Planetbanene

Hva er en planetbane?

Vi skal se p? hvordan planetene danser rundt stjernen sin, som ligger i origo. Her er den mange avanserte dansetrinn som ikke engang dommerne i "Skal vi danse" vil klare ? l?re seg. F?rst m? vi se p? teorien til ulike planetbaner, som sirkelbaner, ellipser, parabler eller hyperbler. Vi vil finne ut hvordan planetene i det mystiske solsystemet v?rt oppf?rer seg ved ? se p? kjente formler for planetbaner og deretter pr?ve ? simulere planetbanene ved hjelp av numerisk integrasjon. Utfordringen her er at vi skal se p? hvordan planetene kommer til ? oppf?re seg under p?virkning av gravitasjonen fra sola. Til slutt s? skal vi se p? tre kjente lover i astrofysikken; Keplers lover, som er som et regelverk som planetene m? f?lge i dansen sin rundt stjernen. Disse lovene vil hjelpe oss ? se om beregningene v?re er rimelige eller helt p? b?rtur.

Men n? tenker du sikkert: hvorfor m? vi simulere numerisk, n?r vi har formlene som forteller oss akkurat hvordan banene skal se ut? Den analytiske l?sningen som en kakeoppskrift som sier oss akkurat hvilken bane en planet vil f?lge, men den vil ikke gi oss planetens posisjon til enhver tid. Derfor skal vi simulere planetens bevegelser ved hjelp av numeriske metoder (integrasjon), for ? vite n?yaktig hvor de befinner seg p? et gitt tidspunkt.

Kosmisk regelverk aka. Keplers lover

Hvordan planetene beveger seg rundt solen er et utrolig spennende tema. Dette er noe som har fascinert menneskene p? jorden gjennom alle tider. En av disse fascinerte menneskene var Tycho Brahe. Han var en dansk astronom som observerte planetenes bevegelser i flere ?r. En tid senere kom et annet fascinerende menneske, som du nok har h?rt om f?r. Han het Johannes Kepler. Han analyserte observasjonene gjort tidligere av Brahe. Ut fra disse formulerte han det som n? er kjent som Keplers lover. Disse er tre grunnleggende lover som beskriver hvordan planetene beveger seg, som er relevant til den dag i dag. 

Keplers lover sier f?lgende:

1. "Banen til en planet er en ellipse med solen i ett av brennpunktene."
2. "En linje som forbinder solen med en planet sveiper over like stort areal i like store tidsintervaller."
3. "Kvadratet av en planets oml?psperiode \(P^2\)er proporsjonalt med kuben av den store halvaksen \(a^3 \) til dens bane."

Keplers f?rste lov forklarer hvordan planetene ikke beveger seg i perfekte sirkelbaner rundt solen, men at de beveger seg i elliptiske baner, og at solen er i et av brennpunktene av ellipsebanen.

Keplers andre lov forteller oss at en planet som beveger seg i en ellipse rundt solen, m? bevege seg raskere n?r den er lengst unna solen (som kalles ¡°perihelium¡±), enn n?r den er n?rmest solen (¡°aphelium¡±). Siden arealene som sveipes ut er like store over et tidsintervall, m? planeten bevege seg raskere ved perihelium, siden gravitasjonskraften er sterkere her enn ved aphelium siden avstanden til solen er kortere. Dette skyldes ogs? bevaringen av mekanisk energi, som sier at den totale energien til planeten er konstant. N?rmest solen har planeten mindre potensiell energi p? grunn av den korte avstanden, og da p? den kinetiske energien ?ke for at den totale energien skal v?re konstant. For at arealene skal bli like store, m? derfor planeten ?ke tempo n?r den er n?rmest sola, og senke tempoet lengre unna for at arealene som dannes skal bli like store.

