i alle fall ikke lenger noen form for kausalitet. Vi kan videre utlede tidspunktet for hendelse C, n?r venstre skip eksploderer. Dette skjer n?r venstre skip og h?yre laser m?tes.
\(x_V(t_C) = x_{HL} (t_C)\)
\(vt_C = L+vt_B - c(t_C-t_B)\)
Jeg setter inn likningen for \(t_B\) over, og l?ser for \(t_C\).
\(t_C = t_X +?\frac{L}{2(v+c)} = 7.90 ms\)
Dette er etter \(t_X\), n?r laserne m?tes, og passer inn i kronologien. Vi kan s? sp?r oss n?r lyset fra venstre eksplosjon n?r hjelpeskipet. Jeg kaller det hendelse X2.
\(x_{venstre\,\,eksplosjon}(t_{X2}) = x_M(t_{X2})\)
\(vt_C + c(t_{X2}-t_c) =?\frac{L}{2} + vt_{X2}\)
\(t_{X2} =?\frac{L}{2(c-v)} + t_C \)
Jeg setter inn utrykket for \(t_C\) over, og f?r ut
\(t_{X2} = L\frac{c}{(c^2-v^2)} + t_X\)
Vi har jo virkelig sett p? mange nok hendelser allerede. Grunnen til at jeg n? har definert enda en, er for ? se p? intervallet mellom krysning mellom laserne og det midtre skipet sin observasjon av venstre eksplosjon, \(\Delta t = t_{X2}-t_{X}\). Dette blir bare
\(\Delta t = L\frac{c}{(c^2-v^2)}\)
Romtidsintervallet \(s_{X\,X2}^2\) blir
\(s_{X\,X2}^2 = \Delta t^2 - \frac{v^2\Delta t^2}{c^2}\)
n?r jeg bruker at endring i romlig posisjon er endringen i posisjonen til det midtre romskipet, som reiser en distanse \(v \Delta t\). For romskipet skjer hendelsene samme sted i rommet, og \(s’_{X\,\,X2}=\Delta t’^2\). Setter vi disse sammen f?r vi
\(\Delta t^2(1-\frac{v^2}{c^2}) = \Delta t’^2\)
\(\Delta t = \gamma \Delta t’\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \gamma = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
Siden Lorentz-faktoren \(\gamma\) alltid er st?rre enn en, vil tiden vi m?ler v?re st?rre enn den de m?ler i romskipet. St?rre fart gir st?rre \(\gamma\), og effekten ?ker n?r vi n?rmer oss lysfarten. I eksemplet s? vi tydelig at tiden tikket saktere for romskipteamet. Men her har vi utledet en enkel sammenheng som viser n?yaktig hvordan dette henger sammen. Tiden vil alltid g? langsommere for noen som beveger seg i forhold til deg!
Fra rakettenes perspektiv er det fors?vidt du som beveger deg. Siden utrykket over er generelt og alle referansesystemer er likestilte, er det faktisk vi som har en langsommere klokke fra romskipenes st?sted. La det synke inn litt. Noen ganger f?ler jeg den mest innovative science fiction-skaperen vi har er universet selv.
S? var det dette med avstandsendringer. Intervallet \(\Delta t’\) burde v?re lik avstanden lyset reiser, delt p? lysfarten. Fra hjelpeskipet, til venstre skip og tilbake, svarer til den totale avstanden mellom romskipene \(L’\). Setter vi i tillegg inn utrykket vi fant for \(\Delta t\), ser vi
\(\frac{Lc}{c^2-v^2}= \frac{L’}{c}\gamma\)
\(L’ = L\gamma\)
Her er forholdet snudd om. Avstanden m?lt av romskipet skal v?re st?rre enn den vi m?ler fra planeten. Den er ser ut til ? alltid v?re st?rst i rammen hvor avstandsintervallet st?r stille. Det betyr at vi hadde m?lt en kortere lengde av romskipene, mens romskipene m? ha sett en sammenklemt planet.
De to filmversjonene er dramatisk forskjellige. Rakettfilmen er en historie som illustrerer meningsl?sheten av gjensidig destruksjon. Planetfilmen er fortellingen om en uintelligent antagonist som f?r som fortjent n?r han er raskest p? avtrekkeren, bare for ? fyke inn i laseren fra h?yre skip f?rst, etter de responderer p? angrepet. Romskipfilmen er ogs? mye kortere enn v?r, selv om de har satt opp skipene i st?rre avstand fra hverandre.
Vi har filmet samme virkelighet, men opplever den forskjellig. Og sp?rsm?let om hvem som egentlig har rett, gir ikke s? mye mening. Alle referanserammer er likestilte. Det n?rmeste vi kommer en objektiv dom er kanskje hvilken filmversjon kritikerne liker best.