Vi befinner oss p? et romskip i fritt fall mot et sort hull med masse \(M=2{,}08251\!\cdot\!10^7\,M_\odot\), mens Jan-Egils forskningsgruppe befinner seg p? en planet som g?r i bane \(1\text{?AU}\) fra det sorte hullet. Romskipet starter med hastighet \(0{,}203\), og like f?r det n?r hendelseshorisonten settes motorene i gang s? vi kommer oss tilbake til planeten og kan sammenlikne resultatene. Under eksperimentet kan vi se bort fra bevegelsen rundt det sorte hullet, posisjonen kan da angis som kun avstanden fra singulariteten.
Vi sender lyssignaler mot hverandre med fast frekvens, det vil si samme tid mellom hvert signal. Frekvensen til selve lyset skal vi betegne med farge for ? unng? forvirring. Vi sender bl?tt lys mens de p? planeten sender r?dt lys. I dette eksperimentet er romskipet en fritt fallende observat?r, og planeten er en skallobservat?r. Det betyr at begge observat?rene blir p?virket av tyngdefeltet til det sorte hullet.
Vi trenger et uttrykk for energien til det fallende romskipet som kan beregnes av en skallobservat?r. Sett fra en langt-vekk-observat?r har vi \(\frac{E}{m}?= \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau}\). Ved ? bruke \(\Delta t_\text{shell}=\sqrt{1-\frac{2M}{r}}\Delta t\), og se p? infinitesimale tidsintervaller, f?r man
\(\begin{equation} \frac{E}{m}?= \sqrt{1-\frac{2M}{r}}\frac{\text{d}t_\text{shell}}{\text{d}\tau} \end{equation}\).
I dette uttrykket tenker man seg at skallet har en infinitesimal tykkelse \(\text{d}r\), og over den avstanden m?ler skallobservat?ren et tidsintervall \(\text{d}t_\text{shell}\) og romskipet et tidsintervall \(\text{d}\tau\). Avstanden \(r\) er radien til skallet m?lt av skallobservat?ren. Problemet er bare at skallobservat?ren ikke har noen m?te ? m?le denne radien p?. Alt man sender inn blir slukt av det sorte hullet, og kan ikke sende noen signaler tilbake etter ? ha passert hendelseshorisonten. Man har derfor valgt ? definere \(r\) som den radien som gir omkretsen til skallet i euklidsk geometri, og som er den en langt-vekk-observat?r m?ler. Avstanden skallobservat?rer m?ler mellom to skall stemmer imidlertid ikke med denne definisjonen, med andre ord \(\Delta r_\text{shell}\neq\Delta r\).
Siden skallobservat?ren befinner seg p? samme sted som romskipet, og m?ler infinitesimale mengder, kan man bruke et lokalt inertialsystem akkurat idet romskipet passerer. I et inertialsystem gjelder spesiell relativitet, og da kan vi skrive
\(\begin{equation} \frac{E}{m}=\sqrt{1-\frac{2M}{r}}\gamma_\text{shell} \end{equation}\), med \(\gamma_\text{shell} = 1/\sqrt{1-v_\text{shell}^2}\)
Ved ? sette inn verdiene som ble m?lt da romskipet befant seg ved siden av planeten f?r vi \(E/m = 0.78\). Siden \(E/m\) er en bevart st?rrelse kan vi bruke denne verdien uansett hvor romskipet befinner seg.
Vi begynner med ? se bort fra tiden lyset bruker p? ? reise mellom planeten og romskipet, og bare se p? n?r signalene sendes i de to systemene. Etterp? skal vi gj?re nye beregninger for n?r signalene blir mottatt.