I Keplers tredje lov er \(P\) oml?psperioden m?lt i ?r og \(a\) er store halvakse, som er avstanden til solen fra perihelium m?lt i \(\text{AU}\) (astronomiske enheter). For v?rt solsystem er en astronomisk enhet \(\text{AU} = 149597870700,0 \ \text{meter}\). Keplers tredje lov beskriver matematisk relasjonen mellom hvor lang tid planeten bruker p? ?  fullf?re et oml?p om solen og st?rrelsen den store halvaksen i ellipsebanen. 

?kei. N? vet vi hvertfall at plantene v?re skal bevege se i ellipsebaner, if?lge Keplers f?rste lov. La oss se p? ligningen for en ellipsebane:

\(r = \frac{a(1-e^2)}{1 + ecos(f)}\)        \((1)\)

hvor \(r\) er avstanden mellom solen og legemet, \(a\) er den store halvaksen (for sirkelbaner er denne lik radien), \(e\) er eksentrisiteten (som viser hvor elliptisk banen er) og \(f\) er vinkelen mellom planetens posisjon og perihelium.
Som vi vet, s? vil planeter og andre himmellegemer p?virke hverandre gjennom gravitasjon. For eksempel vil en planet vil tiltrekke en annen planet, stjerne eller astroide som kommer inn p? deres bane. Banene legemene f?lger kan v?re parabler, hyperbler eller ellipser. Vi deler banene en planet kan ha inn i to typer: bundne og ubundne baner.

Som vi ser i Figur 3, s? er det kun ellipsen og sirkelbanen som er bundne baner. Det betyr at et himmellegeme i disse banene er bundet av gravitasjonen til legemet den er i bane rundt. Da vil himmellegemet alltid vende tilbake et gitt punkt i banen, etter et visst tidsrom, dette kalles en oml?psperiode. Med andre ord s? er planeten stuck med stjernen og kan aldri slippe unna, enten den liker stjernen eller ikke. Litt s?nn som meg og Ellen som er stuck i dette romskipet sammen. Enten vi liker hverandre eller ikke, s? er vi fortsatt forskningspartnere sammen og kan ikke s?ke om skilsmisse bare fordi vi vil. P? den andre siden er ubundne baner det motsatte: planeten slipper unna solen, og returnerer aldri tilbake til samme punkt i banen.

Du lurer nok p? hva som bestemmer at planetene g?r i ellipsebaner og ikke parabler. Svaret p? det er den totale energien til systemet. Om vi har negativ energi f?lger himmellegemet en elliptisk bane. Om energien er null eller positiv, f?lger himmellegemet en parabolsk eller hyperbolsk bane, alts? en ubunden bane.

Vi kan oppsummere dette slik:

\(\text{For} \ E <0 ,\ e=0 \ \implies \text{Sirkel} \\ \text{For} \ E <0 ,\ e<1 \ \implies \text{Ellipse} \\ \text{For} \ E =0 ,\ e=1 \ \implies \text{Parabel}\\ \text{For} \ E >0 ,\ e>1 \ \implies \text{Hyperbel} \)

N? som vi vil se p? de teoretiske banene til planetene v?re, s? er det eneste vi trenger ? bruke formel \((1)\) og sette inn eksentrisiteteten \(e\), halvaksen \(a\) for hver planet, og regne ut \(r\) for hver verdi av vinkelen \(f\) som g?r fra \(0\) til \(2\pi\) . Men her m? vi v?re forsiktige. Vi vil jo plotte banene i forhold til v?rt referansepunkt, sola, som er fast i origo. Dette kan du forestille deg som et koordinatsystem hvor sola er ved \(x=0\) og \(y=0\). Planetene vil som sagt ha ett punkt hvor de er n?rmest solen (perihelium) og ett punkt lengst unna solen (aphelium). Hvis vi ser i forhold til \(x\)-aksen, s? vil de forskjellige planetene ha aphelium p? forskjellige steder i forhold til denne referansen (se Figur 4). Apheliumvinkelen forteller oss hvor aphelium til hver planet er i forhold til \(x\)-aksen. For ? ta hensyn til denne, s? m? vi plusse p? apheliumvinkelen p? vinkelen \(f\) i uttrykket for banen. 

