Er banen stabil?

Vi utf?rte en orbital injeksjonsman?ver for ? justere hastigheten og posisjonen til romfart?yet slik at det begynte ? f?lge en elliptisk bane rundt planeten. Det f?rste vi gj?r, er ? anta et to-legeme-system, som betyr at vi forenkler situasjonen til ? bare se p? romfart?yet og planeten det skal g? i bane rundt. I realiteten er det mange objekter i verdensrommet som alle p?virker p? romfart?yet og planeten med gravitasjonskrefter. Men, vi ser bort fra alle andre legemer, og ser kun p? systemet som best?r av planeten og romfart?yet. Dette sparer oss en del blod, svette og t?rer. Det er tre viktige parametre vi m? ha kontroll p?:

• \(r\) - dette er avstanden fra romfart?yet til planetens sentrum
• \(v_r\) - den radielle hastighetskomponenten til romfart?yet. Denne hastigheten indikerer hvor raskt vi beveger oss mot eller fra planeten (radielt). 
• \(v_\theta \) - den tangentielle hastighetskomponenten til romfart?yet, som indikerer hvor raskt vi beveger oss rundt planeten.

Disse verdiene er viktige, fordi de bestemmer banen romfart?yet f?lger rundt planeten. For ? sjekke om banen holder seg stabil over flere oml?p, s? kan vi sjekke om baneparametrene er de samme for hvert oml?p. Disse parametrene er karakteristiske for en ellipsebane, her kommer de:

• \(\text a\) - semi hovedaksen. Denne kan tenkes p? som gjennomsnittsavstanden romfart?yet har til planeten. Den m?ler ogs? hvor ¡°h?y¡± ellipsebanen er. I forhold til en sirkel, s? er semi-hovedaksen i en sirkel konstant.
• \(\text b\) - semi-minoraksen., som viser hvor ¡°bred¡± ellipsebanen er i ÑDz©ÓéÀÖ¹ÙÍø_ÑDz©ptÊÖ»ú¿Í»§¶ËµÇ¼ med semi-hovedaksen. I en sirkelbane er semi-hovedakse og semi-minorakse like store, men i en elliptisk bane er b<a.
• \(e\) - som er eksentrisiteten til banen. Denne er karakteristisk for ellipsebanen, og beskriver ¡°hvor elliptisk¡± banen er (e=0 er en perfekt sirkel). Eksentrisiteten i en ellipsebane er mellom 0 og 1 (e=1 gir parabolsk bane, som betyr at romfart?yet stikker av).
• \(\text P\) - dette er oml?pstiden til romfart?yet, som er tiden det tar ? fullf?re ett oml?p. Denne avhenger av a og b. 
• apoapsis - dette er punktet i banen hvor romfart?yet er lengst vekk fra planeten
• peiapsis -  dette er punktet hvor romfart?yet er n?rmest planeten. Romfart?yets hastighet vil endre seg ut fra hvor i banen den er (ved apoapsis er hastigheten mindre enn ved periapsis). 

Okei. Men da kan vi jo bare se p? disse parametrene for hvert oml?p for ? sjekke om banen er stabil! Hvis for eksempel eksentrisiteten endrer seg, s? har det skjedd noe mystisk. 

Men hvordan finner vi \(\text r\), \(v_r\) og \(v_\theta\)?

For ? finne avstanden mellom planeten og romfart?yet, s? m? vi f?rst finne vektoren som peker fra planeten til romfart?yet, og ta lengden av denne. Vi har jo beskrevet alle posisjoner i solsystemet v?rt sett fra stjerna. Derfor vet vi posisjonen til romfart?yet i forhold til stjerna \vec R_\tetx r, og planetens posisjon i forhold til stjerna \(\vec R_\text p\). For ? finne posisjonen \(\vec r\) til romfart?yet i forhold til planeten, s? tar vi derfor \(\vec r = \vec R_\text r - \vec R_\text p\). Vi har illustrert dette i figuren under. 

Hvis vi skriver \(\vec r = (x(t), y(t))\), s? f?r vi at lengden av \(\vec r\), og dermed avstanden mellom planet og romfart?y, er:

\(r = |\vec r| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Da m? vi videre til ? finne den radielle komponenten av hastigheten. Dette er hastigheten til romfart?yet sett fra planeten. Du husker kanskje at \(v(t) = r¡¯(t)\)? Det er akkurat dette vi skal bruke her, men vi skriver det med en litt annen notasjon:

\(v_\text r = \frac{dr}{dt}\)

Hvis vi deriverer uttrykket for \(r\) som vi fikk over med hensyn p? tid, s? f?r vi:

\(v_\text r = \frac{xv_\text x + yv_\text y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

hvor \(v_\text x\) og \(v_\text y\) er hastighetskomponentene til romfart?yet i forhold til planeten.

Da gjenst?r det bare ? finne den tangentielle hastighetskomponenten \(v_\theta\). For ? finne denne s? tegner vi en figur:

 Vi ser fra Figur 16 at \(\vec e_\text r = \cos \theta \vec e_x + \sin \theta \vec e_y\) og \(\vec e_\theta = -\sin \theta \vec e_x + \cos \theta \vec e_y\).

For ? finne hastighetsvektorne \(\vec v \)til romfart?yet, s? uttrykker vi \(\vec r\) med disse enhetsvektorene og deretter deriverer vi \(\vec v\) med hensyn p? tid ved hjelp av produktregelen:

\(\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}} = \dot{r} \, \vec{e}_r + r \dot{\vec{e}}_r \\ = \dot{r} \, \vec{e}_r + r \left(-\dot{\theta} \sin \theta \, \vec{e}_x + \dot{\theta} \cos \theta \, \vec{e}_y \right) \\ = \dot{r} \, \vec{e}_r + r \dot{\theta} \, \vec{e}_\theta \\ = v_r \, \vec{e}_r + v_\theta \, \vec{e}_\theta \)

Merk at prikken over vektorene betyr derivert. N? som vi har komponentene, s? har vi den totale hastigheten til romfart?yet i forhold til planeten:

\(v^2 = v_r^2 + v_\theta ^2 \implies v_\theta = \sqrt{v^2 - v_r^2}\)

Finner baneparametrene:

N? som vi har hastighetskomponentene og avstanden, s? kan vi regne ut baneparametrene. Her kommer en del ligninger, s? hold p? hatten. 

For ? finne den store halvaksen til banen, s? ser vi p? energien i systemet. Denne er gitt ved:

\(E = \frac{1}{2} \, \hat{\mu} v^2 - \frac{GM_\text{tot} \hat{\mu}}{r} \)

hvor \(M_{\text{tot}} = \text M_\text{planet} + \text M_\text{romfart?y}\),  \(\hat{\mu} = \frac{\text M_\text{planet} \text M_\text{romfart?y}}{\text M_\text{planet} + \text M_\text{romfart?y}} \), \(\text G\) er gravitasjonskonstanten, \(v\) er den relative hastigheten til romfart?yet og \(r\) er avstanden mellom planeten og romfart?yet. Siden massen til planeten er mye st?rre enn massen til romfart?yet, s? forenkler vi \(\hat \mu \approx \text M_\text{romfart?y}\) og \(\text M_\text{tot} \approx \text M_\text{planet}\).

Som vi diskuterte tidligere, s? er uttrykket for en ellipsebane gitt ved:

\(r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos f} \)

hvor \(a\) er store halvakse, \(e\) er eksentrisiteten og \(f = \theta - w\) (hvor \(w\) er gitt av initialbetingelsene). 

Energien i en elliptisk bane er konstant og negativ siden det er en bunden bane. Kombinert med ligningen over s? f?r vi at energien kan uttrykkes ved:

\(E = -\frac{\text G \text M_\text{planet}}{2a}\)

Vi snur dette uttrykket og finner et uttrykk for den store halvaksen: 

\(a = \frac{\text G \text M_\text{planet}}{2|E|}\)

Oml?pstiden finner vi fra Keplers 3. lov, som vi har diskutert i tidligere bloggposter:

\(P^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{\text G (\text M_\text{planet} + \text M_\text{romfart?y})} \approx \frac{4 \pi^2 a^3}{\text G \text M_\text{planet}} \)

hvor \(a\) er den store halvaksen. Her har vi forenklet slik at vi dropper massen til romfart?yet, siden denne er liten i forhold til massen til planeten.

For ? finne apoapsis og periapsis s? setter vi \(\theta = 0^\circ\) og \(\theta = 180^\circ\) inn i ligningen for en ellipsebane:

\(r_\text{periapsis} = \frac{a (1 - e^2)}{1 + e \cos(0^\circ)} = \frac{a (1 - e)(1 + e)}{1 + e} = a (1 - e) \\ r_\text{apoapsis} = \frac{a (1 - e^2)}{1 + e \cos(180^\circ)} = \frac{a (1 - e)(1 + e)}{1 - e} = a (1 + e) \)

Vi mangler ? finne et uttrykk for eksentrisiteten. For ? finne denne s? bruker vi at vinkelmomentet \(h\) i en ellipsebane er konstant. Vinkelmomentet er gitt ved:

\(h = rv_\theta\)

hvor \(r\) er avstanden til planeten og \(v_\theta\) er den tangentielle hastigheten. 