Frekvensen til signalene er h?y nok til at endringen i posisjonen til romskipet mellom to signaler er neglisjerbar. Vi kan dermed bruke relasjonen
\(\Delta\tau = \sqrt{1-\frac{2M}{r}}\frac{m}{E}\Delta t_\text{skall} \Leftrightarrow r = 2M\left(1-\left(\frac{\Delta\tau}{\Delta t_\text{shell}}\frac{E}{m}\right)^2\right)^{-1}\)
til ? finne avstanden fra romskipet til sentrum av det sorte hullet.
Vi ser fra uttrykket over at jo n?rmere Schwarzschild-radien romskipet kommer, jo saktere g?r egentiden i forhold til planettiden. Det betyr at signalene vi f?r tilsendt fra planeten er bl?forsk?vet og har ?kende frekvens. Vi kan ogs? forutse at forskergruppen p? planeten observerer r?dforskyvning og minkende frekvens p? v?re signaler. Da vi m?ttes igjen etter reisen fikk vi vite at det var akkurat dette de hadde observert.
Det skjer likevel noe rart n?r romskipet n?rmer seg Schwarzschild-radien. Uttrykket vi har funnet g?r mot null, som skulle tilsi at frekvensen p? signalene vi mottar g?r mot uendelig. N? har det seg slik av vi ikke kan ta romskipet helt til hendelseshorisonten – vi vil ikke risikere ? bli slukt av det sorte hullet – s? vi kan ikke teste eksperimentelt hva som skjer. Vi kan imidlertid ekstrapolere opptaket v?rt av signalene, og da ser vi til slutt et kontinuerlig lys fra planeten.
Dette kan ikke stemme. Romskipet ville jo ikke stoppet, men fortsatt ? falle inn i det sorte hullet. For ? finne l?sningen skal vi n? ta tiden lyssignalene bruker p? ? n? romskipet med i beregningene.
N?r lyset reiser fra mellom romskipet og planeten blir det p?virket av relativistiske effekter. Blant annet er ikke hastigheten til lyset lenger den samme for alle observat?rer! Tenk deg at en lysstr?le beveger seg inn mot et sort hull, og rundt det sorte hullet er det en rekke skallobservat?rer. Hver skallobservat?r m?ler hastigheten til lyset idet det passerer og merker tidspunktet n?r det passerte. Alle skallobservat?rene vil m?le lysets hastighet til ? v?re \(c\), men hvis man ser p? n?r lysstr?len traff de forskjellige skallene vil lyshastigheten g? mot null n?r lyset n?rmer seg hendelseshorisonten.
For en lysstr?le som beveger seg radielt vil en langt-vekk-observat?r m?le \(v_r = \pm\left(1-\frac{2M}{r}\right)\), der fortegnet markerer om lyset beveger seg inn mot eller bort fra massen.
En lysstr?le som blir sendt fra romskipet vil alts? akselerere bort fra det sorte hullet. N?r romskipet n?rmer seg det sorte hullet vil lyset det sender ut bevege seg saktere og saktere, og i grensen der \(r=2M\) vil ikke lyset bevege seg i det hele tatt. Frekvensen til de mottatte signalene vil dermed avta enda mer enn det vi fant tidligere, fordi effekten av at lyset g?r saktere kommer i tillegg til at tiden p? romskipet g?r saktere. I tillegg vil frekvensen p? signalene begynne ? avta f?r fargen endrer seg siden det kun er tidsdilatasjonen p? romskipet som for?rsaker r?dforskyvning. Begge effektene er store nok til at de synes uten n?yaktige m?linger.
S? skal vi beregne hva som skjer med signalene som sendes fra planeten til romskipet. Denne gangen virker effektene mot hverandre. Tiden g?r raskere p? planeten enn p? romskipet, s? frekvensen p? signalene ?ker og vi observerer bl?forskyvning. Samtidig, n?r romskipet n?rmer seg det sorte hullet bruker lyset lenger tid p? ? reise fra planeten til romskipet. Den ekstra reisetiden ?ker raskest, s? frekvensen p? signalene vi mottar g?r ned, men vi f?r fortsatt bl?forskyvning.
