Energi til landing
N? skal vi finne ut hvor stort solcellepanel vi trenger for ? kunne drive landingsinstrumentene. Siden dette blogginnlegget blir litt kortere enn de forrige tenkte vi ? ta med en liten utledning for ? vise hvordan man g?r fram for ? finne svaret p? et s?nt sp?rsm?l. Det kan nevnes at solcellepaneler ofte benyttes for ? drive instrumenter p? romfart?y, som for eksempel romsonden InSight i figur 2.
Vi kan begynne med ? nevne at vi trenger en effekt p? \(40W\) for ? drive instrumentene. Til sammenligning s? kan laderen til pc-en jeg skriver p? n? levere opp til \(65W\), s? vi snakker ikke om s?rlig mye energi. Vi tar ogs? utgangspunkt i at virkningsgraden p? solcellepanelet er p? cirka \(12\)%. Det vil si at \(12\)% av str?lingensenergien som treffer den blir omgjort til elektrisk energi. Til sammenligning s? hadde de beste solcellene p? markedet i begynnelsen av 2022 en virkningsgrad p? mellom \(22\) og \(23\) prosent, men disse blir bedre og bedre for hvert ?r som g?r.
La oss hoppe rett ut i utregningene! For ? vite hvor mye energi solcellen kan produsere er det en god start ? vite hvor mye energi som kommer ut fra stjernen. Fra fysikk 1 husker du kanskje at den utstr?lte effekten (eller lumiositeten) til et sort legeme er gitt ved Stefan-Boltzmanns lov, som du kan se under.
\(L=\sigma AT_*^4\)
Her har vi f?lgende st?rrelser:
- \(\sigma\) er Stefan-Boltzmanns konstant gitt ved \(5.67\cdot10^{-8}Js^{-1}m^{-2}K^{-4}\).
- \(A\) er arealet til overflaten til legemet. I tilfellet der det sorte legemet er en kule med radius \(R_*\) vil dette v?re gitt ved \(A=4\pi R_*^2\). (Bruker her en stjerne i variabelnavnet til radiusen fordi den skal brukes for stjerneradien senere i utledningen).
- \(T_*\) er temperaturen til stjernen i kelvin.
S? hva sier egentlig ligningen? Det vi umiddelbart kan se er at en liten endring i temperatur vil gi en stor endring i lumiositet. I tillegg ser vi at et st?rre areal vil f?re til at mer energi str?les ut. Man kan tenke p? det litt som at "?pningen" der str?lingen kan slippe ut fra stjernen blir st?rre n?r arealet ?ker. Dermed vil mer energi kunne sendes ut.
Vi vil ogs? nevne at antagelsen om at stjernen er et sort legeme (et legeme som absorberer all innstr?ling) kan forsvares av flere grunner. Den viktigste er at stjernen sender ut str?ling med en rekke ulike b?lgelengder som stemmer godt overens perfekte sorte legemer.
Videre vil det v?re interessant ? vite innstr?lingstettheten fra stjernen en avstand \(r\) unna. Vi antar at str?lingen beveger seg uniformt i alle retninger. I figur 3, som vi ogs? viste i forrige bloggpost, kan du se hvordan dette fungerer. I tillegg kan vi tenke oss at str?lingen i en avstand \(r\) fra stjernen vil v?re fordelt jevnt utover et kuleskall med radius \(r\). Da kan vi enkelt komme fram til f?lgende uttrykk for innstr?lingstettheten (ogs? kalt fluksen):
\(F={L\over 4\pi r^2}\)
Setter vi disse to ligningene sammen kan vi komme fram til at innstr?lingstettheten er gitt ved
\(F=\sigma \left({R_*\over r}\right)^2T_*^4\)
Videre vet vi at effekten er gitt ved fluks ganget med areal, og til slutt m? vi gange med virkningsgraden \(\eta\) som gir
\(P=\sigma \left({R_*\over r}\right)^2T_*^4A\eta\)
Da f?r vi at arealet m? v?re
\(A={P\over{\sigma \left({R_*\over r}\right)^2T_*^4\eta}}\)
N? som vi har uttrykket for arealet kan vi fors?ke ? sette inn verdiene for planet 1 som vi skal lande p?. Vi satte inn f?lgende verdier:
- \(P=40W\)
- \(\sigma=5.67\cdot10^{-8}Js^{-1}m^{-2}K^{-4}\)
- \(R_*=6.03\cdot10^{-3}AU\)
- \(r=1.83AU\)
- \(T_*=7145K\)
- \(\eta=0.12\)
Det ga til slutt et areal p? \(0.208m^2\), som kanskje kan virke lite. Men det er viktig ? huske p? at planeten vi valgte er en av de planetene som ligger n?rmest sola. I tillegg er som jeg nevnte \(40W\) en ganske liten effekt, s? resultatet er likevel fornuftig. Vi kan ogs? sammenligne med hvor stort solcellepanelet m?tte v?rt om det var p? jorden. Hvis vi tar utgangspunkt i panelet har samme virkningsgrad og at innstr?lingstettheten ligger p? rundt \(1000W/m^2\), slik den er ved jordoverflaten i f?lge Store Norske Leksikon, kan vi komme fram til at arealet m? v?re p? rundt \(0.333m^2\). Som vi ser er dette litt st?rre, men det virker fornuftig basert p? at avstanden til stjernen v?r er noe st?rre enn avstanden til sola, og at temperaturen til v?r stjerne er en del st?rre.