Vi har brukt all teorien vi har snakket om til n? og utf?rt alle beregningene n?dvendig for ? se banen til hver planet. Vi har plottet disse for ? vise dere hvordan banene skal se ut i teorien:

Disse ser ut som perfekte sirkler, men i realiteten er de ellipsebaner med veldig lav eksentrisitet. Alts? ellipsebaner i forkledning. Dette er grunnen til at vi vil plotte banene, slik at vi ser hvordan de ser ut i forhold til eksentrisiteten og halvaksene de ulike planetbanene har.

Simulering av planetbanene

N? skal vi dykke dypere inn i koreografien til planetene. Vi vil kunne stoppe den 20 ?r lange forestillingen vi ser p?, ved hvert tidspunkt og kunne se n?yaktig hvor alle planetene befinner seg. Her m? vi brette opp ermene og finne frem programmeringsferdighetene v?re.

V?r neste utfordring er derfor ? simulere banene til planetene ved hjelp av numerisk integrasjon. Vi m? jo sjekke om de analytiske banene v?re stemmer overens med de banene vi ser i solsystemet v?rt! Siden vi er gode fysikere, la oss gj?re en del forenklinger for f? ? unng? at den mentale rullgardinen trekkes ned p? grunn av at beregningene blir for kompliserte (Tom Lindstr?m, 2023):

• Vi ignorerer planet-planet-interaksjoner. Vi skal kun vurdere gravitasjonsp?virkningen p? planetene fra stjernen.
• Ignorerer relativistiske effekter (vi antar en hastighet langt mindre enn lysfarten og at p?virkningen fra gravitasjonsfelt er neglesjerbar, for at Newtons lover skal gjelde uten ? ta hensyn til relativistiske effekter man har i verdensrommet)
• stjernen antas ? v?re fiksert i origo under hele simuleringen.
• Alle baner er i samme \(xy\)-plan. Vi ignorerer \(z\)-aksen. 
• planetene dreier mot klokken rundt \(z\)-aksen.
• ignorerer alle andre astronomiske legemer, inkludert m?ner. 

Det er mange fysiske problemer som er umulige ? l?se med penn og papir. Noen er mulig ? l?se, men vil kreve enorme mengder papir og t?lmodighet, som vi ikke har. Derfor er vi milj?bevisste fysikere veldig glad i ulike numeriske metoder som kan l?se de mest kompliserte ligningene og systemene for oss. En numerisk metode er en tiln?rming, s? den gir ikke en eksakt l?sning, men en tiln?rmet l?sning med en viss n?yaktighet. De fleste numeriske metoder gj?r gjentatte beregninger, ofte veldig veldig mange, som vil gj?re at vi f?r et n?yaktig resultat. For eksempel s? kan vi ?ke tidsperioden vi ser p? og antall tidssteg vi bruker, slik at vi regner ut posisjoner og hastigheter for veldig sm? intervaller. Dette er mer n?yaktig enn ? se p? st?rre omr?der av gangen. Her kunne vi inkludert et tall p? usikkerheten i bergningene v?re for ? se hvor reelle l?sningene v?re er, men vi er fysikere og ikke statistikere, s? vi fokuserer bare p? planetbanene i denne omgang.

Om du for eksempel ?nsker ? l?se ordin?re differensialikninger, s? er Eulers metode som vi har snakket om tidligere, et godt valg av numerisk metode. Men vi ser p? et system av flere legemer og store avstander. Her er det spesielt viktig at energien er bevart. Hvis energien ikke er bevart, og systemet v?rt f?r mer og mer energi ettersom tiden g?r, s? vil planetene fly bort fra sola, og det vil vi virkelig ikke. Hvilken numerisk metode skal vi da bruke? Vi m? bruke en metode som bevarer energien best mulig, slik at planetene f?lger de banene de skal.

