Nesten all energien stjernen sender ut stammer fra fusjonsreaksjoner i kjernen. For stjerner i hovedserien er det Hydrogen som fusjonerer til Helium. Vi skal lage en modell for disse kjernereaksjonene og bruke den til ? ansl? luminositeten til stjernen.
Vi m? f?rst gj?re noen forenklinger. Vi antar at stjernen er en ideell gass med konstant tetthet \(\rho_0\) i hydrostatisk likevekt. Vi antar ogs? at stjernen bare best?r av H-1, alts? protoner med ett elektron rundt, med masse \(m_\text{H} = 1{,}67\cdot110^{-27}\text{?kg}\).
Vi skal estimere temperaturen i kjernen. Vi antok ideell gass, s? vi kan bruke \(p = nkT\), eller \(T = \frac{p}{nk}\) siden vi skal finne temperatur. Partikkeltettheten \(n\) finner vi enkelt som massetettheten delt p? massen til én partikkel: \(n = \frac{\rho_0}{\mu m_\text{H}}\), der \(\mu\) er den gjennomsnittelige massen til en partikkel gitt som en andel av massen til H-1. Siden v?r gass ikke best?r av noe annet blir \(\mu=1\) her, men vi beholder den for ? ha en mer generelt uttrykk. For ? finne trykket \(p\) bruker vi antagelsen om hydrostatisk likevekt, alts? at trykket akkurat motvirker tyngdekraften. Vi m? alts? finne tyngdekraften inne i stjernen. Hvis man tenker seg et punkt med avstand \(r\) fra sentrum av stjernen vil tyngdekraften fra all gassen som er lengre unna kansellere, og man st?r igjen med tyngdekraften fra kulen av gass som er n?rmere sentrum enn \(r\). Massen til denne kulen er \(M(r) = \rho_0 \cdot\frac{4}{3}\pi r^3\), s? tyngdekraften blir \(g(r) = G\frac{M(r)}{r^2} = \frac{4\pi}{3}G\rho_0 r\).
Vi setter det inn i formelen for hydrostatisk likevekt :
\(\frac{\mathrm{d}p}{\text{d}r} = -\rho(r)g(r) = -\rho_0^2\frac{4\pi}{3}Gr\).
S? setter vi alt inn i uttrykket for temperatur og f?r
\(\frac{\text{d}T}{\text{d}r} = -\frac{4\pi}{3} G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}r\) , som gir \(T(r) = -\frac{4\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_\text{H}}{k}\int r\:\text{d}r = T(0) -\frac{2\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_\text{H}}{k}r^2\)
Siden vi kjenner temperaturen p? overflaten \(T(R_*) = 3639\text{ K}\), kan vi vinne temperaturen i kjernen ved \(T_c = T(0) = T(R_*) + \frac{2\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_\text{H}}{k}R_*^2 = 9{,}645465\!\cdot\!{10}^{6}\text{ K}\).
Vi skal n? beregne luminositeten til stjernen basert p? kjernereaksjonene i kjernen. Vi antar at alle kjernereaksjonene skjer innenfor en radius p? \(0{,}2R_*\). Tre typer kjernereaksjoner kan finne sted i en stjerne: pp-kjeden, der flere \(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\!\text{H}\) fusjonerer til \(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\!\text{He}\), CNO-syklusen, der \(\text{C}\), \(\text{N}\) og \(\text{O}\) er katalysatorer, og \(3\alpha\)-prosessen, der tre \(\begin{smallmatrix}4\\2\end{smallmatrix}\!\text{He}\) fusjonerer til \(\begin{smallmatrix}12\\6\end{smallmatrix}\!\text{C}\). For v?r stjerne er \(T_c < 90\!\cdot\!10^6\text{?K}\), s? vi kan anta det kun er pp-kjeden og CNO-syklusen som finner sted. Vi antar at kjernen best?r av 74,5% Hydrogen, 25,3% Helium og 0,2% Carbon, Oksygen og Nitrogen. pp-kjeden og CNO-syklusen har hvert sitt uttrykk for produsert energi per masse per tid, gitt ved: \(\begin{align} \epsilon_\text{pp} &= \epsilon_{0,\text{pp}}X_\text{H}^2\rho_0T_6^4\\ \epsilon_\text{CNO} &= \epsilon_{0,\text{CNO}}X_\text{H}X_\text{CNO}\rho_0T_6^{20} \end{align}\)
Dette uttrykket kan se uoversiktlig ut, s? la oss bryte det ned: \(X\) er andelen av en type partikkel i stjernen (s? \(X_\text{H} = 0{,}745\)), \(T_6\) er temperaturen angitt i \(10^6 \text{?K}\) (s? \(T_6 = 9 \mathsf{\ betyr\ at\?}T=9\!\cdot\!10^6\text{ K}\)), og \(\epsilon_{0,...}\) er en konstant som avhenger av hvor effektiv reaksjonen er, det vil si hvor mye av massen som blir gjort om til energi under fusjonsprosessen. Med disse uttrykkene kan vi finne luminositeten til stjernen fra kjernereaksjonene ved ? l?se \(\frac{\text{d}L}{\text{d}r} = (\epsilon_\text{pp} + \epsilon_\text{CNO})\rho_04\pi r^2\).
Vi integrerer dette uttrykket numerisk fra \(r=0\) til \(r = 0{,}2R_*\) med \(10^7\) steg – ett steg blir da ca. \(6{,}4\text{ m}\). Derfra f?r vi en luminositet p? \(1{,}60\!\cdot\!10^{23}\text{ W} = 4{,}6\!\cdot\!10^{-4}\,L_\odot\).
Dette svaret er nesten 100 ganger mindre enn det vi fikk da vi baserte oss p? radius og temperatur (se forrige bloggpost). Det kan v?re flere grunner til dette. Den f?rste er antagelsen om konstant tetthet. Vi har observert at denne antagelsen gir gode resultater for hele stjernen, men her har vi bare sett p? kjernen, der tettheten nok er betydelig h?yere. For det andre har stjernen v?r veldig lav temperatur. Uttrykkene vi brukte for \(\epsilon_\text{pp}\) og \(\epsilon_\text{CNO}\) gjelder egentlig bare for temperaturen p? henholdsvis \(T_6\approx 15\) og \(T_6\approx20\) – mye h?yere enn v?r stjernes \(T_6=9{,}65\). Vi brukte disse uttrykkene fordi vi ikke har noen andre, i h?p om at de skulle kunne gi et riktig svar likevel, men gj?r det ikke overraskende at svaret vi f?r ikke stemmer.