Vinklene til den numeriske og analytiske sammenligningen
Siden de analytiske beregningene ikke er avhengig av tid, men av vinkel, m? vi finne denne vinkelen. Dette er vinkelen mellom siste posisjonsvektor, og x-aksen. Vi kan finne denne vinkelen ved ? ta \(\arctan{\frac{r_y}{r_x}}\), der r er den siste posisjonsvektoren.
Arctan har verdimengde mellom \(\frac {-\pi} 2\) og \(\frac \pi 2\), men vi ?nsker oss vinkler mellom 0 og \(2\pi\), s? vi legger inn litt logikk i funksjonen v?r. Dersom v \(r_x\)> 0, alts? at vinkelen er i 1. eller 4. kvadrant, er alt greit, siden arctan sender vinklene dit. Dersom \(r_x\)< 0, alts? at vinkelen er i 2. eller 3. kvadrant, vil arctan sende 2. til 4. og 3. til 1., s? vi m? rette opp i vinklene. For ? gj?re dette legger vi pi til theta:
N? som vi har vinkelen, m? vi huske at for \(\theta\)= 0, sender det analytiske utrykket til perihel-posisjonen.
Vi kan rette opp i dette ved ? trekke fra perihel-vinkelen, men vi har bare aphel-vinkelen. Heldigvis er disse p? hver sin side av banen, s? vi m? bare trekke fra pi ogs?.
N?r vi har gjort dette, kan vi legge til theta, og vi vil v?re akkurat der vi vil:
vinkelen vi ender opp med til slutt vi da v?re \(\theta - (\pi + \theta_{aph})\)
Totalenergi fra massesenter refferansesystem
For ? utledde et utrykk for energien starter vi med utrykket for totalenergi fra origo som et tilfeldig valgt punkt i rommet:
\(E = T_\star + T_p + U(r)\)
Der \(T_\star, T_p\) er den kinetiske energien til stjernen og planeten hvor hastigheten er i forhold til origo (se figur 3). \(U(r)\) er den potensielle energien til planeten hvor r er er distansen fra planeten til solen. N?r vi skyver til referansepunkt i massesenteret har vi lyst til ? egentlig uttrykke alt med vektoren r mellom de to planetene. S? f?rst uttrykker vi vektorene \(\vec{r_p} \:og \: \vec{r_\star}\) i R (radien fra origo til massesenteret) og r (radien mellom de to punktene alts? \(\vec{r} = \vec{r_p} - \vec{r_\star}\).)
\(\vec{R} = \frac{m_\star \vec{r_\star} +m_p\vec{r_p}}{m_\star + m_p} \implies \vec{R} = \frac{m_\star \vec{r_\star} +m_p(\vec{r_\star} + \vec{r})}{m_\star + m_p} \implies \vec{R} = \frac{m_\star + m_p}{m_\star + m_p} \vec{r_\star} + \frac{m_p}{m_\star + m_p} \vec{r}\implies \vec{r_\star} = \vec{R} - \frac{m_p}{m_\star + m_p}\vec{r}\)videre kommer jeg til ? bruke M for \(m_\star + m_p\).
det er nesten samme utledning for ? vise at \(\vec{r_p} =\vec{ R} + \frac{m_\star}{M}\vec{r}\)
Da har vi ett uttrykk for begge posisjonene utifra de kordinatene jeg bruker fra massesenteret. S? setter jeg meg i massesenteret s? R = 0, ogs? deriverer jeg for ? finne farten s?:
\(\dot {\vec { r_\star}} = 0 - \frac{m_p}{M} \dot {\vec { r}} : \dot {\vec { r_p}} = 0 + \frac{m_\star}{M} \dot {\vec { r}}\)
Siden jeg n? tar skalarproduktet av vektoren med seg selv f?r jeg da ut en skalar s? i resten av utregningen dropper jeg vektor piler, spesfikt er \(v = |\dot{\vec{r}}|\):
Da er \(T_1 + T_2 = \frac12 (m_\star \dot r_\star^2 + m_p\dot r_p^2 )= \frac12 ( m_\star(-\frac{ m_p}{M}\dot r)^2 + m_p(\frac{m_\star}{M}\dot r)^2) = \frac {m_pm_\star\dot r^2}{2M^2}M = \frac 12 \hat\mu\dot r^2 = \frac 12\hat \mu v^2 \)
Siden U(r) allerede avhenger av r kan vi la den forbli det samme. Da f?r vi
\(E = T_p + T_\star + U = \frac 12 \hat\mu v^2 - \frac{Gm_pm_\star}{r} = T_p + T_\star + U = \frac 12 \hat\mu v^2 - \frac{G M\hat\mu}{r}\)
Fourier transformasjon
Fourier transformasjon er fundementalt greit og forst?. Hvis du har en funksjon av en frekvens du ikke vet, ogs? ganger du med en annen harmonisk funksjon hvor du velger seg frekvensen kan man fort overtale seg selv om at n?r frekvensen ikke er den samme blir integrale over produktet 0. Dette er fordi n?r de er ulike vil du finne like mange steder der de har ulikt fortegn som like. Feks. ta i intervallet mellom 0 og 1, ogs? har vi en frekvens p? 1/2 og en p? 1/4. Hvis vi deler opp i fire kvadranter vil den p? en halv frekvens ha fortegn + + - - og den p? 1/4 ha +-+- alts? vil produktet av dem bli + - - +. Men n?r de har samme frekvens vil de jobbe konstruktivt og integralet bli mye st?rre. Siden alle harmoniske funksjoner kan utrykkes med sinus eller cosinus kan vi bruke det n?r vi ganger med en skjent frekvens. N? kan vi bruke ett triks som for ? virkelig forst? m? man ha matte kunnskap litt forbi R2, men ved ? gange med det komplekse tallet \(e^{ift}\) hvor f er frekvensen ganger vi p? en m?te med b?de cosinus og sinus samtidig. Dermed kan vi konstruere funksjonen \(F(f) = \int s(t) e^{ift}dt\). Hvor s(t) er den uskjente funksjonen, kan vi da lage en funksjon som er null i alle verdier hvor frekvensen ikke er lik f. Dette funker ogs? p? sammensatte funskjoner hvor den retunerer verdi p? alle frekvensene. Verdien den returnerer er kompleks, men vi kan ta noe som heter normen som gir oss en reel verdi p? hvor stort tallet er. N? har det seg s?nn at hvor stort dette integralet er varierer ogs? av amplituden, s? det er forhold mellom normen og amplituden.