Del 2
N?r man skal utforske solsystemet (som vi skal), m? man navigere i det. Dette inneb?rer blant annet ? lande p? en annen planet, og da er det en fordel ? vite hvor du skal lande. For ? vite hvor planeten befinner seg, skal vi simulere solsystemet v?rt, og se hvordan planetene i det beveger seg. N?r vi f?rst snakker om andre planeter, er det jo enda en kategori, de som g?r rundt andre stjerner enn v?r egen, alts? eksoplaneter. Siden samfunnet p? planeten v?r pl. kollapset, har vi ikke verkt?yene til ? finne slike planeter som g?r rundt andre stjerner. Vi har derimot f?tt kontakt med noen interesserte p? en annen planet (gjennom ormehullinternettet), som ikke heller ikke har tilgang til teknologien for ? m?le disse planetene. Vi skal derfor lage data for hverandre om hvert v?rt egne (simulerte) solsystem, og sende til hverandre. P? denne m?ten kan vi begge tolke reelle grafer og lignende for slike eksoplaneter.
Planetbanene
For ? sjekke om de simulerte banene er riktige er det nyttige ? sammenligne dem med de teoretiske banene. Men, hvis vi vet de teoretiske banene, hvorfor trenger vi da ? simulere banene? Problemet med de teoretiske banene er at de inkluderer tiden. Det vil si at de ikke kan fortelle oss n?r planetene er p? de ulike stedene. De gir oss kun formen og st?rrelsen p? banen. Men dette kan v?re nyttig, siden vi da kan sammenligne den tidsavhengige simulerte banen, med den teoretiske banen. Den enkleste m?ten ? gj?re dette p? er ? "plotte" de simulerte og teoretiske banene sammen, og se om de er p? samme sted. Et slikt plott si mest om de simulerte banene er s?nn ca. p? riktig sted, og mindre om de sm? avvikene, som kan f? stor betydning. Et eksempel p? en st?rrelse som et slikt plott ikke forteller oss om, er oml?pstidene (tiden det tar ? g? en gang rundt stjerna) i simuleringen. Vi m? alts? teste andre st?rrelser for ? se om detaljene i simuleringen er riktige. I Figur 1.1 er et slikt plott med de simulerte og teoretiske banene. Her ser vi at de simulerte banene er "opp?" de teoretiske, s? dette plottet er et tegn p? at simuleringen er vellykket.
I Figur 1.1 kan man se at avstanden mellom stjerna v?r og planeten v?r (den innerste, planet 0) er ca. 7 AU. Dette kan sammenlignes med jordas avstand til sola, som er (fra definisjonen) 1 AU. I deres solsystem er ikke jorda engang den innerste planeten. Siden v?r innerste planet er ca. 7 ganger s? langt unna stjerna si som jorda, og jorda ikke er innerst, tyder dette p? at v?rt solsystem er mye st?rre enn deres. Videre viser figuren at den ytterste planeten v?r er ca. 80 AU unna stjerna, mens deres ytterste, Neptun, er ca. 30 AU unna sola. Med denne informasjonen er det tydelig at v?rt solsystem er mye st?rre enn deres. Dette kommer vi tilbake til.
Vi kan ogs? se fra Figur 1.1 at de teoretiske og simulerte banene er "opp?" hverandre. Som diskutert over er dette et tegn p? at simuleringen v?r ikke er p? b?rtur. Den er i det minste nogen lunde riktig. Det dette plottet ikke kan fortelle oss er blant annet om planetene er p? riktig sted til riktig tid. Ogs? dette kommer vi tilbake til. Videre er det ogs? andre st?rrelser og likninger, som vi vet hvordan oppf?rer seg i planetbaner (ellipsebaner) som dette Figur 1.1 ikke kan fortelle oss om. Noen av disse skal vi bruke og diskutere under.
Period.
Som sagt kan vi ikke ta simuleringen for god fisk, kun p? bakgrunn av Figur 1.1. Vi m? ogs? teste andre st?rrelser, og se p? deres avvik. En slik st?rrelse man kan teste, og se p? avviket til, er som nevnt perioden. For ? gj?re dette m? vi finne den simulerte og det teoretiske avviket.
