Hva med trykket da! Vi vet jo at trykket er n?dt til ? v?re konstant for at vi skal kunne gj?re mange av antakelsene som vi gj?r. Da sjekker vi om trykket er konstant i hele boksen til enhver tid ved ? bruke trykk-integralet:
\(P_i = \frac{F}{A} = \frac{2m_Hv_i}{\Delta t A}\), hvor \(i = x,y,z\).
Vi kan fra dette finne det midlere trykket p? boksen med formelen som st?r under.
\(P = (P_x + P_y + P_z) / 3\)
Selv om partiklene forlater boksen vil de ut?ve et trykk i taket p? boksen. P? samme m?te som alle partiklene som faktisk treffer boksen. Vi kan derfor, n?r vi regner ut trykket numerisk, ignorere at det er et hull der! Du husker jo selvf?lgelig den analytiske formelen som vi skal sammenligne med som:
\(P = \frac{N}{V}kT\), hvor N er antall partikler, V er volumet, k er Boltzmann konstant og T er temperatur i boksen.
M?ten vi summerte trykket p? var ? sjekke alle partiklene som traff hver vegg, hvert eneste tidssteg. I korte trekk betyr det at vi summerte alt trykket p? veggene\(P_{x, 1} + P_{x, 2} = P_x\) , \(P_{y, 1} + P_{y, 2} = P_y\) og \(P_{z, 1} + P_{z, 2} = P_z\) som vist i figur 1.
N? som boksen v?r er stabil, vi har kontroll p? partiklene og trykket er stabilt, kan vi se p? akselerasjonen som motoren vil gi. Fra Newtons tredje lov kan vi finne akselerasjonen ved formel
\(F = ma \rightarrow a = \frac{F}{m}\), her er massen gitt som den totale massen til raketten.
Den totale massen vil v?re massen til satelitten v?r pluss massen til drivstoffet vi skal ha med. Kraften vil v?re den totale kraften til alle boksene vi kommer til ? bruke for raketten v?r. Etterhvert vil vi ogs? se p? gravitasjonen, denne kan implementeres ved ? trekke gravitasjonskraften fra akselerasjonen. Gravitasjonskraften til planeten vil v?re gitt ved formel
\(g = \frac{GM}{R^2}\), hvor G er gravitasjonskonstanten, M er massen til planeten og \(R = (r + h)\) hvor r er radiusen til planeten og h er h?yden til raketten.
Vi trenger ogs? ? vite unnslippningshastigheten til planeten v?r for ? kunne vite hvor fort vi faktisk m? reise for ? slippe unna hjem planeten v?r. Formelen for det er
\(v_{esc} = \sqrt \frac{2GM_{planet}}{r_{planet}}\), hvor G er gravitasjonskonstanten, \(M_{planet}\) er massen til planeten og \(r_{planet}\) er radien til planeten.
Denne formelen kommer fra bevaring av energi, hvor vi ser p? tilfelle hvor kinetisk og potensiell energi er lik 0. Deretter ser vi p? hvilken hastighet vi trenger for at dette skal bli oppfylt, det vi kalle unnslippningshastighet.
Raketten m? jo ogs? bevege seg i tid, p? samme m?te som partiklene gj?r. For ? f? til det bruker vi Euler-Cromer igjen, men for b?de akselerasjon, hastighet og posisjon mtp h?yden til raketten. Formelen for hastighet og posisjon er vel enkel ? de for seg allerede, men n?r vi skal se p? akselerasjonen m? vi huske p? gravitasjonen ogs?! Den virker i motsatt retning av raketten v?r og f?r formelen
\(a = \frac{F}{M} - g\), hvor M er den totale massen til raketten.
Fart?yet v?rt har ogs? en initialhastighet proporsjonal til retningen den skal. Klarer du ? se hvorfor? Planeten roterer jo om sin egen akse! Det vil si at vi er n?dt til ? finne vinkelhastigheten til planeten ved ? bruke formel
\(\omega_{oml?p} = \frac{2\pi r^2}{T}\), hvor teller er formelen for omkretsen til planeten og T er perioden til planeten.
V?r planet har en periode p? \(T = 88261\) [s], p? jorda deres ligger en periode p? rundt\(T_{jorda} = 86400\) [s]. Selv om planeten v?r er mindre s? bruker den nesten like lang tid p? en runde! Sp?rsm?l til deg, roterer planeten v?r saktere eller fortere enn jorda?