Leapfrog-metoden 

Vi har nevnt Eulers metode som en numeriske metode for ? oppdatere posisjoner og hastigheter, men denne metoden er ikke i stand til ? bevare energi i stor nok grad til at vi kan bruke den til ? simulere planetbaner. Eulers metode estimerer den nye posisjonen til et legeme ved ? bruke gjeldene hastighet, og vil akkumelere feil over tid og vil derfor ikke bevare energien godt nok. Derfor har vi valgt ? bruke Leapfrog-metoden, som passer utmerket til dynamiske systemer og bevegelser av legemer. Denne metoden er utmerket for systemer hvor det er viktig at energien er bevart.

Du husker kanskje fra tidligere bloggpost at vi brukte Euler sine ligninger for ? regne ut den nye posisjonen og hastigheten til et legeme, basert p? posisjonen og hastigheten i et tidligere tidspunkt. Leapfrog-metoden er en metode som brukes for ? l?se differensiallingninger av andre orden, slik som bevegelsesligninger. Vi deler f?rst tidsintervallet vi vil simulere, som her er 20 ?r, inn i mange sm? tidssteg. Vi m? f?rst bestemme initialposisjonene og initialhastighetene ved et tidspunkt \(t\), og deretter oppdatere posisjonene og hastighetene til planetene til et tidspunkt \(t + dt\), hvor \(dt\) er tidssteget. Som vi vet fra Fysikk 1 s? er akselerasjon er endring i fart i l?pet av en tid \(dt\), og derfor er \( v = v_0 + adt\). For ? finne farten, s? m? vi alts? ha akselerasjonen. Denne finner vi ved hjelp av Newtons 2. lov og kreftene som virker p? planeten. Solen trekker p? planeten med en kraft som vi kjenner fra Newtons gravitasjonslov p? vektorform:

\(\vec F = \text G \frac{\text M_\text{sol}\text M_\text{planet} \vec r}{|\vec r|^3}\)

Hvor \(\vec F\) er gravitasjonskraften mellom to objekter, \(\text{G}\) er gravitasjonskonstanten, \(\text M_\text{sol}\) er massen til solen, \(\text M_\text{planet}\) er massen til planeten og \(|\vec r|\) er avstanden mellom sentrum av planeten til sentrum av solen.

Videre vet vi fra Newtons 2.lov at kraft er masse ganger akselerasjon:

\(\vec F = \text M_\text{planet} \cdot \vec a\)

Vi kan sette disse uttrykkene lik hverandre, stryke planetmassen og l?se for akselerasjonen:

\(\text M_\text{planet} \cdot \vec a = \text G \frac{\text M_\text{sol}\text M_\text{planet} \vec r}{|\vec r|^3}\)       \(\implies \vec a = \text G \frac{\text M_\text{sol}\vec r}{|\vec r|^3}\)

Alle planetene vil oppleve gravitasjonen fra stjernen ulikt, og vi ser at akselerasjonen er uavhengig av massen til planeten.  

S?, la oss fortsette med ? regne ut posisjonene og hastighetene til planetene v?re. Med Leapfrog-metoden bruker vi n? akselerasjonen i et tidspunkt \(t\) til ? regne ut hastigheten i et tidspunkt \(t + \frac{1}{2} dt\). Deretter brukes denne farten til ? regne ut posisjonen i neste steg \(t + dt\). Deretter regner vi ut akselerasjonen i et tidspunkt \(t + dt\)og til slutt regner vi ut hastigheten i et tidspunkt \(t + dt \) ved ? bruke denne akselerasjonen.

La oss puste med magen og se p? ligningene. Se p? disse en stund og pr?v ? forst? hva som skjer:

\(a(t) = -G\frac{\text M_\text{sol}\ r(t)}{r^3} \\ v(t +\frac{1}{2}dt) = v(t) + a(t)\cdot \frac{dt}{2} \\ r(t + dt) = r(t) + v(t + \frac{1}{2}dt) \cdot dt \\ a(t + dt) = -G\frac{\text M_\text{sol}r(t+dt)}{ r^3} \\ v(t + dt) = v(t+ \frac{1}{2}dt) + a(t + dt) \cdot \frac{dt}{2}\)

hvor \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) her er en skalar som representerer avstanden til solen. Metoden kalles Leapfrog, fordi man hopper tidsstegene n?r man regner ut hastighet og posisjon. Denne metoden vil hjelpe oss ? simulere planetbanene.