For ? finne perioden i simuleringen har vi sjekket hvor lang tid det tar planeten ? komme tilbake til ca. samme sted som den startet. Vi bruker ca. samme sted, siden n?r man simulerer banene gj?r man "hopp" mellom posisjoner. Da kan vi ikke bruke posisjonene som er mellom de vi "hopper" til i simuleringen. Da m? vi velge et stort nok omr?de til at vi vet at planeten vil treffe inni dette n?r den kommer tilbake, og sjekke hvor mye tid som har g?tt da. Ser vi p? Figur 1.1 ser vi at for den tiden vi simulerer for, rekker ikke den ytterste planeten (Planet 5) ? g? en hel runde rundt stjerna v?r. Dermed vil vi ikke kunne regne en periode for denne, med denne metoden.
Den teoretiske perioden kan man finne ved Keplers 3. lov, dersom man vet lengden p? den store halvaksen i ellipsebanen. Denne loven sier at \(P^2 = 4\pi^2a^3/[G(m_*+m_p)]\), der \(P \) er perioden, \(m_*\) er massen til stjerna, \(m_p\) er masse til planeten, \(a\) er store halvakse og G er newtons gravitasjonskonstant. Ved bruk av astronomiske enheter, der \(G = 4\pi^2 AU^3 yr^{-2} M_\odot\) blir Keplers 3. lov \(P^2 = a^3/(m_*+m_p)\). Merk at her har vi sett vekk fra enhetene for at likningen skal se penere ut. Egentlig ville ligningen v?rt \(P^2 = a^3/(m_*+m_p) \hspace{1mm} AU^{-3} yr^{2} M_\odot^{-1}\). Perioden vil da v?re gitt ved \(P = \sqrt{a^3/(m_*+m_p)}\). I astronomiske enheter er lengder m?lt i \(AU\) (astronomisk enhet) som er gjennomsnittsavstanden mellom jorda og sola, tid er m?lt i \(yr\) (jord-?r), og masse er m?lt i solmassen \(M_\odot\). Men hvordan skal vi m?le avviket i perioden?
Det er to hovedtyper avvik: absolutt og relativt avvik. Det absolutte avviket ser p? hvor stor avstand det er mellom m?linger, eller en m?ling og den teoretiske verdien, for en st?rrelse. Avstanden mellom to tall \(a\) og \(b\) er definert som \(|a-b|\), s? vi tar utgangspunkt i dette for regne den absolutte usikkerheten mellom simuleringen og den teoretiske verdien. Den absolutte usikkerheten blir da \(|x_s-x_t|\), for en st?rrelse \(x\), der \(x_s\) er verdien fra simuleringen og \(x_t\) er den teoretiske verdien. Men denne absolutte usikkerheten kan v?re litt villedende. For eksempel kan et absolutt avvik p? \(0.1\) m v?re en ekstremt n?yaktig m?ling, eller en un?yaktig m?ling. Er det snakk om ? m?le jordradien er dette avviket sv?rt lavt, mens for en m?ling av st?rrelsen p? et atom er det ekstremt h?yt. L?sningen p? dette er ? bruke det relative avviket, som gir oss avviket i forhold til hvor stor den teoretiske verdien er. Her er det snakk om forholdet mellom det absolutte avviket, og den teoretiske st?rrelsen. Siden et forhold er en br?k blir formelen her \(|x_s-x_t|/x_t\). Dette vil gi oss den relative usikkerheten som et desimaltall, og s? kan man, om ?nskelig, regne dette om til prosent.
