N?r vi f?rst sender astronauter ut i det store intet, liker vi veldig godt at de har en tvilling. Det er prim?rt to grunner til dette.
1) Det er en god mulighet til ? studere de fysiologiske effektene romreiser har p? mennesker.
2) Tvillinger er naturens versjon av Dropbox. Hvis noe skulle g? galt har vi effektivt sett en reserve igjen p? planeten. Sikkerhetskopier filene dine. Sikkerhetskopier astronautene dine.
Vi har sett at tiden tikker forskjellig for personer som beveger seg i forhold til hverandre. Det kan derfor v?re interessant ? studere effektene romreiser har p? aldring.
Vi har to tvillinger; Kliff Arne planetboer og Kliff Bent astronaut. Jeg bruker mekrede symboler i Kliff Bent sitt system.
Vi sender Kliff Bent avsted mot en planet \(200\) lys?r unna, i en fart \(99\)% av lysfarten.
Kliff Arne m?ler da at reisen vil ta
\(\Delta t = \frac{L_0}{v}=202\) ?r
Mens han fra tidsdilatasjonen finner at Kliff Bent kun vil oppleve
\(\Delta t' = \frac{\Delta t}{\gamma}= 28.5\) ?r
Dette er heilt greit. Den spesielle relativitetsteorien slik vi er vant med den.
Si n? at Kliff Bent snur skipet sitt og reiser tilbake i samme fart.
Dette burde selvf?lgelig ta like lang tid, og i alt vil da \(\Delta t = 404\) ?r passere for Kliff Arne p? planeten, mens \(\Delta t' = 57\) ?r m? g? for Kliff Bent. Vi ser her at den h?ye fartsforskjellen har en voldsom effekt. Kliff Arne er tre og ett halvt ?rhundre eldre enn Kliff Bent n?r de m?tes igjen!
Det er likevel noe rart her. Vi kan ogs? velge ? sette Kliff Bent i ro, slik at det er planetene som beveger seg fram og tilbake.
Vi vet at reisen tok \(\Delta t' = 57\) ?r for Kliff Bent. Men n? er det jo planeten som beveger seg, s? vi f?r
\(\Delta t = \frac{\Delta t'}{\gamma} = 8\) ?r
Kliff Bent mener alts? at han er \(49\) ?r eldre.
Det er her vi kommer i tr?bbel. Det er ikke problematisk at det oppst?r en aldersforskjell. Den spesielle relativitetsteorien viser oss at det er helt forventet n?r vi n?rmer oss lysfarten. Det umulige er at de er uenige om hva aldersforskjellen er og hvem som er eldst n?r de m?tes igjen. Dette kalles tvillingparadokset.
Skal jeg v?re helt ?rlig, s? har intuisjonen min resignert for lenge siden.
Kanskje det oppst?r to parallelle virkeligheter hvor begge har rett. Kanskje de lever i en slags dualisme. Jeg var egentlig forberedt p? ? godta det meste. Det er i slike ?yeblikk jeg m? minne meg selv p? at den spesielle relativitetsteorien ikke er magi. Vi burde v?re skeptiske n?r paradokser som dette oppst?r.
B?de utreisen og hjemreisen i seg selv er helt stuerene eksempler p? spesiell relativitet. Kliffene har hele tiden konstant fart i forhold til hverandre. Det eneste diffuse punktet er kanskje vendingen midtveis.
Hva inneb?rer egentlig en slik vending? Det er i alle fall tydelig at farten ikke kan v?re konstant her. Og selv om farten til Kliff Bent er like stor begge veiene, har han ?penbart byttet referanseramme n?r han returnerer. Dette betyr at betingelsene for den spesielle relativitetsteorien ikke er oppfylt, og vi kan i utgangspunktet ikke bruke tidsdilatasjon direkte.
Burde det ikke likevel v?re en god tiln?rming? Vi kan jo for eksempel tenke oss at Kliff Bent snur kjemperaskt. Vi m? lage en enklere analogi for ? analysere situasjonen.
I stedet for en rakett, se n? for deg en heis som g?r fra Kliff Arne til destinasjonsplaneten. Heisen har uendelig mange jevnt fordelte heisrom med observat?rer, som alle g?r med samme hastighet som den utg?ende raketten. Rakettrammen og heisrammen er da fysisk sett ekvivalente. Kliff Bent er i rommet som ved \(t=t'=0\) er ved startplaneten, P1. Jeg kaller den bl? destinasjonsplaneten P2.