Sammenligning av analytiske og simulerte baner

Vi har simulert v?re planetbaner med metoden beskrevet over. Under er bilde av plottet til de analytiske og numeriske banene slik at vi kan sammenligne de:

Vi ser at banene stemmer ganske godt overens, men de overlapper ikke helt. Dette kan v?re av flere grunner. En av grunnene kan v?re at tidssteget v?rt er for stort. Det vil gj?re at beregningene blir for grove og f?rer til un?yaktighet for hvert tidssteg. Vi har brukt at vi skal simulere 20 ?r, og at det skal v?re 10 000 steg per ?r. Det blir 200 000 steg p? hele simuleringen. Vi pr?vde oss litt frem med tidssteget for ? se hvor banene ble mest riktige i forhold til teorien. Vi endte opp p? en \(dt\) som tilsvarer 0,0015 ?r eller 0,5475 dager. Dette er tidssteget som ble brukt for ? plotte banene i Figur 7-8. Dette er et ganske lite tidssteg i v?r mening. Vi pr?vde f?rst med et mye mindre tidssteg (vi brukte \(dt = \frac{1}{200000}\) , som er veldig lite), men disse banene ble veldig korte, og planetene fullf?rte ikke en hel runde rundt stjernen. Derfor ganget vi tidssteget med 300, og fikk banene i Figur 7-8. S? i teorien burde de analytiske og de simulerte banene overlappe perfekt, men vi sa oss forn?yde med de sm? forskjellene vi har. Vi har ogs? tatt hensyn til apheliumvinkelen, s? det er ikke denne som er grunnen til avviket.

Vi ser ogs? at det blir mindre overlapp ved planetene som er n?rmest solen, kontra de som er lengst unna. Planetene n?rmest solen vil ha h?yere hastighet, siden de er p?virket av en st?rre gravitasjonskraft fra solen enn de som er lengre unna. Dette kan tyde p? at metoden v?r for ? regne ut posisjonene til planetene er mindre n?yaktig ved h?yere hastigheter. Da kan det hende det hjelper ? simulere banene over kortere tid og minske tidssteget, slik at vi f?r regnet ut hastigheten og posisjonen ved flere tidspunkter.

En annen grunn til at banene ikke overlapper perfekt, er antagelsene vi har gjort for ? utf?re simuleringen. Vi har blant annet sett bort fra planet-planet-interaksjoner. Dette vil si at vi antar at planetene ikke trekker p? hverandre med krefter, noe som de i realiteten egentlig gj?r.

Et viktig poeng er ogs? at vi tenker over hvordan simuleringen v?r vil oppf?re seg over tid. I v?r simulasjon simulerer vi bare 20 ?r, men dersom tiden vi observerte var betydelig lengre, s? kan det hende at resultatene v?re ikke hadde stemt overens med virkeligheten. For eksempel s? vil som energitap over tid ha mye ? si dersom vi utvider simulasjonstiden. Siden vi bruker numeriske metoder for ? tiln?rme planetbanene, s? er det ogs? en iboende usikkerhet i hvordan de numeriske bergeningene blir utf?rt. Alle numeriske metoder inneb?rer usikkerheter og feilmarginer, som kan v?re en ?rsak til at banene ikke overlapper. Her vil faktorer som avrundingsfeil kunne p?virke resultatene v?re.

Er resultatene rimelige?

