Hvorfor er det ikke realistisk ? anta at vi kan komme oss til destinasjonen v?r med ? reise i en rett linje? Selv om alle planetene og v?r egen stjerne ligger langt unna, s? vil tyngdekraften fra hver av dem virke p? raketten til enhver tid. S? om vi ikke kan lage en rett linje, og si at det er slik vi skal komme oss frem, hvordan skal vi da kunne planlegge reisen i forkant?
Det er et par antagelser vi tar som er ganske relevant for ? skj?nne hvilken utfordring vi st?r overfor. F?rste er at vi kan skyte opp raketten n?r vi vil og fra hvor som helst p? overflaten av planeten. Dette gj?r at vi kan justere vinkelen, og tidspunktet som vi sender opp raketten for ? f? den til v?r destinasjon. Vi har begrenset med drivstoff, som betyr at det er en begrenset ressurs som kan spille en viktig rolle til senere. For hver man?ver vi gj?r som krever en form for ekstra framdrift i en gitt retning, vil alltid bruke opp drivstoff. Det betyr at v?r evne til ? bevege oss fritt er begrenset til mengden av drivstoff, det er derfor ?nskelig ? spare s? mye drivstoff som mulig. I v?rt tilfelle s? har vi rundt 1058 kg drivstoff til v?r disposisjon, dette burde holde for en relativt god stund. Noe annet som blir utrolig viktig i starten av reisen er st?rrelsen av tidsstegene. Dette er innviklet og krever sitt eget avsnitt.
Vi kan tenke oss at vi deler opp hele reisen i mindre steg, og m?ler den totale kraften som virker p? raketten i hvert tidssteg, ved at vi bruker posisjonene til planetene for den gitte tiden og m?ler avstanden til hver av dem for ? finne kraften og akselerasjonen. Denne akselerasjonen er den vi bruker for ? flytte p? raketten den avstanden og retningen for det gitte tidssteget. Dette er det samme konseptet vi har brukt i tidligere simuleringer av planetbanene. Eneste forskjellen er at vi legger sammen hver av de individuelle kreftene fra legemene i systemet, og bruker summen av disse for ? flytte p? raketten. Vi kommer igjen til ? bruke leap-frog for v?r numeriske l?sning, fordi, som ble nevnt i simulering av planetbanene, s? har den egenskapen at den bevarer energien i systemet, som er viktig i dette tilfelle. Grunnen til dette er at dersom energien i systemet ikke er bevart s? vil raketten avvike fra sin faktiske bane, som mest sannsynlig resulterer i at den faller inn mot stjernen under simuleringen. Denne usikkerheten er noe vi definitivt ikke ?nsker n?r presisjonen er det som er hovedprioriteten.
Presisjon er ?nskelig fordi det blir som om vi skal peke en laser p? en ca 10 cm i diameter, stor sirkel over en avstand p? 1 km. Dette er da vanskelig nok i seg selv, men s? legger vi til en avb?yning, uten at vi vet hvor mye lyset fra laseren vil avb?yes. Alt vi vet er at det b?yes mot en retning. Som man n? ser s? er det vanskelig ? forutse hvor lyset faktisk lander, s? man blir n?dt til ? justere avhengig av v?re observasjoner.
Antall legemer vi tar med under de numeriske utregningene m? ogs? vurderes. Tanken er at gitt newtons gravitasjons lov, der \(G\) er gravitasjons konstanten, \(M\) er massen til legemet vi m?ler kraften fra, og \(m\) er massen til raketten.
\(F = \frac{GMm}{r^2}\)
F er som sagt kraften som virker p? raketten som gir at \(F = am\), som betyr at n?r vi setter dette lik hverandre s? vil vi st? igjen med akselerasjonen for raketten, fra et gitt objekt.
\(F = \frac{GM}{r^2}\)
Viktig ? merke seg er at vi bruker at \(G = 4\cdot \pi^2\) og \(M \) er m?lt i solmasser p? grunn av at vi bruker AU og yr som enheter. Det som er viktig ? merke seg er forholdet mellom kraften, eller akselerasjonen, fra et objekt i en gitt avstand \(r\). P? grunn av at vi har \( r^2\) s? betyr det at kraften er omvendt proporsjonal med kvadratet av \(r\). I praksis betyr det at kraften p? et objekt minker med en faktor p? \(4r\). Dette betyr at vi kan se bort fra kraften fra de planetene som ligger lengst unna, fordi det er snakk om en avstand p? 25 AU+.
