Mannen var Johannes Kepler. Han nedf?rte sine kjente tre lover, som lyder som f?lger.
- Planetenes baner er ellipser med Sola i det ene brennpunktet.
- En rett linje fra Sola til planeten sveiper over like store flater p? like store tidsrom \(\left(\frac{d A}{dt}=konstant\right)\).
- Kvadratet av oml?pstiden for en planet er proporsjonalt med tredje potens av dens gjennomsnittlige avstanden fra Sola \((P^2=a^3)\).
Dette er veldig nyttig for oss, for vi kan bruke disse lovene til ? sjekke om v?re baner stemmer. Men f?rst m? vi sjekke om Keplers lover stemmer!
Vi kunne tatt lovene forgitt, men det er ikke noe spennende. Vi ?nsker jo ? vite at de lovene vi bruker stemmer! La oss f?rst ta en titt p? den andre loven.
\(\frac{dA}{dt}=konstant\)
Alts? vil endringen av arealet per endring av tid v?re konstant. Hvis vi n? ser p? et infinitesimalt (uendelig lite) areal sveipet ut av en infinitesimal endring av \(r\), f?r vi en rettvinklet trekant.
Definisjonen p? en vinkel i radianer er \(v=\frac{b}{r}\), hvor \(b\) er buelengden (i r?dt i Figur 2) og \(r\) er radien i sirkelen. Det gir oss at buelengden i Figur 2 blir
\(d\theta=\frac{b}{r}\\ b=rd\theta\)
Ettersom at endringen er uendelig liten, vil \(rd\theta\) bli omtrent en rett linje. Vi kan da brukte den kjente formelen for arealet av en trekant.
\(A=\frac{g\cdot h}{2}\)
hvor \(g\) er grunnlinjen, og \(h\) er h?yden. Alts? blir
\(dA=\frac{r\cdot rd\theta}{2}=\frac{1}{2}r^2d\theta\)
N? skal vi innf?re en ny variabel, kalt \(\vec{h}\). Den representerer spinnet til et legeme om et gitt punkt. Den er gitt ved
\(\vec{h}=\vec{r}\times d\vec{r}\)
Husk at vi opererer med polare koordinater, som gir enhetsvektorene:
\(\hat{e}_r=cos(\theta)\hat{e}_1+sin(\theta)\hat{e}_2\\ \hat{e}_\theta=-sin(\theta)\hat{e}_1+cos(\theta)\hat{e}_2\)
Hvis dere regner ut \(\vec{h}\), ser dere at det gir
\(\vec{h}=r^2\frac{d\theta}{dt}\hat{e}_z\)
Husk at \(\vec{r}=r\hat{e}_r\). Hvis dere skal derivere her, m? dere huske ? derivere enhetsvektorene ogs?. Det skulle dere klare fint. Merk ogs? at \(h=|\vec{h}|=r^2\frac{d\theta}{dt}\). Vi h?per dere her ser at \(d\vec{r}=\vec{v}\). Det gir
\(\vec{h}=\vec{r}\times\vec{v}\)
Hvis vi deriverer denne en gang til, ser vi at
\(\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{v})=\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{v}+\vec{r}\times\frac{d\vec{v}}{dt}\)
Dette er interessant, fordi dere husker vel at kryssproduktet av parallelle vektorer blir 0? Ser dere ogs? at \(\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}\), som gir at kryssproduktet blir mellom to parallelle vektorer? Dermed blir det leddet 0. I det andre ledder deriverer vi hastigheten. Det gir akselerasjonen. Og siden den eneste akselerasjonen som virker her, virker radielt fra stjerna p? planeten, s? er denne vektoren parallell med \(\vec{r}\). Dermed blir den dobbeltderiverte av \(\vec{h}\) lik 0, og det m? bety at den er konstant! Dette resultatet tar vi med oss videre.
Vi ser n? videre p? Keplers 2. lov. Vi har funnet at
\(dA=\frac{1}{2}r^2d\theta\)
som alts? er det lille arelalet sveipet ut av \(dr\). Hvis vi n? ser hva som skjer n?r vi ser p? hvordan arealet endrer seg over tid, skal vi se at noe spennende kommer til ? skje!
\(\begin{align*} \frac{dA}{dt}&=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2d\theta\right)\\ &=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt} \end{align*}\)
Ser dere at vi har funnet \(h=r^2\frac{d\theta}{dt}\)? Denne vet vi er konstant, s? da m? alts?
\(\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}h=konstant\)
Fantastisk! Vi har n? klart ? bevise Keplers andre lov. Meget stas, klapp p? skuldra!