Men hvordan i huleste vet vi om resultatene v?re er rimelige? Jo, her kommer Kepler inni bildet (om du lider av kortidshukommelsestap som oss, s? kan du skrolle tilbake og oppfriske hva Keplers tre lover sier). Vi skal sjekke om Keplers 2. lov stemmer ved ? se p? to omr?der som blir feid ut av planeten v?r i et gitt tidsintervall. Vi skal sammenligne disse arealene som blir sveipet ut ved perihelium og aphelium. Perihelium er avstanden som er minst fra stjernen, og aphelium er den st?rste avstanden planeten har fra stjernen.

Men hvordan i huleste vet vi om resultatene v?re er rimelige? Jo, her kommer Keplers kosmiske regelverk inn i bildet (om du lider av kortidshukommelsestap som oss, s? kan du skrolle tilbake og oppfriske hva Keplers tre lover sier). For ? sjekke at vi ikke er p? b?rtur, s? sammenligner vi v?re resultater med Keplers 2. og 3. lov.

Keplers 2.lov - areal og fart

Vi skal sjekke om Keplers 2. lov stemmer ved ? se p? to omr?der som blir feid ut av planeten v?r i et gitt tidsintervall \(\Delta t\). Vi skal sammenligne disse arealene som blir sveipet ut ved perihelium og aphelium. Her har vi valgt ? se p? planet nr. 0, som er planeten n?rmest solen v?r. Vi velger et tidsintervall p? 10 tidssteg (\(10\cdot dt\)), og ser p? arealet som dannes med sola i origo av startposisjonen og sluttposisjonen til planeten ved perihelium. Deretter gj?r vi det samme ved aphelium. N?r planeten er ved perihelium/aphelium, s? lar vi den fortsette i 10 tidssteg, og regner ut arealene som dannes, avstanden den reiste og gjennomsnittsfarten i dette tidsintervallet. Hvis Keplers 2. lov stemmer, s? vil arealene som sveipes ut ved perihelium og aphelium v?re de samme. 

V?re baner er tiln?rmet lik sirkelbaner, siden de har en eksentrisitet som er veldig n?rme 0. Planet 0 har eksentrisitet \(e = 0,00523564 \), s? det er nesten en perfekt sirkel. Dette betyr at farten ved aphelium og perihelium ikke burde v?re veldig forskjellig.  Tradisjonelt sett ved en ellipsebane s? vil planeten bevege seg mye raskere ved perihelium og saktere ved aphelium, siden gravitasjonskraften er kraftigere ved perihelium n?r avstanden til solen er minst. Vi forventer derfor at gjennomsnittshastigheten og den tilbakelagte avstanden til planeten burde v?re ganske lik ved perihelium og aphelium. For ? regne ut arealene, gj?r vi enda en tiln?rming. Vi velger ? se p? arealet som dannes med posisjonene til planeten og sola som trekanter. Dette er rimelig, siden fartsvektoren er ortogonal (vinkelrett) p? posisjonsvektoren til planeten. Vi m? regne ut avstanden til sola i hvert tidssteg. Det gj?r vi p? denne m?ten:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2} \)

Arealet av en trekant er gitt ved:

\( \text A_ \text{trekant} = \frac{1}{2}rh \)

Hvor h?yden \(h\) regnes ut slik:

\(h = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)

Her tilsvarer \(h\) avstanden planeten reiser langs banen, siden vi har antatt at hvert lille areal som dannes er en trekant. For ? finne avstanden planeten reiser, s? legger vi sammen alle \(h\)¡¯ene vi regner ut i tidsintervallet.

Det som gjenst?r ? gj?re da er ? regne ut gjennomsnittsfarten. Dette er en formel du kjenner godt til. Gjennomsnittsfarten er gitt ved den totale strekningen planeten reiser delt p? tiden det tar, \(v = \frac{s}{t} \)

V?re beregninger har gitt oss disse resultatene:

Vi ser at avstanden er noe st?rre ved perihelium, til tross for at de reiser over samme tidsintervall. Dette bekrefter Keplers andre lov, som sier at planeten beveger seg raskere n?r den er n?rmere solen, alts? at den tilbakelegger seg en st?rre strekning siden farten er h?yere n?rmere solen. Arealene som sveipes ut er noks? like, men noe forskjellige p? 8. desimalplass. Dette skyldes nok sm? feil i beregningene. Her m? vi ogs? huske at vi har antatt trekanter. Vi kunne sett p? posisjonsvektorene til planeten ved start og slutt, og brukt kryssproduktet til ? regne ut arealet, men for ? gj?re dette m? vi ha vinkelen som dannes med solen. Derfor valgte vi ? forenkle det, og da m? vi forvente sm? feil i beregningene. Vi ser ogs? at beregningene stemmer med hastigheten og strekningen som tilbakelegges. Gjennomsnittshastigheten er st?rre ved perihelium, som stemmer med realiteten. Beregningene v?re stemmer alts? godt overens med Keplers 2. lov, og beviser derfor at denne stemmer. Antagelsen v?r om at gjennomsnittsfarten og den tilbakelagte avstanden burde v?re noks? lik ved perihelium og aphelium, ogs? stemmer.

Keplers 3.lov - oml?pstid

Da gjenst?r det ? sjekke at alle banene stemmer overens med Keplers 3.lov. Vi m? vise at 

\(T^2 = a^3\)

hvor \(T\) er oml?pstiden til planeten m?lt i ?r og \(a\) er store halvakse i ellipsebanen. Vi skal sammenligne Keplers variant med Newton sin korrigerte versjon:

\(T^2 = \frac{4 \pi ^2a^3}{\text G (\text M_\text{sol} + \text M_\text{planet})}\)

 Hvordan skal vi sjekke om Keplers 3.lov stemmer?

Det f?rste vi gj?r er ? regne ut oml?pstiden til planetene basert p? banene vi har funnet (ref. Figur 7). Her er det mange metoder man kan bruke. Man kan regne ut oml?pstiden ved ? se p? antall kryssinger planeten har med \(x\)-aksen. Hvis planeten starter perihelium, s? m? den krysse \(x\)-aksen to ganger f?r den er tilbake i startposisjonen. Vi fant oml?pstiden ved ? regne ut avstanden til solen i alle tidssteg og sammenligne og vi fant samme verdi to ganger. Hvis planeten har samme avstand til solen to ganger, s? har den returnert til startpunktet og dermed fullf?rt ¨¦n runde rundt stjernen. Vi brukte posisjonene til planet 0 som vi simulerte tidligere og regnet ut avstanden til solen i alle tidssteg. Da fant vi at oml?pstiden basert p? v?re tidligere beregninger var 3,177 ?r. 

For ? sjekke om v?re beregninger stemmer med Keplers 3.lov, s? m? vi regne ut periodetiden ved hjelp av formelen \(T^2 = a^3\). Men siden vi har et solsysmet med en sol som tilsvarer rundt 3,4 solmasser, s? m? vi skalere formelen:

\(T^2 = \frac{a^3}{\text M_\text{sol}}\)

Keplers 3. lov sier at kvadratet av periodetiden er proporsjonal med kuben av \(a\), men siden vi har er solmasse som ikke tilsvarer 1 solmasse, s? m? vi dele p? denne. Ved ? sette inn den store halvaksen til planet 0, s? f?r vi at oml?pstiden med Keplers 3.lov er 6,933411 ?r. Ved ? bruke Newtons versjon av Keplers 3.lov f?r vi at oml?pstiden er 6,933400 ?r. Vi ser at disse stemmer noks? godt overens med hverandre, som er et godt tegn. Her er en utskrift som oppsummerer v?re resultater

Vi ser at v?r simulerte oml?pstid er omtrent halvparten av den teoretiske oml?pstiden. Det betyr at det er noe feil i beregningene v?re, for eksempel at vi barer f?r med oss halve banen til planeten og derfor blir oml?pstiden halvert. 

Kan utenomjordiske vesener oppdage v?r planet?

Hvordan vet vi om annet liv der ute kan se oss? Bli med inn i neste bloggpost og finn ut:

Kan utenomjordisk liv finne oss?