Dominerende gravitasjonskraft
En av utfordringene man st?ter p? i forbindelse med romreiser er de ulike gravitasjonskreftene som virker p? romsonden. Dette gjelder spesielt kraften fra stjernen siden denne vil v?re s? mye st?rre enn kraften fra planeten vi skal lande p?. Derfor er det veldig fordelaktig ? kunne beregne hvor n?rme planeten man m? v?re for at kraften fra den skal v?re en faktor \(k\) st?rre enn kraften fra stjernen. Jo st?rre denne \(k\)-verdien er jo enklere vil det v?re ? komme i bane rundt planeten. Ved hjelp av Newtons gravitasjonslov og Newtons 3. lov kan man komme fram til f?lgende uttrykk for avstanden \(l\) mellom romsonden og planeten:
\(l=r\sqrt{M_p\over{kM_*}}\)
Her inng?r de f?lgende st?rrelsene:
- \(r\) er avstanden mellom romsonden og stjernen.
- \(M_p\) er massen til planeten.
- \(M_*\) er massen til stjernen.
- \(k\) er faktoren for hvor mye st?rre kraften skal v?re fra planeten.
Dersom du er interessert i utledningen kan du se den her. Under kan du se en figur der de ulike st?rrelsene inng?r, og hvordan kreftene virker. Her er \(M_s=M_*\).
Kan vi ta gode bilder av planeten?
Som vi har nevnt tidligere er planen ? montere et kamera p? romsonden slik at vi kan ta bilder av planeten mens vi lander. Vi bruker her et kamera med en oppl?sning p? \(P\times P\) piksler. Kameraet har ogs? et synsfelt eller bildeutsnitt p? \(F\times F\) radianer. Det vil si at kameraet kan fange opp et omr?de som utspennes av vinkelen \(F\) b?de i vertikal og horisontal retning. I figur 5 kan du se hva som menes med det. Vi ?nsker ? finne ut n?r planeten er synlig i mer enn én piksel. Dette er interessant fordi det kan brukes i forbindelse med navigering n?r vi skal lande. Med litt utregninger og bruk av s?kalte Taylor-approximasjoner (en m?te ? approksimere funksjoner i et punkt) kan vi komme fram til f?lgende uttrykk:
\(L\lesssim {RP\over{F}}\)
Her har vi de f?lgende st?rrelsene:
- \(L\) er avstand til planeten.
- \(R\) er radiusen til planeten.
- \(P\) er antallet piksler i hver retning p? kameraet.
- \(F\) er synsvinkelen i radianer.
Her kan du se en figur som viser de ulike st?rrelsene som inng?r i uttrykket.
N?r du ser p? utrykket virker det nok ganske greit, men hva i alle dager betyr det rare mindre-enn-tegnet med en tilde under? Det er egentlig s? enkelt som at enten s? m? \(L\) v?re mindre enn utrykket til h?yre, eller s? kan de v?re tiln?rmet like store. Dersom du ?nsker ? se utledningen kan du se den her. Det kan v?re en fordel ? kikket litt p? Taylor-approksimasjoner f?rst, som blir forklart godt i denne litt lange, men gode videoen.
Da var vi ferdige med denne delen av planleggingen, og vet n? hvilken planet vi skal lande p? i tillegg til st?rrelsen p? solcellepanelet, avstanden fra planeten n?r planetens gravitasjonskraft dominerer og til slutt avstanden fra planeten hvor vi kan ta bilder av planeten. I neste bloggpost skal vi generalisere programmet som ble brukt i forbindelse med simulering av rakettoppskytningen. Vi skal endre det slik at vi kan velge startposisjon og starttid for rakettoppskytningen selv.