Hendelse A er n?r Kliff Bent drar fra planet P1 og B er n?r han ankommer P2. Observat?ren som er i heisrommet ved P1 n?r Kliff Bent n?r P2 skur p? et bl?tt lys og sjekker klokka p? P1. Dette kaller jeg hendelse B'.
Siden Kliff Bent og observat?ren i B’ begge er i den utg?ende heisen, m? de ogs? v?re i samme ramme. De m? v?re enige om tiden
\(t'_{B'} = \frac{L'}{v}= \frac{L_0}{\gamma v}\)
Planettiden observat?ren leser av, kan vi da finne fra tidsdilatasjon
\(t_{B'}=\frac{t'_{B'}}{\gamma}=?\frac{L_0}{\gamma^2 v}=?4.0\) ?r
Fire ?r har passert p? planeten. Dette er hva Kliff Bent forventet, og ikke de \(202\) ?rene Kliff Arne estimerte. Dette er ikke s? merkelig n?r observasjonen ble gjort fra heisrammen. Selv om Kliff Bent ankom P2 n?r heisobservat?ren sjekket klokken, og
\(t'_{B'} = t'_{B}\)
er ikke disse hendelsene samtidige for Kliff Arne p? planeten.
\(t_{B'}=4 \neq 202 = t_{B}\)
Det er ingen motsetninger i resonnementet her. Samtidighet er relativt, og de kan godt v?re uenige. Forvirringen oppst?r f?rst n?r de m?tes igjen og kan utveksle informasjon. Siden vendingen ser ut til ? v?re n?kkelen, m? vi jobbe den inn i analogien v?r.
Samtidig som Kliff Arne reiser fra P1 i planetrammen, drar astronauten Kliff P?l fra planet P3, \(200\) lys?r bortenfor P2. Jeg kaller dette hendelse C, som er samtidig som A i planetrammen; Kliff Bent og Kliff P?l reiser samtidig. Jeg gir Kliff P?l dobbelmerkede koordinater \((x'',t'')\).
I heisanalogien setter jeg Kliff P?l i en heis som g?r motsatt vei av Kliff Bent, men med like stor fart. Klokkene deres burde da tikke like raskt i planetrammen.
Vi kan sjekke tiden til Kliff P?l n?r de m?tes ved P2 i hendelse B. Jeg bruker invarianse i tidromsintervallene til Kliff Arne og Kliff P?l mellom avreisen til Kliff P?l og m?tet ved P2.
\(\Delta s_{BC}^2 = t_B^2-\frac{L_0^2}{c^2}\)
\(\Delta {s''_{BC}}^2 = {t''_B}^2 - 0\)
Jeg setter disse lik hverandre.
\({t''_B}^2 = \frac{L_0^2}{v^2}-\frac{L_0^2}{c^2}\)
\(t''_B = \frac{L_0}{v\gamma}= 28.5\) ?r
Akkurat det samme som Kliff Bent. Grunnen til at jeg er interessert i dette, er at jeg vil representere snufasen ved at Kliff Bent kaster seg over i heisen til Kliff P?l n?r de m?tes ved P2.
I samme ?yeblikk kan vi definere enn ny hendelse B'', hvor en observat?r ved P1 i den returnerende heisen skrur p? ett bl?tt lys og sjekker klokka p? P2.
Vi kan finne tiden \(t_{B''}\) fra tidromsintervallet mellom sjekken av planetklokken og avreisen til Kliff P?l.
I planetrammen har vi avstanden
\(\Delta x_{DB''} =2 L_0\)
I den returnerende heisen sjekker observat?ren klokken i avstanden L' fra Kliff P?l. Lengdekontraksjon gir da
\(\Delta x^{''}_{DB''} =?\frac{L_0}{\gamma}\)
Tiden er lik den samme strekningen L' som planetene forflytter seg, delt p? farten.
\(\Delta t^{''}_{DB''} = \frac{L_0}{\gamma v}\)
Jeg l?ser for \(t_{(B'')}\).
\(t_{B''}^2 - \frac{4L_0^2}{c^2} =?\frac{L_0^2}{\gamma^2 v^2} -?\frac{L_0^2}{\gamma^2 c^2}\)
\(t_{B''}^2 =\frac{L_0^2}{v^2}(\frac{1}{\gamma^2} -?\frac{1}{\gamma^2 c^2} +\frac{4}{c^2})\)
Hvis jeg skriver ut parentesen, kan jeg faktorisere den til \((1+\frac{v^2}{c^2})^2\). Jeg tar roten p? begge sidene, og
\(t_{B''} = \frac{L_0^2}{v^2}(1+\frac{v^2}{c^2})?= 400\) ?r
Vent litt n?. Tiden \(t_{B'}\) p? planeten mens vi var i den utg?ende heisen var \(4\) ?r. Det betyr at planettiden gjorde et bykst p? \(396\) ?r mens Kliff Bent byttet ramme! Legger vi til de fire ?rene som g?r til hjemreisen kommer vi opp i en total planettid p? \(404\) ?r, og plutselig er Kliff Bent og Kliff Arne enige i aldrene sine. For Kliff Arne passerer \(404\) ?r, mens \(57\) ?r g?r for Kliff Bent.