De relative avvikene for simuleringen av banene er presentert i Tabell 1.
| Planetnummer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Relativt avvik | 0.016% | 0.012% | 0.012% | 0.0057% | 0.0094% | - | 0.065% | 0.0029% |
N?r vi bruker relativt avvik skal vi stort sett forholde oss til at avvik under 1% er gode. Er det mye mindre enn dette, er det sv?rt bra. De relative avvikene i Tabell 1 tyder da p? en at simuleringen v?r er god. Her er det st?rste relative avviket 0.065%, som er mange ganger mindre enn 1%. Vi anser disse da som gode avvik, som tyder p? at simuleringen v?r er n?yaktig. I Tabell 1 har ikke planet 5 noe relativt avvik, siden vi ikke har m?lt perioden, da den ikke n?dde en runde rundt stjerna v?r i l?pet av simuleringen.
Newton vs. Kepler (Keplers 3. lov)
Vi kan ogs? bruke den simulerte perioden til ? teste simuleringen ved ? bruke Keplers 3. lov med lengden p? den store halvaksen fra simuleringen. Over fant vi den teoretiske perioden ved den teoretiske store halvaksen. Her ?nsker vi ? teste om det er samsvar mellom de simulerte verdiene i Keplers 3. lov. For ? gj?re dette finner vi det relative avviket mellom h?yre og venstre side i loven, alts? \(P^2\) og \(a^3/(m_*+m_p)\), (med astronomiske enheter). Over er det beskrevet hvordan vi fant P. Den store halvaksen i en ellipse er halvparten av summen av perihelion og aphelion. Ved ? sette de simulerte utrykkene for P og a inn i Keplers 3. lov kan vi finne det relative avviket mellom h?yre- og venstresiden av likningen. Disse avvikene presenteres i Tabell 2.
| Planetnummer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Relativt avvik | 0.30% | 0.10% | 0.047% | 0.017% | 0.031% | - | 0.13% | 0.0081% |
Fra Tabell 2 ser vi litt varierende grad av n?yaktighet, der noen avvik er litt mindre enn 1%, og noen andre er sv?rt sm?. Dette kan vise oss at simuleringen v?r er mer n?yaktig for planet 2-4 og 7, enn for planet 0, 1 og 6. Disse avvikene er ikke d?rlige, men viser hvilke planeter simuleringen ikke er like god for. Legge merke til at ogs? her har vi ingen verdi for planet 5, siden vi har en simulert periode for den
Keplers 3. lov som presenteres over, er Newtons reviderte versjon. Men Kepler hadde ogs? en egen versjon, som han fant ved ? studere planetbanene i solsystemet deres. Denne er \(P^2 = a^3\). Bruker vi denne for ? teste planetbanene, f?r vi resultatene i tabell 3.
| Planetnummer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Relativt avvik | 316% | 315% | 315% | 314% | 315% | - | 314% | 314% |
Vi ser at disse avvikene er sv?rt store, flere hundre prosent, som tyder p? at denne loven ikke gjelder i v?rt tilfelle. Kepler fant loven sin med utgangspunkt i solsystemet deres, og den gjelder faktisk kun for det solsystemet. S? n?r vi bruker den p? v?rt solsystem g?r det galt. Sammenhengen mellom Keplers og Newtons versjon kommer av at massen til sola er 1 solmasse (etter definisjonen). \((m_*+m_p) \approx m_*\) siden planetmassen er s? liten i forhold til stjernemassen. Kombinerer vi dette med at \(m_* = 1 M_\odot\) for sola, blir newtons versjon \(P^2=a^3/(m_*+m_p)=a^3/m_*=a^3/(1M_\odot) = a^3\). Alts? har vi \(P^2=a^3\) der vi ignorerer at enhetene er litt rare. Vi kunne skrevet likningen med alle enhetene, men det hadde blitt stygt ? se p?. I andre solsystemer der \(m_* \ne 1 M_\odot\), vil ikke Keplers versjon fungere.
