OBS! Dette innlegget ble mer teknisk, men jeg kommer til ? snakke om og bruke numeriske l?sninger senere, s? dersom du lurer p? hva det er mer i detalj er dette innlegget verdt ? lese gjennom.
En analytsik l?sning
En analytisk l?sning er n?r du kan l?se noe med tegn og tall. Si at du for eksempel har formelen \(x - 3 = 7\) og vi vil vite hva x er. Da trenger vi bare ? legge til 3 p? begge sider av formelen og sitter igjen med \(x = 10\). Dessverre er det ikke slik at alle problemer lar seg l?se s? lett, spesielt i fysikken, og da m? vi ty til noen triks.
Numeriske l?sninger av ordin?re differensialligninger
Du vet kanskje at den deriverte av posisjon er fart? Og at den deriverte av fart er akselerasjon? Dette er sv?rt viktig for mekanisk fysikk og er veldig nyttig n?r man skal forutse hvordan objekter kommer til ? forflytte seg. En differensialligning er en ligning som inneholder b?de en funksjon og den deriverte av den funksjonen. Et eksempel p? dette er hastigheten i et tyngdefelt. Posisjonen din i tyngdefeltet avgj?r styrken p? tyngdekraften som bestemmer akselerasjonen din som igjen bestemmer hastigheten din, som bestemmer hvor du befinner deg.
Det er viktig ? huske at numeriske l?sninger kun er tiln?rminger til de faktiske l?sningene, men hvis du l?ser de med sm? nok tidssteg er det en god nok tiln?rming. Ihvertfall i fysikken.
Eksempel p? numerisk l?sning
Det er en del begrensninger til numeriske l?sninger, men det man vanligvis gj?r er at man antar at for eksempel akselerasjonen er konstant for et gitt tidsintervall.
Si du er i tyngdefeltet til en planet. Planeten veier en billiard kg (1015 kg), og vi starter 100 meter fra den. Hvis vi vil se p? bevegelsen v?r i 10 sekunder kan vi starte med ? dele opp de 10 sekundene i 100 steg. Et steg er alts? 0,1 sekunder. Uttrykket for tyngdeakselerasjon er gitt ved
\(a = G\frac{m_{planet}}{r^2} = 6.67*10^{-11} * \frac{1*10^{15}}{100^2} = 6.67 m/s^2\)
Det vi n? gj?r for ? finne en numerisk l?sning av posisjonen er ? f?rst se p? hastigheten. Vi vet at hastighet er gitt ved m/s og akselerasjon er gitt ved m/s2. Hvis vi da antar at akselerasjonen er konstant i tidsintervallet p? 0,1 sekunder kan vi multiplisere akselerasjonen med 0,1 og har da hastighetsendringen i det tidsintervallet. S? si at vi starter med en hastighet 0. Da er hastigheten v?r etter det f?rste tidsintervallet
\(v = 0 + 0.1 * 6.67 = 0.667\)
Deretter kan vi se p? posisjonen, den vil v?re avhengig av hastigheten i tidssteget p? samme m?te som hastigheten var avhengig av akselerasjonen. Vi starter ved 100 meter og siden vi faller nedover trekker vi fra hastigheten.
\(x = 100 - 0.1 * 0.667 = 99,9333\)
Da har vi beregnet hvor vi befinner oss etter 0,1 sekunder. Men n? som vi har en ny posisjon vil vi jo ha en ny akselerasjon. Putter vi den nye h?yden inn i uttrykket for akselerasjon f?r vi en ny akselerasjon p? 6,679 m/s2 og da kan vi bruke den videre til ? regne p? hastigheten og deretter posisjonen.
Som du sikkert ser blir dette fort utrolig mye regning. Bare for ? regn p? et fall p? 10 sekunder med et tidssteg p? 0,1 sekundre m? vi gj?re 300 matteoperasjoner!! Dette virker jo helt ubrukelig?
Heldigvis har vi datamaskinen
I programmeringsspr?ket python kan man f? datamaskinen til ? gj?re disse 300 operasjonene p? et par sekunder, og det er her numeriske l?sninger viser seg ? v?re nyttige allikevel. I python kan vi ?ke oppl?sningen s? vi har tidssteg p? nanosekunder og allikevel kan vi f? ut den nye posisjonen v?r p? bare noen sekunder. Dette skal jeg bruke fremover i min forskning, og n? kan du henge med n?r jeg nevner numeriske l?sninger!