L?sningen ligger alts? i selve rammebyttet. Fra Kliff Bent sitt perspektiv koseter vendingen enormt med tid p? planeten.
Selv om vi n? har identifisert l?sningen av paradokset, er hele akselerasjonsfasen fortsatt veldig diffus. Heisanalogien var et veldig forenklet bilde, hvor vi latet som akselerasjonen skjedde momentant. Jeg vil se litt n?rmere p? en litt mer realistisk modell.
N? tenker vi oss i stedet at Kliff Bent aktiverer en konstant bremseakselerasjon \(g\) idet han n?r P2. I l?pet av en tid \(\Delta T\) har han da redusert farten med
\(\Delta v = - g \Delta T\)
i planetrammen. Hvis den konstante farten han begynner med er \(v_0\), betyr det at han m? st? helt stille n?r
\(\Delta T = -\frac{v_0}{g}\)
Fra dette punktet fortsetter han med samme akselerasjon, og begynner ? bevege seg tilbake mot P2. Etter samme tid \(\Delta T\) m? han v?re helt tilbake igjen.
I l?pet av denne akselerasjonsfasen skjer det hele tiden hendelser Y og Y' tilsvarende hendelsene B og B'.
\(T_Y \) er tiden i planetsystemet etter Kliff Arne n?r planet P2. Da er \(T_Y \) = 0 n?r han er ved P2 og \(T_Y= \Delta T\) n?r han vender og farten er null. For en slik tid \(T_Y\) er Y en hendelse som skjer i den n?v?rende posisjonen til Kliff Arne. Hendelse Y' er en observat?r i utg?ende heis som sjekker tiden p? P1, og skjer samtidig som Y i heisrammene. Han m?ler da i praksis tiden \(T_{Y'}\) som har g?tt siden hendelse B' p? planeten, hvor den utg?ende heisobservat?ren sjekket planetklokka samtidig som Kliff Bent ankom P2.
Vi vil bruke hendelsene over til ? finne ut hvor lang tid som har g?tt p? planeten for b?de Kliff Arne og Kliff Bent n?r romskipet vender. Den vanlige veiformelen for konstant akselerasjon gir oss posisjonen for hendelse Y i planetrammen.
\(x_Y = L_0 + v_0T_Y + \frac{1}{2}gT_Y^2\)
Tiden er lik tiden det tok ? n? P2 i planetrammene, pluss tiden \(T_Y\) som har g?tt siden.
\(t_Y = \frac{L_0}{v_0} + T_Y\)
Klokkesjekken skjer i posisjonen til P1.
\(x_{Y'} = 0\)
Tiden kan skrives som tiden under f?rste klokkesjekk \(t_{B'}\), pluss tiden som har passert siden.
\(t_{(Y')} = \frac{L_0}{v\gamma_0^2}+T_{(Y')}\)
Hendelse Y skjer i posisjonen til Kliff Bent og
\(x'_Y = 0\)
\(t'_Y = t'_Y\)
Avstanden til \(x'_{Y'}\) m? tilsvare avstanden \(x_Y\) i planetrammen, n?r vi tar med effekten av lengdekontraksjon. Denne er avhengig av farten som hele tiden endrer seg.
\(x'_{Y'}=\frac{x_Y}{\gamma(T_Y)}=\frac{L_0+v_0T_Y+\frac{1}{2}gT^2\gamma}{\gamma(T_Y)}\)
hvor \(\gamma(T_Y)\) er \(\gamma\) tatt med momentanfarten farten til romskipet.
Til slutt vet vi at
\(t'_{Y'} =?t'_Y\)
siden hendelsene skjer samtidig i heisrammen. N? har vi alt vi trenger og kan bruke invarians av tidromsintervallet mellom Y og Y’ til ? finne \(t_{Y'}\).
