Det var mykje fram og attende, og mykje diskusjon rundt bordet n?r det kom til utf?ringa av den planlagte reisa til Askeladden og Tuslingen. Men til slutt kom dei seg endeleg av garde, og alt gjekk som planlagt! Dei to astronautane st?yta sj?lvsagt p? problem undervegs, spesielt n?r det kom til programvara p? skipet. Dei fekk nemleg ikkje skipet til ? g? dit dei ville. Men etter ei radiosamtale tilbake til kommandosenteret p? Fl?klypatoppen, fekk dei tilsendt ei s?rt trengjande oppdatering til skipets hovuddatamaskine. Og p? eit blunk var dei framme ved ?tvekdal!
Dramatisk musikk medan planeten n?rmar seg meir og meir, og auga til Askeladden vert st?rre og st?rre.
Dei er i bane! Men er ho stabil? Korleis ser bana ut? Kva er hastigheita, posisjonen og alt det der til skipet? Dette er verkeleg viktig ? finne ut, og det kan vi finne ut p? f?lgjande m?te:
No har vi nemleg eit tolekamsystem, slik som i del 2, berre at her er dei to lekamane planeten og skipet.
Avstanden fr? skipet til sentrum i planeten \(\vec{r}\), finn vi ved ? ta avstanden fr? stjerna til planeten \(\vec{r}_{*, p}\), og trekkje fr? avstanden fr? stjerna til skipet \(\vec{r}_{*, s}\). Det gjev oss \(\vec{r} = \vec{r}_{*, p} - \vec{r}_{*, s}\).
Dette kan vi bruke til ? finne den radielle hastigheitskomponenten \(v_r\) til skipet i h?ve planeten, alts? den hastigheitskomponenten som peikar inn mot stjerna. Det gjer vi ved ? ta prikkproduktet mellom hastigheitsvektoren \(\vec{v}\) og einingsvektoren \(\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\). Dette gjev oss \(v_r = \vec{v} \cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\).
D? st?r det berre att ? finne den tangentielle hastigheitskomponenten \(v_{\theta}\) til skipet i h?ve planeten. Her m? vi rett og slett m?le avstanden vi reiser over eit tidsintervall i bana v?r. Men vil ikkje den avstanden vere forma som ei boge? Jau, men no skal dykk h?yre her. Det er det som er s? fint med ? vere fysikar og rakettforskar. Vi kan berre sj? p? eit veeeldig lite tidsintervall, og utifr? det seie at avstanden er ei rett linje. Kjekt! No har vi ein trekant vi kan jobbe med. Og kva er det fyrste vi tenkjer p? n?r vi har ein trekant? "Pytagoras!", ropar Askeladden h?gt. Her er dei to kjende sidene i trekanten posisjonsvektorane til skipet ved to forskjellige tidspunkt. Dei kan vi bruke til ? finne den siste sida i trekanten, \(\Delta s\). Med denne og tidsintervallet \(\Delta t\) finn vi den tangentielle hastigheita: \(v_{\theta} = \frac{\Delta s}{\Delta t}\).
Endeleg kan vi kome oss vidare med ? finne litt meir ut om bana v?r!
No skal vi rekne ut store halvakse, \(a\), av bana v?r, noko som vi lenger ned vil vise kvifor vi treng. Men kva er store halvakse? Det er rett og slett den st?rste avstanden vi kan ha fr? sentrum av bana. Kva treng vi til det? Fyrst treng vi apoapsis og periapsis. Apoapsis er avstanden fr? det punktet i bana der vi er lengst unna planeten, medan periapsis er avstanden fr? det punktet i bana der vi er n?rmest planeten. Tek vi summen av desse to og delar p? 2, f?r vi store halvakse: \(a = \frac{apoapsis + periapsis}{2}\).
Denne treng vi til ? finne vesle halvakse, b. Men f?r vi g?r rett til vesle halvakse, m? vi innom eksentrisiteten, og f?r vi g?r til den m? vi innom avstanden mellom sentrum av bana og planeten. Alts? der det er merka med \(a \cdot e\) p? biletet. La oss kalle denne avstanden \(c\) sidan Askeladden allereie er s? godt igang med alfabetet. Grunn til at det st?r \(a \cdot e\) er rett og slett fordi avstanden \(c\) er produktet av store halvakse og eksentrisiteten. D? kan vi jo finne eksentrisiteten ved ? ta differansen av \(c\) og \(a\)! "Genialt!" huar Askeladden. Men korleis finn vi \(c\)? Sj? litt p? biletet no. Vi tek berre apoapsis minus store halvakse!
D? har vi \(c\), og n?r vi har \(c\) har vi eksentrisiteten. Og n?r vi har eksentisiteten har vi vesle halvakse! Endeleg! No kan vi kome oss vidare og finne omlaupstida \(P\), eller perioda som nokon òg kallar det. Og korleis reknar vi ut den? "Anar ikkje", seier Askeladden som ikkje gadd ? tenkje seg om ein gong, lat som han er. Men hadde Askeladden tenkt seg godt om hadde han hugsa p? m?tet sitt med Kepler og Newton, som vi omtala tidlegare i bloggen. Med den Newtonifiserte versjonen av Keplers tredje lov, finn vi omlaupstida: \(P^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_p + m_s)}a^3\), der \(m_p\) er planetmassa og \(m_s\) er massa til skipet. \(G\) er, som alle fysikarar b?r vite, gravitasjonskonstanten.
Med alt dette legg vi eit s?rs godt grunnlag for ? stadfeste om vi er i ei stabil bane eller ikkje. Og dersom Askeladden er lur (noko vi berre kan draume om) vil han og Tuslingen gjere fleire omlaup for ? VERKELEG stadfeste tala deira, og sjekke kor stabil ei bane dei har. Eksentrisiteten vil her fortelja oss kor ideell og stabil ei bane vi har. Ei sirkelbane viser seg nemleg ? vere den mest stabile bana vi kan ha! Des st?rre eksentrisiteten er, des meir ustabil bane har vi.
Dersom eksentrisiteten er null, er bana sirkul?r. Dersom ho er mellom null og èin, er bana elliptisk. Dersom eksentrisiteten er èin er bana parabolsk, og dersom eksentrisiteten er over èin, er bana hyperbolsk.
N?r alt dette er utrekna og ferdiggjort, kva d? med ... ? nei! Datamaskina tok fyr!
"Shields up, red alert!"