I f?rste innlegg her skal vi begynne med ? se litt p? fysikken bak planetbanene. ? vite hvor planetene befinner seg et gitt tidspunkt er helt avgj?rende hvis vi ?nsker ? gj?re en oppskyting til en annen planet. Her sikter vi jo faktisk p? en blink som flytter p? seg, og ikke nok med det s? flytter jo faktisk vi p? oss ogs?. Derfor m? vi ha en klar forst?else av hvordan bevegelsene foreg?r.
Massesentersetningen
F?rst kan vi begynne med ? se p? et nytt konsept som kommer til ? hjelpe oss voldsomt, nemlig massesenteret. Du har sikkert h?rt begrepet massesenter, men hva i alle dager har det ? gj?re med planetbaner? F?r vi kommer til det skal vi gi en kjapp forklaring av konseptet. Massesenteret er definert som en vektor (eller et punkt i rommet) gitt ved f?lgende:
\(\vec{R}={1\over{M}}\sum_{i}\vec{r}_im_i\)
Her er \(\vec{R}\) posisjonen til massesenteret, \(M\) er summen av massene som inng?r i systemet, \(\vec{r}_i\) er posisjonen til et gitt legeme i systemet og \(m_i\) er den tilh?rende massen. Som vi ser vil posisjonen til massesenteret v?re avhengig av st?rrelsen p? massene som inng?r i systemet, og vil ligge n?rmere de legemene med stor masse enn de med liten. I figur 2 kan du se hvordan massesenteret (som ofte skrives CM) kan ligge i forhold til de ulike massene i systemet. Dette vil variere avhengig av st?rrelsene p? massene. En god analogi for ? forst? massesentersetningen er ? se p? massesenteret som balansepunktet i systemet, og her kommer vi tilbake til hvorfor dette er nyttig. I et solsystem vil alle planeter rotere om et felles massesenter. Dermed er dette et veldig bra referansepunkt n?r man ser p? planetbevegelse.
Keplers lover
N? som vi har introdusert massesenteret kan vi g? enda et steg videre. N?r man skal studere planeters bevegelse er det et navn man ikke kommer unna. Johannes Kepler er kanskje en av de viktigse astronomene som har levd, og han er mest kjent for sine tre lover om planetbevegelse:
1) Planeter beveger seg i ellipsebaner.
2) Dersom en planet beveger seg langs to vilk?rlige deler av banen i like lang tid vil arealene mellom de to posisjonsvektorene ved starttiden og sluttiden v?re lik for begge tidsintervallene (se figur 4 for visualisering).
3) Forholdet mellom kvadratet av oml?pstiden og den den store halvaksen \(a\) (se figur 3) opph?yd i tredje er konstant.
F?rst kan vi begynne med ? se p? hva den f?rste loven forteller oss. I matematikken er en ellipse definert ved denne ligningen
\(r={a(1-e^2)\over{1+e\cos{f}}}\)
Her inng?r de f?lgende st?rrelsene:
- \(r\) er radiusen, eller avstanden fra midtpunktet i ellipsen til fokuspunktet (et punkt p? ellipsebuen).
- \(a\) er den store halvaksen.
- \(e\) er eksentrisiteten.
- \(f\) er vinkelen mellom \(a\) og linjen mellom posisjonsvektoren \(\vec{r}\).
I tillegg kan det nevnes at \(b\) betegner den lille halvaksen, selv om dette ikke inng?r i uttrykket. Se figur 3 for ? f? en forst?else av de ulike st?rrelsene. Den eneste st?rrelsen man ikke kan lese ut i fra denne er eksentrisiten \(e\). Dette er en verdi som ligger mellom 0 og 1, som beskriver hvor skvist banen er. For eksempel kan vi se p? en strikk. Hvis vi legger denne ned p? et bord kan vi f? den til ? ligge i en perfekt sirkel. Da har den en eksentrisitet p? 0. Men s? fort vi begynner ? dra litt i sidene p? den vil vi se at den blir mer oval, som betyr at den f?r en h?yere eksentrisitet.
S? hvorfor har formelen denne formen?Som vi ser er dette en funksjon av vinkelen \(f\). Det er fordi dette er en ligning som bruker polarkoordinater. Det vil si at posisjonen er gitt ved en radius og en vinkel i stedet for med x og y. Med litt trigonometri kan du koble disse sammen (pr?v gjerne selv). Enkelt forklart kombinerer ligningen st?rrelsen p? ellipsen, formen p? ellipsen og vinkelen for ? finne ut hvor p? ellipsen man er.
