Vi tenker oss at en rakett blir skutt fra et skall med radius \(R = 20\,M\) rundt et sort hull. Rett etter oppskytningen slutter motoren ? virke, og raketten er i fritt fall med hastighet \(v_\text{shell} = 0{,}993\). Raketten ble skutt opp med en vinkel \(\theta = 167°\) som vist p? figuren.
Det er nyttig definere et effektivt potensial for det sorte hullet. Det kan brukes til enkelt ? beregne den radielle bevegelsen til et objekt avhengig av hvor mye energi per masse det har. Potensialet avhenger av spinnet og massen til objektet, og har typisk en form som p? figuren under.
Potensialet gir en intuitiv forst?else av bevegelsen rundt et sort hull, fordi man kan tenke p? det som et relief der en kloss sklir, dyttet nedover av tyngdekraften. Et objekt i fritt fall kan unng? ? falle inn i det sorte hullet p? flere m?ter. Det beste er ? v?re utenfor den kritiske radien \(r_\text{crit}\), og ikke v?re p? vei mot det sorte hulle med h?yere energi enn \(E_\text{crit}\). Hvis man skulle v?re s? uheldig ? befinne seg p? innsiden av den kritiske radien kan man fremdeles komme seg ut hvis man har h?yere energi per masse enn \(E_\text{crit}/m\), og beveger seg bort fra det sorte hullet, dette krever imidlertid at man p? et tidligere tidspunkt ble akselerert utover for ? f? nok energi.
For ? finne ut hva som skjer med raketten i v?rt tilfelle m? vi regne ut energien per masse til raketten og \(E_\text{crit}/m\).
Vi finner den f?rste ved \(\frac{E}{m} = \sqrt{1-\frac{2M}{R}}\gamma_\text{shell}\) , og vi kan finne den kritiske radien ved \(r_\text{crit} = \frac{(L/m)^2}{2M}\left(1-\sqrt{1-\frac{12M^2}{(L/m)^2}}\right)\).
Det effektive potensialet i Schwarzschild-geometri er \(V_\text{eff}?= \sqrt{\left(1+\left(\frac{L/m}{r}\right)^2\right)\left(1-\frac{2M}{r}\right)}\).
Vi kan forenkle uttrykkene ved ? angi \(r\) og \((L/m)\) i enhet \(M\). Da blir \(r_\text{crit} = \frac{(L/m)^2}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{12}{(L/m)^2}}\right)\) og \(V_\text{eff}?= \sqrt{\left(1+\left(\frac{L/m}{r}\right)^2\right)\left(1-\frac{2}{r}\right)}\).
S? finner vi \((L/m) = \gamma_\text{shell}rv_{\phi,\text{shell}} = R\gamma_\text{shell(}v_\text{shell}\sin\theta) = 37{,}82\, M\),
setter det inn i uttrykkene og plotter.
Vi ser at energien til raketten er st?rre enn den kritiske energien, s? raketten vil bli slukt av det sorte hullet.
Vi skal n? regne ut hvor lang tid v?r hypotetiske astronaut m?ler fra raketten krysser hendelseshorisonten – alts? \(r = 2M\) – til den n?r singulariteten i sentrum av det sorte hullet. Vi ser p? en situasjon der \((L/m)=0\) og \(M = 4\!\cdot\!10^6M_\odot\), massen til det sorte hullet i sentrum av Melkeveien.
Det generelle uttrykket for energi per masse i Schwarzschild-geometri er
\(\frac{E}{m} = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau}\) og egentiden er \(\Delta\tau^2 = \Delta s^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1-\frac{2M}{r}}\).
Vi kan erstatte \(\Delta\) med infinitesimaler \(\text{d}\) i det siste uttrykket og kombinere de to for ? f?
\(\frac{\text{d}r}{\text{d}\tau} = -\sqrt{\frac{E^2}{m^2}-\left(1-\frac{2M}{r}\right)}\), alts? \(\tau = -\int\limits_0^{2M}\left(\frac{E^2}{m^2}-1+\frac{2M}{r}\right)^{-1/2}\text{ d}r\)
M?lt p? klokken til astronauten tar alts? reisen fra hendelseshorisonten til sentrum \(4{,}765\text{ s}\).
Selv om tyngdekraften ikke egentlig fins i generell relativitetsteori er det enklere ? visualisere en kraft enn endringer i formen til tidrommet. Vi skal derfor bruke begrepet tyngdekraft for ? forklare hva som skjer n?r man n?rmer seg singulariteten. Jo n?rmere man er en masse, jo raskere ?ker tyngdekraften, og n?r man n?rmer seg sentrum g?r den mot uendelig. Det vil si at hvis astronauten har f?ttene ned vil tyngdekraften g? mot uendelig ved f?ttene, men fortsatt v?re endelig ved hodet. Astronauten blir dermed strukket mot uendelig.
