Vi kan starte med to-legeme problemet, her antar vi at vi har et system som best?r av kun to legemer som bare p?virkes av hverandres tyngdekraft, n?r vi vet avstanden mellom dem og farten de har i de ulike retningene. M?let med ? l?se to-legeme problemet er ? kunne si noe om hvordan de vil bevege seg i forhold til hverandre. Se p? det som at svaret p? problemet er evnen med ? kunne forutse n?yaktig hva som vil skje, nesten som ? kunne se fremtiden.
Det f?rste vi ?nsker ? finne er massesenteret, fordi vi ?nsker ? ha et spesifikt sted i forhold til legemene som vi vil basere v?re utregninger p?. Vi kunne ha satt det i origo, men dette kan fort bli tungvint for da m? vi vite hvor origo ligger i forhold til legemene. Dette er generelt et viktig konsept i fysikken som g?r p? at man lager seg er referansepunkt som kan brukes, for det er temmelig h?pl?st ? finne ut av for eksempel hvilken retning en kraft virker, n?r vi ikke har et sted som definerer hva som blir positiv eller negativ retning.
F?rst kan vi se p? definisjonen av massesenter. Massesenter er bare et forhold mellom den totale massen til alle objektene i et system, og deres posisjonene de enkelte objektene befinner seg i. Dette kan bli sett p? som ? gi hver posisjon en st?rrelse bestemt av massen, for s? ? bruke vektorregning mellom hvert enkelt punkt, der hver vektor blir multiplisert med massen til et objekt, som da bestemmer st?rrelsen. Dette gir da et forhold mellom avstanden og massen, som s? gir massesenteret n?r man legger sammen alle mulige kombinasjoner mellom hvert objekt og deler p? den totale massen. I praksis blir dette da slik at massesenteret blir liggende n?rmere det tyngste objektet dersom det er et annet lettere objekt og man trekker en linje mellom dem. Man kan tenke p? det som ? skulle balansere en gaffel p? fingeren, massesenteret ligger n?rmere hodet fordi det har mer masse i forhold til resten av gaffelen.
Vi definerer s? en vektor fra origo til hvert objekt som vil v?re et midlertidig referansepunkt, deretter er det vektorregning for ? finne massesenteret mellom objektene. Dette punktet vil vi n? trekke en ny vektor til fra origo. Herifra er det et ligningssystem mellom definisjonen av v?rt massesenter og vektorene fra det nye referansepunktet i massesenteret istedenfor fra origo. Vil inkludere utregningen litt senere for de som er interesserte i det. Vi introduserer noe vi kaller for \(\hat\mu = \dfrac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2}\) som er der for ? gj?re livene v?res litt lettere.
Da er vi klare for ? se p? energien i systemet. Vi vet at kinetisk energi er avhengig av farten og massen til et objekt. Det betyr at hver av legemene har hver sin kinetiske energi, men p? grunn av v?rt referansepunkt kan vi gjennom litt algebra skrive dette som en samlet mengde. Dette blir da \(E_k = \dfrac{1}{2} \hat \mu v^2\). For potensiell energi vet vi at dette er avhengig av avstanden mellom objektene, men i dette tilfelle blir det automatisk til en st?rrelse, for uten det ene objektet s? hadde vi ikke hatt noe potensiell energi. Det vil si at den potensielle energien kan bli sett p? som den potensielle energien fra hele systemet, og da m? vi se det som avstanden mellom massesenteret til origo. Husk at potensiell energi for objekter p?virket av tyngdekraft har negativt fortegn, fordi man m? bruke energi for ? holde noe i samme posisjon. Dette gir s? \(E_p = - G \dfrac{M\hat\mu}{R}\) der stor m er summen av massene.
Total energi blir da \(E_{tot} = E_k + E_p \Rightarrow E_{tot} = \dfrac{1}{2} \hat\mu v^2 - G\dfrac{M\hat\mu}{R}\).
Er energien bevart i dette systemet? For ? svare p? det m? vi trekke inn et nytt konsept kalt spinn. Spinn er en st?rrelse bestemt av rotasjonen av legemer om er referansepunkt, i dette tilfelle om massesenteret. Spinnet og bevaring av energien henger sammen, og er ganske enkelt ? kunne visualisere seg det. Sett deg p? en kontor stol, som kan spinne, og start ? spinn rundt. Strekker du ut armene s? legger du merke til at du roterer saktere, trekker du dem inn vil du rotere raskere. Dette er bevaring av spinn, og er forholdet mellom massen, farten og avstanden det befinner seg fra referanse punktet. ?ker avstanden og massen er konstant, ved mindre du plutselig legger p? deg, m? farten g? ned for at det skal v?re bevart. Disse er dermed proporsjonale med hverandre. Det samme skjer med stjerner i pardans rundt hverandre, desto n?rmere de er jo raskere vil begge spinne.
Tilbake til energi, en planet langt unna vil ha h?yest mulig potensiell energi, men lavest mulige kinetiske energi. Med andre ord, farten er minst, n?r den er lengst unna. N?r planeten n?rmer seg stjernen i sin bane vil farten ?ke. Dette kommer av at den potensielle energien blir mindre og dermed m? farten ?ke for at energien skal v?re bevart. Dermed kan vi konkludere med at spinnet og energien er bevart i to-legeme problemet, fordi dette er ting vi ogs? har observert, og fysikken bak det gir mening.