Videre skal vi ser p? den andre og tredje loven. Det kan kanskje v?re litt vanskelig ? se hva de sier og hvorfor de er nyttige. Den andre loven kan virke litt kryptisk, men det viktigste den sier er egentlig at planetens hastighet vil ?ke n?r den kommer n?rme stjernen (se hastighetsvektorene i figuren over). Dette er egentlig ganske intuitivt n?r man tenker p? det. N?r planeten er n?rme stjernen vil posisjonsvektorene v?re kortere enn n?r den er langt unna. Dermed m? den bevege seg over en lengere del av banen for ? klare ? "feie" over det samme omr?det.
S? kan vi se p? den tredje loven. Hva sier egentlig den? Hovedpoenget er egentlig at en planet som g?r i en stor bane rundt solen vil bevege seg saktere enn en som g?r i en mindre bane.
Posisjon i ellipsebanen og relativ posisjon til massesenteret
N? som vi har sett litt p? massesentersetningen og p? Keplers lover kan vi fors?ke ? sette de sammen. Vi kan begynne med ? se kjapt p? et eksempel av en ellipsebane der den ene planeten st?r stille for ? f? et lite innblikk i bevegelsen og hvilke st?rrelser som inng?r. Betydningen av de ulike st?rrelsene kommer lenger nede. Vi ser her at punktet aphelion er punktet der det er lengst avstand mellom planetene, og perihelion er der det er minst avstand.
En stor fordel med et konsept som massesenteret er at vi kan se p? bevegelsene til planetene i forhold til massesenteret (husk at all bevegelse er relativt til noe, og at vi kan velge referansesystem selv). Dette gj?r mange beregninger enklere, og siden solsystemene flytter p? seg er det en fordel med et koordinatsystem som f?lger det.
Hvis vi ?nsker ? se p? bevegelsen til to planeter om et massesenter er det ogs? mulig, men vi skal ikke g? noe inn i matematikken bak det. Likevel kan vi se i figur 6 hvordan dette vil se ut sammenlignet med figur 5. Vi ser at dette raskt blir sv?rt komplisert, og med flere planeter blir det veldig vanskelig eller umulig ? bestemme bevegelsen analytisk.
Total energi sett fra massesenteret
N? vil jeg kjapt introdusere en kombinasjon av tingene over for ? se p? energien i et tolegemesystem. Med litt utledning ved hjelp av Newtons gravitasjonslov og massesentersetningen kan vi komme fram til f?lgende uttrykk:
\(E={1\over{2}}\hat{\mu}v^2-{\gamma\hat{\mu}M\over r}\)
Her har vi f?lgende:
- \(\hat{\mu}\) er den reduserte massen.
- \(v \) er den relative hastigheten.
- \(\gamma\) er gravitasjonskonstanten gitt ved \(6.67\cdot10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2}\).
- \(M\) er massen til hele systemet.
- \(r\) er den relative avstanden.
De siste fire st?rrelsene virker ganske greie, men hva i alle dager er den reduserte massen? Kort fortalt brukes den reduserte massen n?r man ser p? systemer der det inng?r to legemer, men som vi ?nsker ? behandle som ett legeme. Dette ene legemet har en "redusert masse" som vi kan tenke p? som et slags gjennomsnitt av massene. Den reduserte massen er gitt ved f?lgende ligning, der \(m_1\) og \(m_2\) er massene som inng?r i systemet.
\(\hat{\mu}={m_1m_2\over{m_1+m_2}}\)
N? kan vi se litt tilbake p? ligningen for energien. Som vi ser ligner ligningen mye p? uttrykket for energien til et objekt i et tyngdefelt, men siden vi ser det fra perspektivet til et massesenter er det bedre ? bruke relative avstander og hastigheter, i tillegg til redusert masse.
Forh?pentlig vis har jeg klart ? gi dere en litt bedre forst?else for fysikken bak resultatene v?re. Kom gjerne tilbake hit mens du leser resten av blogginnleggene. Det kan v?re en stor fordel for ? forst? de skikkelig. Resten av innleggene ligger her: