Dei modige astronautane v?re skal no bevege seg n?rare planeten, og med det kan det l?nne seg for Askeladden ? endre p? kva for einingar han bruker i programmet sitt. I staden for ? bruke AU i h?ve til stjerna i systemet skal han no bruke SI-einingar i h?ve til planetens sentrum. Grunn til dette er at ... vel, har dykk nokon gong h?yrt at ISS g?r i ei bane med ei h?gd p? \(\approx 2.73 \cdot 10^{-6}\) AU?
Noko som diverre vert utelate i f?rre bloggomgang var ein video av den stabile bana til S.S. Draumen. Det var grunna omfattande anleggsarbeid som gjekk f?re seg mellom ?tvekdal og Tv?nnoing, men Askeladden hadde endeleg f?tt gjennom ei sending til glede for dei som sat heime i stova med auga klistra i fjernsynet.
Astronautane v?re skal alts? g? ned til ei l?gare bane. Men dei kan ikkje g? for l?gt, d? vil dei nemleg st?yte p? atmosf?ra og alt helvete vil vere laus. Dei m? heller ikkje ha for h?g eller l?g hastigheit. G?r hastigheita ut av styring f?r dei ei meir og meir ustabil bane, noko dei ikkje vil ha. Og blir hastigheita for l?g kan det òg hende at dei ikkje vil klare ? halde seg oppe og, som nemnd, st?yte p? atmosf?ra. Nei, dei m? ha ei stabil hastigheit, \(v_{stabil} = \sqrt{\frac{GM_p}{r}}\) der \(G\) er gravitasjonskonstanten, \(M_p\) er massa til planeten og \(r\) er avstanden fr? planetsenteret til skipet. Her er det s?rs viktig ? huske p? at vi skal rekne i SI-einingar, og d? kan det l?nne seg ? gonge planetmassa med massa til Sola i ditt system og ikkje massa til stjerna i Pjokknes!
Nett no befinn dei seg i ei bane om lag 4 778 817 m over planetsenteret. Litt obrukeleg tal s? la oss trekkje fr? planetradien som er \(R \approx 3778817 \) m. D? ligg dei om lag 1 000 000 m over overflata til planeten, eller 1 000 km om du vil. Til samanlikning g?r den Internasjonale Romstasjonen i ei bane om lag 400 km over jordoverflata. Men kor l?gt ned skal Askeladden og Tuslingen g??
Dette m? dei finne ut seinare etter at dei har modellert atmosf?ra. Det kan nemleg l?nne seg ? vite kvar atmosf?ra byrjar f?r dei set i gang ein injeksjonsman?ver.
Ein viktig parameter i dette injeksjonsman?verprogrammet som Askeladden m? skrive er dimed radiusen han vil at dei skal ha til planetens sentrum. Og denne radiusen avheng av atmosf?ra. Legg han radiusen inn i formelen for stabil hastigheit f?r han ut kva for ei hastigheit dei m? ha for den ynskte bana.
La oss samanlikne med Jorda. Der definerar man at atmosf?ra sluttar og verdsrommet byrjar ved 100km over havet (det er inga br? slutt, men ein jamn overgang), men sj?lv ISS som sirkulerar 400km over overflata vert p?verka og m? rebooste seg opp att n? og da. Satellittar som driv med jordobservasjon ligg p? 500-600km for ? unng? dette. Kan vi ikkje d? bruke det som utgangspunkt?
Finn vi ut kvar atmosf?ra v?r "sluttar", kan vi ta utgangspunkt i jordobservasjonssatellittar og leggje bana v?r 400km over slutten p? atmosf?ra v?r.
N?r Askeladden skal kome seg ned til ei l?gare bane, er det som vi allereie har nemnt viktig ? f? ei stabil bane. Dersom bana allereie er ganske stabil vil dette ikkje bli noko s?rleg problem, men er bana allereie stabil? Som det vert skildra i f?rre bloggomgang s? kan man sjekke om bana er stabil ved ? rekne ut eksentrisiteten og sj? kor n?rme null den er. Men vi kan òg sjekke avstanden v?r fr? sentrum av planeten i eit jamnt tidsintervall.
