Vi skal alts? finne et uttrykk for distansen til Narnia som kan fortelle oss n?r vi er n?r nok til ? lande. Du fikk nok et hint fra tittelen at dette vil omhandle gravitasjon. Men hvordan skal vi bruke gravitasjon for ? finne dette utrykket da? La oss unders?ke!
Vi kan nemlig bruke Newtons gode, gamle og godt brukte gravitasjonslov!
\(F = -\dfrac{GmM}{r^2}\)
Hvor \(F\) er gravitasjonskraften, uttrykt ved gravitasjonskonstanten \(G\), massene til legemet som p?f?rer og blir p?f?rt gravitasjonskraft som henholdsvis er \(M\) og \(m\), og avstanden mellom legemene \(r\). N? har vi formelen vi trenger for ? kunne finne uttrykket vi s?ker etter!
Vi definerer gravitasjonskraften fra Narnia p? raketten til ? v?re \(k\) ganger st?rre enn gravitasjonskraften fra stjernen p? raketten. ? lande en rakett er lettere for litt h?yere verdier for \(k\). Vi kan n? finne to uttrykk for gravitasjonskraften fra Narnia p? raketten. Vi starter f?rst med ? finne det vanlige uttrykket, ved hjelp av Newtons gravitasjonslov, og vi f?r:
\(F_n = -\dfrac{Gm_rM_n}{l^2}\)
Hvor \(F_n\) er gravitasjonskraften fra Narnia p? raketten, \(m_r\) er massen til raketten, \(M_n\) er massen til Narnia, og \(l\) er avstanden mellom Narnia og raketten. Her ser du at vi har et uttrykk som inneholder avstanden mellom Narnia og raketten, som er det vi s?ker etter! Vi fortsetter videre med ? uttrykke gravitasjonskraften fra Narnia p? raketten som \(k\) ganger st?rre enn gravitasjonskraften fra stjernen. Da f?r vi:
\(F_n = k\cdot (-\dfrac{Gm_rM_*}{r^2})\)
Hvor \(M_*\) er massen til stjernen, \(r\) er avstanden mellom raketten og stjernen, og resten av verdiene er det samme som tidligere. N? har vi alts? to uttrykk for gravitasjonskraften fra Narnia p? raketten! Vi kan sette disse lik hverandre for s? ? finne et uttrykk for distansen \(l\) mellom raketten og Narnia. Da f?r vi:
\(\begin{align} -\dfrac{Gm_rM_n}{l^2} &= -\dfrac{kGm_rM_*}{r^2} \\ \dfrac{M_n}{l^2} &= \dfrac{kM_*}{r^2} \\ l^2 &= \dfrac{M_nr^2}{kM_*} \\ l &= \sqrt{\dfrac{M_nr^2}{kM_*}} \\ l &= r\sqrt{\dfrac{M_n}{kM_*}} \end{align}\)
N? har vi alts? funnet uttrykket for distansen mellom Narnia og raketten, som var det vi s?kte etter! Dette skal vi f? bruk for senere n?r vi skal begynne ? se p? landingen av raketten. Men f?r den tid, har vi andre ting ? tenke p?. Videre skal vi gj?re enda en forberedelse til romferden v?r. F?lge med her!