Vi skal no knekke hjernen v?r. Vi skal sj? p? kva som skjer med tida n?r man reiser i s? og seie ljoshastigheita fr? ein stad til ein annan. N?rare sagt skal vi sj? p? korleis forskjellige observat?rar vil oppleve denne reisa.
Askeladden fyrar opp den nye motoren og f?r ei hastigheit p? \(v = 0.99c\) og dugeleg bakoversveis med ein gong.
Vi har Askeladden og Tuslingen i skipet deira. I byrjinga vil dei reise fr? ein planet, la oss kalle denne Sygard, til ein anna planet 200 ljos?r unna, la oss kalle denne Megard. No i byrjinga har vi desse to planetane i referansesystemet \((x, y)\) som er i ro i h?ve til kvarandre. Skipet med astronautane v?re er i referansesystemet \((x', y')\) og er i r?rsle i h?ve til planetane.
Her vil vi ha to hendingar:
- Hending A der skipet forlèt Sygard. Dette skjer ved \(x = x' = 0\) og \(t = t' = 0\), og vi forventar at skipet g?r fr? \(0\) til \(0.99c\) med ein gong utan forseinkingar.
- Hending B der skipet er framme ved Megard.
D? er sp?rgesm?let: kor lang tid vil dette ta for kongen og kongsdottera som observerar fr? Sygard, og kor lang tid vil det ta for Askeladden og Tuslingen?
For observat?rane p? Sygard er det enkelt. Tida dei vil m?le finn vi ved ? ta strekninga dei har tilbakelagt og delar p? hastigheita, som gjev oss ein \(\Delta t\). Er det da verre ? finne tida Askeladden m?ler? Neida, ikkje s? veldig mykje verre. Hugs formelen for tidsdilatasjon \(\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) , òg kalla tidsforlenging. Men Askeladden veit da sj?lvsagt ikkje kva tidsdilatasjon er for noko. Dei la da ned skulen i bygda f?r han fekk l?re det! Formelen for tidsdilatasjon fortel rett og slett at tida vil g? treigare for den som bevegar seg enn for den som er i ro. Dette gjeld for hastigheitar som n?rmar seg ljoshastigheita. Gjer vi litt om p? denne formelen kjem vi fram til ein \(\Delta t'\).
Kongen og kongsdottera vil dimed m?le at Askeladden brukar 202 ?r p? si reise til Megard, 404 ?r tur-retur ved symmetriargument, medan Askeladden sj?lv vil m?le at han brukar om lag 28.5 ?r p? si reise, 57 ?r tur-retur. Folka p? Sygard vil vere daue n?r Askeladden kjem attende, s? dette vil vere skrekkjeleg upraktisk. La oss g? vidare!
No skal vi skifte referansesystem og knekkje den knekte hjernen v?r ein gong til! Askeladden og skipet er no \((x, y)\) systemet og er i ro, medan planetane er \((x', y')\) systemet og er i r?rsle i h?ve til Askeladden. Fekk dykk med dykk det?
Askeladden er UMERKA og planetane er MERKA. F? det inn i hovudet.
"Vi er i ro og planetane er i r?rsle? Kva meiner du med det, Askeladden?", sp?r Tuslingen bortkomen som han er.
"Mitt skip er lasta med planetar", svarer Askeladden til Tuslingens fulle forvirring.
Sj? for dykk at Askeladden st?r i ro med skipet sitt i verdsrommet. S? ladar han den eine skipskanona, men i staden for kanonkuler brukar han planetar.
Han skyt planeten Sygard vekk fr? seg (hending A) med ei hastigheit \(v = 0.99c\) (sj? bort fr? Newtons tredje lov, Askeladden er framleis i ro). 200ly bak ham har eit anna skip p? same tidspunkt skote ut planeten Megard med same hastigheit mot stakkars Askeladden. Hending B er d? n?r Megard treff Askeladden og skipet.
Sidan det vert vist lenger oppe i bloggen at det for Askeladden tok \(\Delta t \approx 28.5\) ?r fr? hending A til hending B (hugs at vi har skifta referansesystem), kva er d? \(\Delta t'\) for dei p? Sygard dersom dei blir varsla p? augeblikket n?r Megard treff Askeladden?
N?r kongen og kongsdottera p? Sygard finn ut at Askeladden vert skoten p?, f?r dei planeten til ? br?tt endre retning og reise tilbake til Askeladden for ? redde ham. Dette skjer sj?lvsagt med ein gong utan noko forseinkingar.
P? same tidspunkt som Sygard snur, blir folka p? Megard livredde og snur dei òg. Kor lang tid \(\Delta t'\) vil planetane d? bruke p? attendereisa?
Her brukar vi same formelen for tidsdilatasjon som f?r, og l?yser med omsyn p? \(\Delta t'\). Ved ? bruke symmetriargument ser vi at planetane vil bruke like lang tid fram som attende.
Pluggar vi inn verdiane v?re i formelen f?r vi at planetane vil oppleve ? bruke 4 ?r fram og 4 ?r attende, totalt 8 ?r p? reisa.
"Men dette vert d? rart", seier Askeladden og kl?r seg i hovudet.
La oss g? over alt og f? ei lita oversikt.
Heilt i byrjinga oppe i toppen av bloggposten i referansesystemet til planetane, brukte Askeladden totalt 404 ?r p? reisa si fr? Sygard til Megard og attende til Sygard. Men Askeladden opplevde sj?l berre ? bruke totalt 57 ?r p? reisa.
S? bytta vi om p? referansesystema der Askeladden skaut planetar med kanona si. Her opplevde Askeladden framleis at planetane brukte totalt 57 ?r fram og attende, men kongen og kongsdottera p? Sygard opplevde no berre totalt 8 ?r fram og attende!
ALTS?: Askeladden blir 57 ?r eldre uansett, men kongen og kongsdottera blir anten 404 ?r eldre eller 8 ?r eldre.
Dette, v?re kj?re lesarar, er det s?kalla tvillingparadokset.
S? KVA er d? problemet? Kva er det som vert gjort feil?
Vi tek ikkje omsyn til fartsendring. La oss g? attende til der planetane var i det umerka referansesystemet og Askeladden i det merka referansesystemet. Her m? Askeladden bremse ned n?r han n?r Megard, snu og akselerere opp att for ? kome attende til Sygard. Planetane er framleis i ro i det same referansesystemet og opplever ikkje noko slik fartsendring, men Askeladden byte referansesystem idet han akselererar.
N?r Askeladden deakselererar og akselererar fell relativitetsteorien saman. Uttrykket v?rt for tidsdilatasjon er nemleg meint for konstante hastigheiter. Dette uttrykket er d? ikkje lenger gyldig. Her m? det meir til!
Kjelder:
- https://snl.no/tidsdilatasjon