N?r vi befinner oss n?rme en planet, kan vi med stor sikkerhet si at gravitasjonskreftene fra planeten er st?rre enn fra stjerna. For ja, det vil virke krefter fra stjerna p? romskipet v?rt. Grunnen til at vi vil se n?ye p? dette er at det vil ha mye ? si for oss n?r vi skal inn i orbit (g? i bane rundt planeten). Vi vil ogs? vite hvor n?rme vi m? v?re planeten for at vi skal kunne ta bilde av den med kameraet v?rt. Vi starter med en antagelse om at gravitasjonskreftene fra planeten er \(k\) ganger st?rre enn kreftene fra stjerna. Det vil v?re enklere ? utf?re en orbital injection maneuver (innflyvning til ? g? i bane) ved h?ye verdier for \(k\). Derfor er det lurt ? finne et uttrykk for avstanden vi befinner oss i, uttrykt ved avstanden fra stjerna og \(k\).
Vi har at
\(\vec{F}_*=\gamma \frac{M_*m_R}{|\vec{r}|^2}\)
er gravitasjonskreftene fra stjerna p? massen til raketten \(m_R\) n?r den befinner seg ved en avstand \(|\vec{r}|\) fra stjerna \(\left(|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\). \(M_*\) er som vanlig massen til stjerna, og \(\gamma\) er Newtons gravitasjonskonstant.
Videre er
\(\vec{F}_p=\gamma \frac{M_pm_R}{|\vec{l}|^2}\)
gravitasjonskreftene fra planeten p? raketten n?r den befinner seg ved avstanden \(|\vec{l}|\) fra planeten. \(M_p\) er planetens masse. Vi antok at \(\vec{F}_p\) er \(k\) ganger st?rre enn \(\vec{F}_*\). Vi vil ha f?lgende situasjon, illustrert nedenunder.
Fra Figur 1 ser vi at \(\vec{F}_*\) virker i radiell retning mot stjerna, og at \(\vec{F}_p\) virker i radiell retning mot planeten. Vi ?nsker alts? ? finne et uttrykk for avstanden \(l=|\vec{l}|\) fra planeten til romskipet v?rt. Ved antagelsen v?r f?r vi f?lgende.
\(\begin{align*} \vec{F}_p&=k\cdot\vec{F}_*\\ \gamma\frac{M_pm_R}{l^2}&=k\cdot\gamma\frac{M_*m_R}{|\vec{r}|^2}\\ \frac{M_p}{l^2}&=\frac{k\cdot M_*}{|\vec{r}|^2}\\ l^2&=\frac{|\vec{r}|^2M_p}{k\cdot M_*}\\ l&=|\vec{r}|\sqrt{\frac{M_p}{k\cdot M_*}} \end{align*}\)
Det vi egentlig har gjort n? er ? finne et uttrykk for avstanden til planeten gitt et forhold mellom gravitasjonskreftene fra stjerna og planeten. Vi ser at jo st?rre \(k\) blir, jo mindre blir radikanden (tallet som st?r under rottegnet), jo mindre blir roten. Planetens masse er mye mindre enn stjernas masse, s? tallet blir ogs? mye mindre enn 1. Avstanden \(|\vec{r}|\) blir st?rre og st?rre jo lenger unna stjerna vi kommer, men vi skalerer med et veldig lite konstant tall. Dermed har vi god kontroll p? avstanden vi har fra planeten.
N? skal vi se p? kameraet vi har med oss. Det har en pikseloppl?sning p? \(P\times P\). Alts? vil vi ha et rutenett av piksler som vist p? figuren under.
Et objekt sies ? v?re oppl?st (synlig p? et fotografi) n?r det fremkommer p? mer enn 1 piksel p? det resulterende bildet. Dette legger grunnlag for at vi trenger at planeten fremkommer p? minst 2 piksler hver vei.
Det f?rste vi merker oss fra Figur 3 er at radien til planeten m? dekke minst 1 piksel hver vei. Vi har ogs? en vinkeloppl?sning p? \(F\times F\) grader. Det vil si at vi f?r et synsfelt p? \(F\) grader hver vei.
N? m? vi tenke oss om. Hvordan kan vi finne ut av hvor n?rme vi m? v?re planeten for ? kunne ta et oppl?st bilde av den? Se p? figuren under.
\(L\) er avstanden fra kameraet (og romskipet, s? klart) til planeten, \(R\) er radius til planeten og \(P\) er 1 piksel. Vinkelen \(\theta\) blir alts? vinkeloppl?sningen \(F\) delt p? antall piksler vi ser p?. Vi har alts? at hele planeten m? dekke 2 piksler, s? halve planeten m? dekke 1 piksel. Eller, sagt p? en annen m?te, radius til planeten m? dekke 1 piksel. Da blir vinkeloppl?sningen per piksel lik \(\frac{F}{P}\). N? er det klart for litt trigonometri.
Husker dere de trigonometriske funksjonene? Ja, helt riktig, sinus, cosinus og tangens. Men hva var n? de igjen?
De to sidene som utgj?r den rette vinkelen kalles kateter. Den tredje siden kalles hypotenusen. Pythagoras setning sier at katet i andre pluss katet i andre er lik hypotenus i andre. Men vi kan ogs? bruke vinkelen \(\alpha\). Da har vi
\(\begin{align*} \frac{b}{c}&=\sin{\alpha}\\ \frac{a}{c}&=\cos{\alpha}\\ \frac{b}{a}&=\tan{\alpha} \end{align*}\)
Som dere ser i Figur 5, blir \(R=b\) og \(L=a\). Vinkelen \(\alpha\) blir \(\frac{F}{P}\). Da kan vi sette inn verdiene. Vi f?r
\(\begin{align*} \frac{R}{L}&=\tan{\frac{F}{P}} \end{align*}\)
Vi kommer ikke til ? bevise det her, men \(\tan{x}>x\). Alts? m?
\(\begin{align*} \frac{R}{L}&=\tan{\frac{F}{P}}>\frac{F}{P}\\ \frac{R}{L}&>\frac{F}{P}\\ \frac{L}{R}&<\frac{P}{F}\\ L&<\frac{RP}{F} \end{align*}\)
Her har vi et fint uttrykk for hvor n?rme vi m? v?re planeten for ? kunne ta et kult bilde! Takk for denne gang.