Som vi ser av m?lingane s? er det st?rste spriket i avstand i bana p? \(4779233 - 4778814 = 419m\).
\(419m\)! Det er ei s?rs sirkul?r bane! D?ven!
Og kva er det vi veit fr? ei stabil bane? At den einaste krafta som verkar p? lekamen er gravitasjonskrafta! Ein slik lekam er nemleg i fritt fall. Set vi d? opp Newtons andre lov og legg inn formelen for sentripetalakselerasjon, f?r vi
\(\begin{align*} F_G &= m_sa \\ G\frac{M_pm_s}{r^2} &= m_s\frac{v^2_{stabil}}{r} \\ G\frac{M_p}{r} &= v^2_{stabil} \\ v_{stabil} &= \sqrt{\frac{GM_p}{r}} \end{align*}\)
S? det var der den formelen kom fr? ja! Her er det alts? berre gravitasjonskrafta fr? ?tvekdal som p?verkar Askeladden. Den er s? dominerande at vi kan sj? bort ifr? krafta fr? dei andre planetane og stjerna.
Men skal man kome seg lenger ned mot planeten, m? man fyrst slakke ned farten litt slik at man fell inn mot planeten, for s? ? booste opp att farten til \(v_{stabil}\) i ynkst baneh?gde. Som vi veit fr? sirkul?re baner s? avheng radiusen av den kinetiske energien til skipet, eller r?rsleenergien om du vil \(K = \frac{1}{2} mv^2\). S? for ? minske r?rsleenergien v?r kan vi anten minske massa eller hastigheita.
"Tusling, du som har litt flesk p? kroppen. Hopp ut." seier Askeladden.
"Aldri i livet! D? m? du ta meg med makt." svarer Tuslingen som har lenka seg sj?lv fast til masta.
Massa er ikkje s? enkel ? forandre p?, s? det er difor vi m? slakke ned farten for ? fyrst kome oss lenger ned.
D? er sp?rgesm?let: kor stor boost skal Askeladden gjere for ? kome seg langt nok ned? Og kor stor boost m? han gjere for ? stabilisere seg n?r han er langt nok nede?
For ? kome seg langt nok ned pr?ver han seg berre fram med litt forskjellige boostar i eit simuleringsprogram.
For ? stabilisere bana si m? Askeladden utf?re ein boost, \(\vec{v}_{boost}\). Kor stor m? denne boosten vere? \(\vec{v}_{stabil}\), alts? den stabile hastigheita Askeladden skal ha ved ei l?gare bane, kan utrykkjast ved ? ta hastigheita f?r boosten og s? plusse p? boosten. Alts? \(\vec{v}_{stabil} = \vec{v}_0 +\vec{v}_{boost}\). Og hastigheita f?r boosten veit han, det er jo \(\vec{v}_{stabil}\) ved 1000km og det er denne vi no kallar for \(\vec{v}_0\).
Ut ifr? dette kan man finne ut kor mykje man m? booste med: \(\vec{v}_{boost} = \vec{v}_{stabil} - \vec{v}_0\).
"Nei no er det plutseleg kome ei vektorpil p? den stabile hastigheita. Skyt meg!", ropar Askeladden hysterisk.
Slapp av Askeladden, det er berre \(v_{stabil}\) som vi viste lenger oppe, men n? med retning.
"Retning? Retning?! AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA"
Slapp off! Dette kan vi. Med litt spikking og skruing kjem vi fram til at \(\vec{v}_{boost} = \frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|} \sqrt{\frac{GM_p}{r}} - \vec{v}_0\). K?t p? ei utleiing? Sj? her!
D? er det berre ? setja i gang med atmosf?ra!
Kjelder:
- https://en.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_of_Earth
- https://en.wikipedia.org/wiki/Earth_observation_satellite