Hvis noe beveger seg, har det det vi kaller driv (\((p)\) Bevegelsesmengde). Dere har sikkert l?rt at driv er bevart i v?rt univers, men hvorfor er det slik? Det er en f?lge av newtons andre lov: \(F = ma \), den kan nemlig ogs? skrives p? en annen vei, \(F = \frac{dp}{dt}\) alts? krefter er endringen i driv. Videre sier newton i hans tredje lov at alle krefter har en like stor motkraft. Alts? la oss si vi har to objekter, 1 og 2 vil \(F_1 = -F_2\) n?r de dytter p? hverandre. Hvis vi n? igjen setter inn N2L f?r vi \(\frac{dp_1}{dt} = -\frac{dp_2}{dt}\) alts? at drivet til objekt 2 vil endre seg like mye bare i motsatt retning som drivet til objekt 1. Dermed n?r vi ser p? det totale drivet i systemet vil endringene nulle hverandre ut og vi f?r at drivet er bevart.
Bevaringen av driv er et utrolig viktig konsept for all bevegelse, fordi det sier at hvis du skal endre hastigheten din i en retning. Alts? du skal endre drivet ditt, m? du ogs? endre et annet objekt sitt driv like mye. F.eks. n?r du g?r skyver du bakken bakover, eller at en ?re m? skyve vannet for at rob?ten skal g? fremover(se figur 1). Men hva gj?r vi da n?r raketten v?r er i vakuum?
Vi trenger en motor som ikke bare skyver av p? ting rundt oss, men faktisk skyter partikler bakover. For n?r partiklene forlater romskipet vil den ha en driv bakover, dermed siden driv er bevart vil vi f? litt driv fremover. (Se figur 2). Dette er i hvert fall en god m?te ? tenke p? bevegelsen, men for ? virkelig forst? hvordan dette drivet endres m? vi starte ett litt annet sted.
Tenk deg en boks med en klinkekule oppi, la klinkekulen ha mye fart og se hvordan den spretter fra vegg til vegg. N?r den treffer veggen ser du at farten endrer seg, den fartskomponenten som er normal p? veggen snur seg rundt. Det er tydelig at drivet til kulen endrer seg. Grunnen til dette er at n?r kulen treffer veggen s? dytter veggen ballen bort. Men som du vet s? virker det da ogs? en motkraft p? veggen, ballen dytter ogs? veggen. N? forestill deg at denne boksen blir utrolig mye mindre, og denne kulen den blir til et \(H_2 \) molekyl, tenk ogs? at det er ekstremt mange \(H_2 \) molekyler. Alle molekylene beveger seg som kulen og kolliderer med veggene, for grunner jeg kommer til snart kan du tenke at de ikke kolliderer med hverandre. N? siden de er s? sm? vil nesten ikke gravitasjonen virke p? dem s? vi ser bort fra den. I andre ord de g?r helt fritt i boksen. Siden det ikke er noe h?yere sansynlighet at partiklene g?r i en rettnign vil vi se at antallet molekyler som treffer hver av sidene er ganske jevnt. Hver kollisjon p?f?rer en liten kraft p? veggen. N?r man samler alle disse kreftene, f?r man det vi kaller trykket.
Trykket er jevnt i alle retninger, men hva skjer hvis vi ?pner opp en side slik at partiklene kan g? ut derifra? Trykket vil da bli h?yere p? motsatside fra hullet og hele boksen vil akselerere oppover. Dette er kjerne prinsippet i hvordan vi beveger raketten v?r!!
For ? forst? hvor raskt motoren kommer til ? funke m? vi forst? hastighetene p? \(H_2 \)partiklene v?re. Dette kan v?re veldig komplekst, men vi har en tiln?rming vi kan gj?re som hjelper mye. Det er at Hydrogen gassen oppf?rer seg som en ideell gass. En ideell gass er en gass hvor man antar ett par ting:
- At partiklene ikke kolliderer med hverandre
- At partiklene har elastiske st?t med veggene, alts? at b?de kinetisk energi og bevegelsesmengde er bevart.
De fleste gasser oppf?rer seg som en ideell gass s? lenge temperaturen og trykket ikke er utrolig h?yt eller lavt. I v?rt tilfelle vil temperaturen og trykket alltid passe med denne tiln?rmingen.
Vi ?nsker denne tiln?rmingen fordi som sagt i ett tidligere innlegg, i en ideell gass kan vi bruke Maxwell-Boltzmann fordelingene til ? finne sannsynlighetstettheten til farten. Fartskomponentene har jo da en gausisk fordeling. \(\sigma\) kan man utrykke med \(\sqrt\frac{kT}m\). Vi kan raskt tenke oss frem til at \(\mu\) er null. Dette er fordi partiklene kan bevege seg i alle retninger, og det er ingen grunn til at partiklene skal bevege seg mer i en retning. Allikevel blir det feil ? si at forventningsverdien til hastigheten i helhet er 0. Fordi n?r man ser p? hastighet alts? hvor fort det beveger seg, uten ? ta hensyn til retning kan denne verdien ikke v?re negativ. Det er faktisk sv?rt liten sjanse for at partikkelen har akkurat 0 fart. Vi m? derfor bruke Maxwell-Boltzmann fordelingen for ? finne forventningsverdien:
\(\langle v \rangle = \int_{0}^{\infty} 4\pi v^2 (\frac m{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac12\frac{v^2}{kT}} \cdot v\ dv= 4\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}} \)
N? farten i seg selv er spennende, men enda viktigere er den gjennomsnittlige kinetiske energien. Men igjen kan vi bruke metoden forklart i "Den ekte Matten":
\(\langle E \rangle = \langle \frac12 mv^2 \rangle = \int_0^\infty 4\pi v^2 (\frac m{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac12\frac{mv^2}{kT}} \cdot \frac12mv^2\ dv = \frac32 kT\)
Ogs? takket v?re Maxwell-Boltzmann fordelingen til fart kan vi finne trykket i boksen. Man kan utledde det vi kaller trykk integralet:
\(P = \frac n3 \int^∞_0 p v P(p) dp = \frac n3 \int^∞_0 \frac {p^2}m(\frac1{2πmkT})^{3/2}e ^{? \frac 12 \frac {p^2}{mkT}} 4πp^2 dp\)
(Utledningen av dette integralet finner du i Forelesningsnotater 1.a 2025)
L?sningen av dette integralet gir trykk p? \(P = nkT\) der n er antall tettheten alts? \(\frac {antall \: partikler (N)}{Volum(V)}\)
For de spesielt interesserte kan dere klikke her for ? se hvordan ? l?se disse integralene. Hvis ikke kan dere lese videre hvordan vi faktisk kan simulere disse partiklene.