Posisjoner
Vi har n? sett at banene er p? ca. riktig sted og periodene er rimelig n?yaktige. Men vi vet ikke i hvilken grad avstanden fra stjerna er riktig (annet enn at den ikke er helt feil). I starten av simuleringen vil posisjonen v?re riktig, siden vi bruker den teoretiske startposisjonen for ? starte simuleringen. Men hva med sluttposisjonen? Avviket mellom den teoretiske og simulerte sluttposisjonen kan si oss noe om hvor store avvik det er snakk om. Her bruker vi avstanden fra stjerna v?r som posisjon (og ikke x og y). Dette avviket finner du Tabell 4.
| Planetnummer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Relativt avvik | 0.17% | 0.056% | 0.017% | 0.0030% | 0.0075% | 0.00089% | 0.14% | 0.0029% |
Vi ser p? disse avvikene at de stort sett er sv?rt sm?, og at de er st?rst for planet 0 og 6. Vi ser igjen at simulering er minst n?yaktig for disse planetene, noe vi ogs? s? med Keplers 3. lov. Videre ser vi ogs? at planet 2 sitt avvik er tred st?rst. Denne planetens bane s? vi ogs? tidligere at avviket mer enn de andre (for Keplers 3. lov). Vi ser dermed at planetbanene er rimelig n?yaktige, der noen fremst?r bedre enn de andre.
Det kan hende at avviket i posisjonen varierer med hvor i ellipsen vi er, s? avviket i sluttposisjonen vil ikke n?dvendigvis v?re et godt m?l p? avviket, men det gir oss en pekepinn p? avviket. Vi kan plotte det relative avviket i avstanden til stjerna over tid, for ? se hvordan avviket utvikler seg.
Fra Figur 1.2 ser vi igjen at det relative avviket er st?rst for planet 0, 1 og 6. Som nevnt tyder dette p? at simuleringen er minst n?yaktig for disse planetene. Det at avviket vokser over tid, kan forklares med at hver iterasjon kommer med en usikkerhet, s? disse "stables" opp? hverandre. Dette er dersom usikkerhetene ikke kanselerer hverandre, noe Figur 1.2 tyder p?, siden avviket vokser. At grafene i Figur 1.2 "b?lger", alts? at hvor mye avviket vokser varierer periodisk, tyder p? at avviket vokser mer i noen deler av simuleringen enn andre. Dette er trolig en regelmessig variasjon p? de samme stedene i hvert oml?p. For ? se om dette er en rimelig konklusjon kan vi bruke planetperiodene, og se om variasjonene er periodisk, med denne perioden. Planetperiodene finner du i Tabell 5.
| Planetnummer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simulert periode | 9.43 yr | 16.4 yr | 29.8 yr | 72.3 yr | 44.1 yr | - | 182 yr | 109 yr |
I Figur 1.2 er den tydeligste variasjonen i veksten til planet 0 sitt avvik (siden denne stiger brattest). Vi ser at denne trolig starter, ved \(t = 0\) yr, som tiln?rmet flat. Deretter blir den brattere, og flater s? ut igjen. Dersom denne variasjonen er periodisk med baneperioden til planeten v?r, vil tiden der den flater ut igjen v?re oml?pstiden til planeten (perioden). Ser vi ca. p? midten av der planeten flater ut for f?rste gang, og ser ned p? tidsaksen, ser vi dette er litt f?r vi er n?dd halvveis til 25 yr. Den faktiske t-verdien det er snakk om er trolig ca. lik perioden 9.43 yr (fra Tabell 5), da dette er litt mindre enn halvparten av 25 yr. Gj?r vi det samme for planet 1, kan vi se at det er ca. etter 16.4 yr at grafen flater seg ut, som er perioden til planet 1 fra Tabell 5. Det samme gjelder planet 2. Dette tyder p? at avviket vokser periodisk med oml?pstiden som periode. For de andre planetene er det vanskeligere ? se ut ifra Figur 1.2, men det virker rimelig at det samme gjelder disse planetene.
N?r man ser p? figur 1.2 er det en graf som virker til ? oppf?re seg litt annerledes enn de andre, den for planet 6. Vi har fra andre tester sett at avviket til denne er av de st?rre, s? at den er litt h?y i forhold til de andre er ikke s? rart. Det som er rart er at den er (tiln?rmet) konstant, og ikke starter i 0 relativt avvik. Dette er problemer vi ikke helt klarer ? forklare, men det viser seg at dette ikke er det st?rste problemet v?rt.