Vi vet ogs? at energien i ellipsebanen er \(E = -\frac{\text G \text M_\text{planet}}{2a}\) fra tidligere. Ved periapsis eller apoapsis er hastigheten kun tangentiell (\(v_r = 0\)), og da er energien (vi forkorter bort \(\text M_\text{romfart?y}\)):

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ E = \frac{1}{2} v^2 - \frac{\text G \text M_\text{planet}}{r} \\ \implies E= \frac{1}{2}(\frac{h}{r})^2 - \frac{\text G \text M_\text{planet}}{r} \)

Vi setter de to uttrykkene for energi lik hverandre, setter inn at \(r = a(1-e)\) ved periapsis l?ser for eksentrisiteten:

\(e = \sqrt{1-\frac{h^2}{\text G \text M_\text{planet}a}}\)

Til slutt finner vi den lille halvaksen \(b\). Vi ser fra Figur 14 at avstanden fra brennpunktet til origo er \(ae\). Vi kaller denne avstanden \(c\). Hvis vi anvender Pytagoras p? halvaksene og brennpunktene, s? f?r vi at

\(c^2 = a^2 -b^2\)

(sjekk det!). Siden \(c= ae\), s? f?r vi at:

\((ae)^2 = a^2-b^2 \\ \implies b^2 =a^2(1-e^2) \\ \implies b= a\sqrt{1-e^2}\)

Dermed har vi alle formlene vi trenger! Vi bruker et numerisk verkt?y til ? hjelpe oss ? beregne baneparametrene for flere oml?p. 

Er banen v?r stabil?

N? kan vi endelig bruke alle ligningene vi har komt frem til og se p? hvordan banen til romfart?yet er! Vi lar romfart?yet fullf?re 10 oml?p rundt Casjoh og sammenligner verdiene i det 10. oml?pet med verdiene rett etter injeksjonsman?veren. Vi har simulert banen til romfart?yet etter at det kom innenfor den kritiske avstanden \(l\) som vi har snakket om tidligere. Innenfor denne avstanden vil gravitasjonen fra planeten v?re sterk nok til ? holde oss i bane. Vi m?tte p? noen problemer underveis n?r vi skulle komme i stabil bane rundt planeten, men heldigvis fikk vi hjelp fra v?re gode venner i NASA og kom helskinnet ut av det hele. Derfor kan det hende at verdiene v?re ikke er 100% n?yaktige, men likevel vi de kunne fortelle oss noe om banen romfart?yet har, og noe er bedre enn ingenting:) Vi har notert verdiene vi fikk for \(a, b, e, P\), apoapsis og periapsis rett etter injeksjonsman?veren ble utf?rt, og disse verdiene etter 10 oml?p rundt Casjoh. N? som vi n?rmer oss planeten vi skal lande p?, s? bytter vi til SI-enheter i stedet for astronomiske enheter. Under ser dere tabellen som viser hva vi fikk:

Wow. Dette var mange tall. Vi puster med magen og ser f?rst p? hvert enkelt parameter:

• avstanden \(r\) er ganske lik etter 10 oml?p rundt planeten. Den har et veldig lite prosentavvik, s? dette er et godt tegn! Dette indikerer at banen er ganske stabil, og at romfart?yet p?virkes i liten grad av ytre krefter. 
• den radielle hastigheten har minket etter 10 oml?p og har et avvik p? \(6.64 \%\). Dette betyr at etter 10 oml?p s? er hastigheten som er rettet inn mot planeten, mindre enn den var ved starten. I praksis s? betyr dette at romfart?yet beveger seg saktere i retning inn mot planeten. Dette kan indikere at vi f?r en mer stabil bane, som stemmer overens med at avstanden til planeten har holdt seg ganske konstant.
• den tangentielle hastigheten har samme verdi etter 10 oml?p. Dette er ogs? et bra tegn, fordi hastighetskomponentene bestemmer banen vi f?lger, og disse burde ikke endre seg mye over tid. Det ville betydd at vi ville f?tt energi utenfra elle rat romfart?yet blir p?virket av ytre krefter. 
• den store halvaksen har et litt stort avvik i v?re ?yne, p? \(6.22\%\). Den reduseres il?pet av de 10 oml?pene, som betyr at banen blir "smalere" over tid. Dette kan v?re for?rsaket av gravitasjonsforstyrrelser fra andre legemer.
• den lille halvaksen har et litt mindre avvik p? \(3.11\%\). Det betyr at "h?yden" i ellipsebanen f?lger holder seg mer konstant enn den store halvaksen. Dett ebetyr at vi f?r en mer sirkul?r bane, siden banen krymper mer i bredden enn i h?yden. Dette liker vi!
• Vi ser at banen til romfart?yet er en ellipsebane p? grunn av eksentrisiteten. Vi har i utgangspunktet en eksentrisitet som er 0.707 som etter hvert reduseres til 0.684 etter 10 oml?p. Vi minner deg om at en sirkel har eksentrisitet lik 0, og h?yere eksentristet betyr en "mer elliptisk bane". Vi ser at eksentrisiteten til romfart?yets bane minker, som stemmer overens med resonnementet over om at vi f?r en mer sirkul?r bane. Vi vil ha en mest mulig sirkul?r bane til senere, n?r vi skal lande p? Casjoh!
• Oml?pstiden til romfart?yet er f?rst rundt 16,2 dager, s? reduseres den til 14,8 dager.  Hm. Dette er et ganske stort avvik p? hele ???????\(7.06\%\)! Dette betyr at romfart?yet beveger seg raskere rundt Casjoh etter 10 oml?p enn i starten. Vi s? at avstanden til planeten holdt seg omtrent konstant, og at farten i radiell retning minker mens den tangentielle er bevart. Dette rimer ikke helt. Dette kan skyldes mange ting, som numeriske usikkerheter eller regnefeil. Det kan ogs? skyldes feilberegninger ved f?rste oml?p, fordi vi ser fra beregningene v?re at oml?pstiden stabiliserer seg rundt 14 dager. Vi g?r derfor ut fra at dette er den sanne oml?pstiden. Til tross for endringene, s? kan dette fortsatt indikere en mer stabil bane, siden oml?pstiden holder seg rundt 14 dager ettersom romfart?yet g?r i bane rundt planeten. Forstyrrelser i oml?pstiden kan ogs? skyldes at romfart?yet blir p?virket av gravitasjonskreftene fra legemene rundt. Radien til Casjoh er 3688,8 km og romfart?yet skal g? i bane over Casjoh med en avstand som er \(l = 0.001\ \text{AU} = 149597.8707 \ \text{km}\). Dette er ganske h?yt over planetoverflaten. For sammenligning s? er ISS 408 km over jordoverflaten og bruker 90 minutter p? ett oml?p om jorden. Romfart?yet v?rt bruker 14 dager p? ett oml?p, men dette kan v?re rimelig p? grunn av den store baneh?yden.
• Apoapsis ble redusert etter vi utf?rte injeksjonsman?veren, og har et h?yt avvik p? ???????\(7.58\%\). Det vil si at den lengste avstanden mellom planeten og romfart?yet minker, som stemme roverens med resonnementene over om at banen blir mer kompakt. Det er en direkte konsekvens av at den store halvaksen reduseres, og at banen blir mer sirkul?r som f?lger av dette.
• Til slutt ser vi p? periapsis. Denne har ?kt og har et avvik fra initialverdien p? ???????\(1.36\%\). Dette betyr at den minste avstanden romfart?yet har til planeten, ?ker. Dette stemmer ogs? med at banen blir mer sirkul?r. Da vil forskjellene mellom apoapsis og periapsis minke (radien i en sirkel er konstant). Dette stemmer alts? overens med det vi har kommet frem til, som er at banne vil stabilisere seg over tid. 

Hva er da konklusjonen?

Avvikene v?re er st?rre enn vi ?nsker oss, men resonnementene v?re holder fremdeles. Vi ser at banen blir mer lik en sirkelbane etter 10 oml?p, men ideelt stett s? burde banne ha holdt seg noks? stabil etter 10 oml?p. I teorien, hvis energien i systemet er perfekt bevart, s? burde banen holdt seg mer stabil over tid enn vi har observert. Her m? vi ta h?yde for numeriske usikkerheter i beregningene v?re, som kan samles opp over tid og f? en stor betydning i lengre tidsperioder. I simuleringen v?r av romfart?yets bane rundt Casjoh, s? har vi brukt en metode hvor energien i stor grad skal v?re bevart. Det kunne ogs? ha hjulpet ? sett p? forskjellige tidssteg og se hvordan dette p?virker resultatene v?re. Det kan hende vi ikke er i perfekt avstand til planeten, som vil f?re til at eksterne krefter tar over, som gravitasjonskraften fra sola, som er veldig sterk.