\((t_Y-t_{Y'})^2 - \frac{x_Y^2}{c^2} = -\frac{x_Y^2}{\gamma(T_Y)^2 c^2}\)
\(t_Y-t_{Y'} =?\frac{x_Y}{c}(1-(1-\frac{v(T_Y)^2}{c^2}))\)\(t_Y-t_{Y'}=\frac{x_Y}{c}(1-(1-\frac{v(T_Y)^2}{c^2}))\)
\(t_{Y'} =?t_Y - ?\frac{v(T_Y)^2x_Y}{c^3}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,= \frac{L_0}{v_0}+T_y - \frac{v(T_Y)^2}{c^3}(L_0+v_0T_Y+\frac{1}{2}gT_Y^2)\)
Hvor \(v(T_Y) = v_0 - gT_Y\) er farten en tid \(T_Y\) etter akselerasjonen begynte. La oss sette inn litt tall og se hva som skjer. Her blir det fort enhetskluss. Anta for eksempel at akselerasjonen
\(g = -0.1 m/s^2\)
Vi vil ha dette i enheten per ?r.
\(g=?\frac{-0.1}{c}\cdot sekunder\,per\,?r=-0.0105 \,\,\frac{1}{?r}?\)
Fra dette finner vi aksellerasjonstiden
\(\Delta T = \frac{v_0}{g} =94\) ?r
p? planeten, og i alt har da
\(t_Y = 296\) ?r
?r g?tt p? planeten. Vi ser ogs? at
\(t_Y' = t_Y\)
siden \(v(T_Y)=0\) n?r \(T_Y = \Delta T\), og det store leddet forsvinner i utrykket vi fant. Plutselig er Kliff Bent i samme ramme som Kliff Arne og de er enige om tiden som har g?tt for hverandre. Klokkesjekken p? planeten skjer samtidig som vendingen i begge rammene.
Vi kan plotte planettiden Kliff Bent m?ler som funksjon av planettiden Kliff Arne m?ler.
I den bl? delen av grafen er farten konstant, og Kliff Bent mener tiden p? planeten g?r mye langsommere enn Kliff Arne. Stigningstallet her er \frac{1}{\gamma^2}. S? starter akselerasjonen og planettiden Kliff Bent m?ler skyter til v?rs, til han plutselig st?r stille. I det ?yeblikket er de i samme referanseramme, og de er enige i tiden som har passert for hverandre.
I l?pet av bremsingen har planeten aldret \(\Delta T = t_Y - 4=292\) ?r. Legger vi til samme tid for den p?f?lgende akselerasjonen ser vi at Kliff Arne i alt blir
\(t = 292\cdot 2 + 8 = 592\) ?r gammel.
S? var det Kliff Bent. Jeg begynner ? se p? nedbremsingen. F?rst av alt har vi
\(\Delta t' = \frac{\Delta t}{\gamma} = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta t\)
Farten \(\Delta t' = \frac{\Delta t}{\gamma} = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta t\) er tidsavhengig, og jeg kan ikke regne tiden ut direkte. Jeg bruker utrykket
\(v(t) ?= -gt\)
og kan p? den m?ten skrive rakettiden \(t'\) som funksjon av planettiden \(t\).
\(\Delta t' =?\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}}\Delta t\)
Dette kan jeg ogs? skrive som
\(\frac{\Delta t'}{\Delta t} =?\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}}\)
Lar jeg \(\Delta t'\) og \(\Delta t\) g? mot null, kan jeg utfra definisjonen av den deriverte skrive
\(\frac{dt'}{dt} =?\sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}}\)
For ? f? ut \(t'\) kan jeg n? integrere begge sider med hensyn p? \(t\).
\( \int? \frac{dt'}{dt} dt = \int \sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}} dt\)
Akselerasjonen varer fra \(t=0\), til \(t=\frac{v_0}{g}\) og jeg kan sette inn grensene
\(t' =?\int_0^{v_0/g} \sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}} dt\)
Dette integralet kan vi sl? opp, og jeg finner at Kliff Bent blir
\(t' = \frac{v_0\sqrt{1-v_0^2}+arcsin(v_0)}{2g}= 74.6\) ?r
eldre under nedbremsingen. Dette er noe veldig annet enn da vi snudde med uendelig akselerasjon.
Inkluderer jeg de andre delene av reisen g?r i alt
\(t' = 74.6\cdot 2+57=206\)?r
for Kliff Bent. Litt over en tredjedel av planettiden. Det er ingen tvil om at Kliff Arne er eldst n?r de m?tes igjen.
Tvillingparadokset; et av fysikkens mest ber?mte paradokser. Men strengt tatt ikke egentlig et paradoks. To observat?rer som synkroniserer klokkene sine for s? ? fortsette bevegelsen sin i ulike referanserammer, m? akselerere for ? kunne m?tes igjen. Dermed har vi reddet oss i land.
En kaptein g?r alltid ned med skuta si. Vel, ikke denne kapteinen.