Kepler's redemption
Videre kan vi ogs? bruke enda en av Keplers lover, nemlig den 2., til ? teste simuleringen v?r. Denne sier arealet planeten utspenner over et tidsintervall \(t\) er likt for alle deler av banen. Med det utspente arealet menes arealet til den delen av ellipsen som er mellom posisjonsvektoren ved start- og sluttiden. For ? sjekke om Keplers 2. lov gjelder (tiln?rmet) for simuleringen v?r, skal vi finne det utspente arealet over et tidsintervall \(t\) b?de n?r planetene er ved perihelion og aphelion, og sammenligne disse arealene. Vi velger vilk?rlig en av gangene planetene er ved perihelion, og en av gangene planetene er ved aphelion, og sammeligner arealet. N?r vi velger vilk?rlig trenger ikke arealene ved peri- og aphelion n?dvendigvis ? v?re fra samme oml?p. Dette gj?r vi b?de siden det er betydelig enklere ? hente ut èn vilk?rlig gang planetene er n?r helion-ene, enn ? skulle spesifisere hvilket oml?p. Hvis simuleringen er god b?r ikke dette v?re et problem, siden det utspente arealet skal v?re likt for alle starttider p? tidsintervallet. Dersom vi f?r lave avvik her vil dette da tydde p? at simuleringen er god. For ? finne disse arealene kan vi legge sammen mange sm? arealer som til sammen utgj?r det riktige arealet. Tiln?rmer vi disse sm? arealene med en trekant, f?r de arealet \(\Delta A = \frac{1}{2} rv\Delta t\). Her er \(r\) avstanden mellom planeten og stjerna, og er tiln?rmet lik h?yden i trekanten (siden den er veldig tynn). \(v\) er planetfarten, og \(\Delta t\) er tidssteget brukt i simuleringen, der \(v\Delta t\) er grunnlinjen i trekanten. Ved ? summere opp alle disse delarealene kan vi tiln?rme arealet planeten utspenner i l?pet av intervallet \(t\).
| Planetnummer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Relativt avvik | 0.058% | 0.0011% | 0.00073% | 0.014% | 0.0037% | 0.068% | 0.043% | 0.23% |
Ogs? fra Tabell 6 ser vi at avvikene er sm?, der noen planeter har st?rre avvik enn de andre. Her er det ikke slik at de planetene som avviket mer i testene over, avviker mye i forhold til de andre. Vi kan dermed si at disse avvikene tyder p? at simuleringen er god.
I perihelion er planeten n?rmest stjerna og dermed m? avstanden den reiser i tidsintervallet for arealberegningen v?re st?rre enn for aphelion, for at arealene skal bli det samme. Da er interessant ? se dette gjelder for arealberegningene. Avstanden planeten reiser i l?pet av arealberegningene, for b?de beregningen ved ap- og perihelion, er presentert i Tabell 7.
| Planetnummer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Aphelion | 2.36 AU | 1.98 AU | 1.62 AU | 1.16 AU | 1.39 AU | 0.656 AU | 0.864 AU | 0.975 AU |
| Perihelion | 2.36 AU | 1.99 AU | 1.63 AU | 1.27 AU | 1.39 AU | 0.661 AU | 0.893 AU | 1.10 AU |
Vi ser fra Tabell 7 at den reiste avstanden konsekvent er lik eller st?rre for perihelion. Hvis de er like vil de nok ha v?rt litt st?rre for aphelion i utregningen, mens forskjellen ble avrundet vekk. Hvor stor forskjellen mellom avstanden reist ved ap- og perihelion vil avhenge av hvor forskjellig fra en sirkel planetbanen er. Er de sv?rt like en sirkel vil planeten reise ca. like langt p? begge steder, mens de som er mindre sirkul?re vil f?re til en st?rre forskjell. Dette kan vi knytte til at avstanden til stjerna i banene har st?rre forskjell for de mindre sirkul?re banene.
