Den stereografiske transformasjonen er gitt matematisk ved:
\(X?= \kappa \sin{\theta}\sin{\phi-\phi_0}?\)
\(Y = \kappa\left( \sin{\theta_0}\cos{\theta}-\cos{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi_0)}\right)?\)
\(\kappa =\frac{2}{1+\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi_0)}}\)
Dette virker egentlig forferdelig, men du trenger ikke ? huske eller vite hvorfor, for da hadde vi nok blitt her hele dagen! Vi vil bare trikse og mikse med algebraen for ? se om vi kan lage oss en intuisjon om hvor stort bildet v?rt kommer til ? bli. Vi transformerer et bilde gitt med \(\phi\) p? x-aksen og \(\theta\) p? y-aksen til det vi kjenner. Disse er begge vinkler som om man ser p? overflaten av en kule, som vi pr?ver ? strekke ut til at vi f?r et flatt plan med de kjente x og y verdiene som en skalar som vi m? gange med en kjent enhet. Vi vet jo ikke hvor stor distanse en grad g?r over, s? vi vil kun f? en skalar.
La oss se p? noe lettere ? forst?. Synsvinkelen er s? gitt ved differansen av den minste og den st?rste vinkelen m?lt, er du enig?
\(\alpha_{\phi} = \phi_{max}-\phi_{min}? \\ \alpha_{\theta} = \theta_{max}-\theta_{min}\)
Midt i mellom maks- og minimumsverdien ligger null, dette tilsvarer midten av bildet. Dette vil s? si at differansen fra enten maks- eller minimumsverdien vil gi halve synsvinkelen.
\(-\frac{\alpha_{\phi}}{2} \leq?\phi - \phi_0 \leq?\frac{\alpha_{\phi}}{2}?\)
\(-\frac{\alpha_{\theta}}{2} \leq?\theta - \theta_0 \leq?\frac{\alpha_{\theta}}{2}\)
Setter vi maks- og minimumsverdien \(\phi\) kan ha i likningen for X vil vi s? f?:
\(X_ {max/min}?= \kappa \sin{\theta}\sin{\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}}?\)
Det er egentlig l?sningen, ikke vanskelig eller hva? Vi kan likevel forenkle uttrykket slik at maks- og minimumsverdien til X kun er avhengig av synsfeltet. La oss f?rst bli kvitt leddene med \(\theta\), dette kan vi gj?re ettersom at synsfeltet i y-retning ikke har betydning for synsfeltet i x-retning. Vi setter \(\theta\) i Y = 0, eller n?r \(\theta = \theta_0 = \frac{\pi}{2}\):
\(X_ {max/min}?= \kappa \sin{\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}}?\)
Som du kanskje husker fra ovenfor, s? er jo \(\kappa\) full av trigonometriske uttrykk som inneholder b?de \(\theta\) og \(\phi\) i seg! La oss se om vi kan forenkle uttrykket mer:
\(X_ {max/min} = \frac{2\sin{\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}} \sin{\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}}}{1+\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}\cos{\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}}}?\)
Vi ser nemlig at \(\cos{\theta_0}\cos{\theta}\) blir 0, og at \(\sin{\theta_0}\sin{\theta}\) blir 1:
\(X_ {max/min}? = \frac{2\sin{\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}} \sin{\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}}}{1+\cos{\pm\frac{\alpha_{\phi}}{2}}}? \)
N? som vi har funnet uttrykket for maks- og minimumsverdien til X, er det kun naturlig at vi finner maks- og minimumsverdien til Y. Vi starter p? samme m?te, og antar at \(\phi = \phi_0 = 0\):
\(Y_ {max/min}?= \kappa\left( \sin{\theta_0}\cos{\theta}-\cos{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi_0)}\right)?\)
\(Y_ {max/min}?= \kappa\left( \sin{\theta_0}\cos{\theta}-\cos{\theta_0}\sin{\theta}\right)?\)
Gjenkjenner du den trigonometriske identiteten for \(\sin{(u-v)}\)? Litt trigonomagi gir jo selvf?lgelig at:
\(Y_ {max/min}?= \kappa\sin{\theta-\theta_0}?\)
\(Y_ {max/min}?= \kappa\sin{\pm\frac{\alpha_{\theta}}{2}}?\)
La oss s? sette inn \(\kappa\) og se hvor langt vi kommer:
\(Y_ {max/min}?=\frac{2\sin{\pm\frac{\alpha_{\theta}}{2}}}{1+\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}\cos{(\phi-\phi_0)}}?\)
\(Y_ {max/min}?=\frac{2\sin{\pm\frac{\alpha_{\theta}}{2}}}{1+\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}}?\)
Her er det to muligheter, grine over at trigonometrien er f?l, eller se om vi har noen andre trigonometriske identiteter vi kan grave frem. Som fysikere, velger vi ? gj?re begge, og vi vet s? identiteten for uttrykket p? bunnen er \(\cos{(u-v)}\).
\(Y_ {max/min}?=\frac{2\sin{\pm\frac{\alpha_{\theta}}{2}}}{1+ \cos{\theta-\theta_0}}\)
\(Y_{max/min} = \frac{2\sin{\pm\frac{\alpha_{\theta}}{2}}}{1+ \cos{\pm \frac{\alpha_{\theta}}{2}}}\)
Dermed har vi vist maks- og minimumsverdien til X og Y, gitt synsfeltet.
Forrige innlegg kan du finne her
og for neste finner du her