En viktig ting ? alltid vite er hvor man er! I tilfelle mor ringer eller du skal m?te noen. Askeladden er n?dt til ? vite til enhver tid hvor b?ten hans befinner seg i solsystemet. Han har med en radar som vet n?yaktig hvor langt det er til alle planetene fra der han er og til stjernen. Han vet ogs? hvilken posisjon hver planet har til stjernen, til enhver tid! Med dette kan han finne posisjonen til b?ten. Du kan se for deg at du st?r p? en ganske tom parkeringsplass med tre biler, en r?d, en bl? og en lilla. Hvilken av parkeringsplassene st?r du p?? Ekkoloddet du alltid g?r med i lomma forteller deg at du st?r 4 plasser unna den bl? bilen, 3 plasser unna den r?d og 2 plasser unna den lilla bilen. Askeladden har tegnet scenarioet i figur 1. Setter man et punkt for alle mulige parkeringsplassene du st?r p?, basert p? parkeringsplasser mellom deg og bilene f?r man mange punkter p? plassen. Men, om du studerer tegningen til Askeladden er det kun en parkeringsplass som stemmer med alle avstandene. Du befinner deg p? parkeringsplassen i ?verste rad nr. 7 fra venstre.
Denne metoden kalles multilaterasjon og er en m?te ? finne posisjon p? ved ? m?le avstander til kjente objekter. Askeladden brukte nettopp dette til ? finne posisjonen til b?ten sin. La oss se p? hans tegning av b?ten og avstandene til b?de stjernen og planetene. Denne tegningen ser du i figur 2.
Det er ikke s?rlig stor forskjell fra figur 1 og figur 2 i det heletatt, kan du se det? I figur 2 kan du se stjernen i midten med to planeter i bane rundt den. Vi har tegnet b?ten i gr?nt for ? skille fra de andre fargene. B?ten vet n?yaktig avstand fra stjernen og det Askeladden gj?r, er ? tegne en sirkel rundt stjernen med bl?tt som har radiusen til den m?lte avstanden. Akkurat slik vi gjorde med parkeringsplassen. Dette gj?r han med planet 1 og planet 2 ogs?, og bruker fargene r?d og lilla som p? parkeringsplassen. Ser du at alle de tegnede sirklene kun krysser p? et punkt? Dette er posisjonen til b?ten i n?yaktig dette tidspunktet. Husk at planetene beveger seg over tid, s? om vi lar tiden g? m? vi konstant m?le avstanden til planetene for ? holde posisjonen v?r.
Da Askeladden skulle simulere sirklene brukte han den generelle formelen for en sirkel gitt som \((x - x_0)^2 - (y - y_0)^2 = r^2\), hvor \((x_0, y_0)\) er posisjonen til sentrumet av sirkelen og \(r\) er radiusen. Han skriver en formel uttrykt for stjernen og b?ten og en for for hver av planetene under:
\(\begin{align}(x - x_0)^2 - (y - y_0)^2 &= r_0^2 \\ (x - x_1)^2 - (y - y_1)^2 &= r_1^2 \\ (x - x_2)^2 - (y - y_2)^2 &= r_2^2\end{align}\), disse trekker vi fra hverandre og f?r to uttrykk som tilsvarer x og y posisjonen til b?ten!
Interessert i hva Askeladden gjorde? Da kan du lese i journalen hans! Han kom fram til at x-posisjonen og y-posisjonen til b?ten kunne uttrykkes som to likninger vist under:
\(x = \frac{FB - EC}{BD - AE},\quad y = \frac{FA - DC}{AE - BD}\), her er ABCDEF konstanter som du kan finne i journalen om du er nysgjerrig.
B?ten er som nevnt utstyrt med radar som kan definere avstandene fra b?ten til alle legemene i Pjokknes. Den har ogs? simuleringen til Askeladden, hvor man kan plotte inn dato og klokkeslett ? f? ut alle planetenes posisjon. Han har dermed alt han trenger for ? finne b?ten. Vi tester ut teorien ved tidspunktet hvor b?ten er skutt opp og 500 km fra overflaten. Da f?r Askeladden et plott man kan se i figur 3.
I figur 3 har Askeladden testet metoden for trilaterasjon i tidsrommet hvor b?ten befinner seg 500 km over hjemplaneten Tv?nnoing. Den minste gr?nne ringen representerer avstanden til stjernen i Pjokknes. B?ten kan befinne seg hvor som helst p? denne sirkelbanen. Den bl? ringen representerer avstanden fra Eggre til b?ten og den oransje ringen avstanden fra Fjerenes til b?ten. Vi kan se at om du kombinerer to sirkler s? krysser de hverandre p? to punkter. Legger vi til en tredje sirkel s? krysser disse tre sirklene kun i ett punkt og der ligger b?ten v?r. I figuren kan vi se at b?ten ligger rett over planeten Tv?nnoing. Det er vanskelig ? se p? grunn av oppl?sningen til plottet. Forst?rrer vi bildet f?r vi figur 4.
I denne figuren kan vi se at b?ten befinner seg p? samme y-verdi som planeten Tv?nnoing. Dette lover bra siden vi skyter den rett opp fra ekvator. En annen ting vi kan se tydelig er at sirklene Askeladden har tegnet er ikke n?yaktige nok til ? stemme med beregningen.
Det han kan gj?re for ? forberede denne modellen er ? bytte mellom planeter etterhvert som de er en viss avstand fra b?ten. Akkurat i denne simuleringen s? har Askeladden bestemt seg for to faste planeter som han bruker il?pet av hele reisen. Hva om simuleringen tok hensyn til en avstandsgrense? Alts? om b?ten hadde v?rt en viss avstand fra objektet s? hadde det objektet blitt neglisjert. Det vi mener er at beregningen blir gjort med de tre n?rmeste objektene. Vi hadde da blitt n?dt til ? modifisere formlene for A, B, C, D, E og F, men det er ikke mye som skal til f?r denne simuleringen kan bruke dette. Grunnen til at vi vil se p? de n?rmeste objektene for posisjon er for ? jobbe med avstander i samme st?rrelsesklasse, som igjen hindrer feilkalkulasjon. Hadde man for eksempel brukt avstanden til Gi?s, Tv?nnoing (hjemplanet) og ?tvekdal da b?ten hadde v?rt 500 km over Tv?nnoing s? hadde ikke verdiene like n?yaktige fordi avstanden til Gi?s er s? enormt stor sammenlignet med Tv?nnoing.
En god implementering av dette hadde v?rt ? sjekket alle avstandene som blir m?lt av radaren p? b?ten, funnet de tre minste avstandene og notert hvilke objekter det gjelder for ? hente ut posisjonene til de. Desto mindre forskjell det er mellom avstandene, jo mer n?yaktig vil posisjonen til b?ten v?re.