Etter ? ha sett n?rmere p? st?rrelsen p? kreftene fra disse planetene p? raketten, konkluderte vi med at de s? ? si hadde den samme verdiene som de andre steinplanetene. Grunnen til dette er at de er s?pass massive, som gj?r opp for de store avstandene og som putter dem i samme boks som de andre indre planetene, n?r det kommer til p?virkning p? raketten. Den man kunne ha sett bort ifra, basert p? kraften alene, er faktisk den innerste planeten, men p? grunn av at vi kan ende opp med ? fly ganske n?rme denne planeten, gj?r at vi ikke kan utelukke den.
St?rrelsen for tidsstegene er ogs? ganske viktig ? ta hensyn til, for st?rre tidssteg vil gi st?rre avvik. La oss si at du skal dele en halvsirkel i n antall like store deler. For hver del setter du n? et punkt, og hver ende vil alltid ha et punkt. S? ? trekker en linje mellom hvert punkt, slik at du ender opp med en oppdelt linje som skal tilsvare bevegelsen gitt for n antall tidssteg som blir brukt. Si at n = 2 og du ender opp med noe som ikke likner i det hele tatt p? en halvsirkel. La oss n? ?ke n med 10, og du vil ende opp med noe som likner mer p? en sirkel, men som fremdeles ikke er en perfekt halvsirkel, for det krever at n er uendelig. Dette er jo noe som har blitt tatt opp tidligere, s? hvorfor blir det nevnt igjen?
La oss endre perspektiv, og se p? n antall oppdelinger som n antall tidssteg. Vi kan allerede kaste ideen om ? ha uendelig mange, eller utrolig sm? tidssteg, for da kommer vi ingen vei. Har vi for store f?r man mye usikkerhet og avvik, s? det gjelder ? ha passe store tidssteg. N?r raketten er n?rme en planet vil kraften fra denne planeten bli mye st?rre enn den totale kraften fra de andre planetene. Dette f?rer til at de numeriske utregningene blir feil, fordi den vil tro at raketten blir p?virket av en stor kraft, i lengre tid enn den faktisk blir, p? grunn av st?rrelsen av tiddsteget. Man f?r p? mange m?ter hakk i utregningen, for kraften fra denne planeten g?r ned gradvis, men med store steg f?r man ikke den jevne avtagelsen. For ? fikse dette vil vi bruke noe som kalles for interpolasjon. Interpolasjon er at vi ser p? posisjonene til to punkter, eller planetene, mellom to tidssteg, for s? ? dele det opp i nye punkter, men i form av en parametrisering. Dette gj?r at man kan sette inn en verdi mellom de to n?rmeste tidsstegene, og f? ut posisjonen som planeten ville ha v?rt i p? det gitte tidspunktet. Dette gj?res for alle planetene og blir brukt i den f?rste tiden etter at raketten har n?dd verdensrommet.
Det vi endte opp med ? gj?re var ? kj?re simuleringen i en bestemt tid, der vi brukte de interpolerte posisjonene til planetene. Antall tidssteg for oss ble 50000 sekunder, med st?rrelsen p? tidsstegene p? 1 sekund, eller 1/yr. Tanken bak dette var ? gi raketten nok tid til ? komme langt nok unna til at kraften fra hjemplaneten ble mer tilsvarende som kreftene fra de andre planetene. Planen var egentlig ? si at vi stopper interpolerings-prosessen s? fort kraften fra hjemplaneten ble like stor som kraften fra stjernen. Dette visste seg ? bli v?re litt vrient, ikke i forhold til implementering i seg selv, men problemet med at dette ville gj?re at koden ville bruke mye mer tid i forhold til en bestemt mengde tid. Selve antall sekunder ble bestemt etter mye testing, der vi fant ut at det holdt med 20 000, for at raketten ikke ble skutt ut i en tilfeldig retning. Rundt 30 – 40 tusen f?r resultatene ble mer naturlig, men rundt 40 000 ble ansett som antallet som var n?dvendig f?r raketten gjorde det den skulle i de aller fleste tilfeller. S? de ekstra 10 tusen stegene er ment som et slingringsrom for ? ?ke sikkerheten.
Etter at interpolerings-prosessen er ferdig sender vi posisjonen til planetene og raketten videre til hoveddelen som fortsetter der den f?rste slapp, men med normale tidssteg. Deretter lar vi raketten drifte i en bestemt tid, som vi bare m?tte teste oss frem til. Grunnen var at vi ikke visste hvor lang tid reisen ville ta. Underveis s? sjekket vi ogs? for n?r raketten var p? det n?rmeste, notere ned hvilken vinkel og tid vi brukte. Deretter var det ? finne hvilken kombinasjon som gjorde at vi kom n?rmest v?r destinasjon.