N? skal vi gj?re noe g?y! Vi skal nemlig bevise at Kepler tok feil. Hans 3. lov er nemlig ikke helt korrekt. F?lg med n?.
Vi begynner med ? kalle tiden en planet bruker p? en runde helt rundt banen sin for \(P\). Videre integrerer vi alle delarealene \(\frac{dA}{dt}\) for en hel runde rundt. Vi kaller den totale flaten \(S\). Det gir
\(\begin{align*} \frac{dA}{dt}&=\frac{1}{2}h\\ \int\frac{dA}{dt}dt&=\int\frac{1}{2}h\,dt\\ \int dA&=\frac{1}{2}h\int dt\\ A=\frac{1}{2}hP \end{align*}\)
Integralet over alle delflater gir oss arealet til den flaten. Det samme gjelder integralet over alle tider, som gir oss den totale tiden. For en ellipse vet vi at arealet er gitt ved \(\pi ab\), hvor \(a\) er store halvakse og \(b\) er lille halvakse. Det gir
\(\begin{align*} \pi ab&=\frac{1}{2}hP\\ P&=2\pi\frac{ab}{h} \end{align*}\)
N? m? vi definere noen ting. Husk f?rst formelen for en ellipse i polare koordinater:
\(r=\frac{p}{1+e\,cos(f)}\)
Dette er formelen vi presenterte tidligere. Her var \(p=\frac{h^2}{m}\), hvor \(m=\gamma(m_1+m_2)\). \(\gamma\) er Newtons gravitasjonskonstant. Men den "egentlige" formelen for en ellipse er slik:
\(r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\,cos(f)}\)
Det vil si at \(p=a(1-e^2)\). Kjekt ? vite! Vi ?nsker et uttrykk for \(h\), s? vi setter disse to uttrykkene like hverandre.
\(\begin{align*} \frac{h^2}{m}&=a(1-e^2)\\ h&=\sqrt{am(1-e^2)} \end{align*}\)
Nest ting er at eksentrisiteten kan skrives slik:
\(e=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}\)
Det gir oss, etter litt algebra, at \(b=a\sqrt{1-e^2}\). Husk at Keplers 3. lov sa at \(P^2=a^3\). Hvordan ser dette n? ut? Jo, se her. Vi har funnet at
\(P=2\pi\frac{ab}{h}\)
Setter vi inn de nye uttrykkene for \(b\) og \(h\) og opph?yer i andre potens, ser vi at det gir dette svaret:
\(\begin{align*} P^2&=2^2\pi^2\frac{a^2(a\sqrt{1-e^2})^2}{\left(\sqrt{am(1-e^2)}\right)^2}\\ &=4\pi^2\frac{a^4(1-e^2)}{am(1-e^2)}\\ &=4\pi^2\frac{a^3}{m} \end{align*}\)
Vi setter n? inn for \(m\), og dette er den korrekte versjonen av Keplers 2. lov. Ogs? kalt Newtons korrekte versjon av Keplers 2. lov:
\(P^2=\frac{4\pi^2}{\gamma(m_1+m_2)}a^3\)
La oss se litt n?rmere p? dette. Husk fra forrige bloggpost at Newtons gravitasjonskonstant i AU-enheter er
\(\gamma=4\pi^2AU^3yr^{-2}M_{\odot}^{-1}\)
Husk ogs? at \(M_{\odot}\) er massen til sola, og \(yr\) er ?r (year). La oss se p? hva enhetene blir n?. For Keplers versjon har vi at \(P\) er i \(AU\) og \(a\) er i \(yr\). For Newtons versjon har vi
\(\begin{align*} P^2&=\frac{4\pi^2}{4\pi^2AU^3yr^{-2}M_{\odot}^{-1}(m_1-m_2)}AU^3\\ &=\frac{yr^2M_{\odot}}{m_1-m_2} \end{align*}\)
For ? gj?re dette kort, s? hadde ikke Kepler god nok data til ? se at planetenes masse i forhold til Sola har noe ? si. Hvis vi sier at \(m_1\) er Sola og \(m_2\) er en planet, s? er Sola sin masse mye, mye st?rre enn planeten, og \(m_1-m_2=M_{\odot}-m_2\approx M_{\odot}\). Hadde dette v?rt tilfellet, hadde Kepler hatt rett. Men med Newton sin rette versjon, ser vi at begge massene spiller inn. Beklager, Kepler. Newton 1, Kepler 0. I alle fall her.
N? har vi alt vi trenger for ? avgj?re hvorvidt de numeriske banene vi har kommet fram til stemmer. Det skal vi se p? i neste bloggpost.
Forrige innlegg << Neste innlegg >>