Vi kan ogs? se p? farten til planetene i ap- og perihelion (se Tabell 8).
| Planetnummer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Aphelion | 4.71 AU/yr | 3.95 AU/yr | 3.24 AU/yr | 2.31 AU/yr | 2.78 AU/yr | 1.31 AU/yr | 1.73 AU/yr | 1.95 AU/yr |
| Perihelion | 4.72 AU/yr | 3.98 AU/yr | 3.27 AU/yr | 2.53 AU/yr | 2.78 AU/yr | 1.32 AU/yr | 1.79 AU/yr | 2.19 AU/yr |
I Tabell 8 ser vi samme trend som for Tabell 7, nemlig av perihelion-veridene er st?rre enn eller lik aphelion-verdiene. Dette kommer av at avstanden som reises i l?pet av et tidsintervall, avhenger av farten til planetene. Vi kan ogs? forklare det med at farten er st?rre i perihelion grunnet at mer av energien er kinetisk energi, siden den potensielle energien er lavere for mindre avstand til stjerna.
Spinn
Spinn forteller oss noe om den tangetielle farten i forhold til posisjonen. Spesifikt er spinnet til planetene lik \(m_pr^2\theta '(t) = m_prv_t\), der \(\theta \) er vinkelen mellom posisjonen til planeten og x-aksen, og \(v_t\) er den tangentielle farten til planeten. Denne st?rrelsen skal v?re bevart i bevegelsen (banene). For ? forst? at bevaringen gir mening, kan vi tenke oss hvordan \(r\) og \(v_t\) varierer med tiden. N?r avtsanden \(r\) til sola blir mindre vil farten ?ke, og dermed vil \(v_t\) ?ke. Farten ?ker siden den potensielle energien blir lavere, og dermed m? den kinetiske bli h?yere. Hvis \(r\) minker og \(v_t\) ?ker p? riktig m?te vil de kanselere hverandres endring, og spinnet er bevart. Det er akkurat dette som skjer. Siden planetmassene er konstante vil ogs? spinnet delt p? massen, \(h = rv_t\), v?re bevart. For ? se om simuleringen v?r er god, kan vi se om avviket mellom de simulerte og den teoretiske \(h\) er lite.
Fra Figur 1.3 ser vi igjen trenden om at planet 0 og 1 har et st?rre avvik enn de andre planetene. Dette forsterker teorien om at simuleringen er mindre n?yaktig for disse planetene. Det st?rste avviket er p? litt over 0.08%, som er et lavt avvik. Det tyder p? at simuleringen v?r er en god modell for planetbanene.
Konklusjon
Som vi n? har sett p? ved flere tester, virker de simulerte banene sv?rt n?yaktige. Det skal sies at det viktigste ? se p? er det relative avviket mellom den teoretiske og simulerte avstanden til stjerna v?r. Dette ser vi jo i Figur 1.2. Her fant vi at det st?rste avviket i posisjonen bare var noen promille. Dette var p? slutten av simuleringen for planet 0, alts? den innerste planeten, planeten v?r. De andre planetene har stort sett mindre avvik enn dette, der noen av dem svinger opp og ned. Man skulle da tro at simuleringen v?r er sv?rt god. Det viser seg allikevel er noe manglende.
P? hjemplaneten v?r fant vi en gammel modul (fra f?r samfunnet v?rt kollapset), som kan verifisere om simulerte planetbaner er gode. I denne er kravet ? ha mindre enn 1% avvik i det st?rste posisjonsavviket. Denne modulen har de riktige planetposisjonene allerede liggende inne, og bruker disse til ? teste simuleringen v?r. Det er en grunnleggende forskjell i hvordan vi og modulen tester avvik i posisjon. Vi tester det som nevnt ved ? sjekke om avstanden til stjerna v?r er n?r den teoretiske avstanden, der vi regner den teoretiske avstanden med vinkelen vi finner i simuleringen. Denne vinkelen vil ha et avvik fra de teoretiske posisjonene som modulen bruker til ? teste posisjonene. Modulen tester dem ved ? finne vektoren mellom v?re simulerte posisjoner, og dens teoretiske posisjoner. Den bruker s? denne avstanden. Vi m?ler alts? bare om avstanden til sola er rimelig, mens modulen sjekker om forskjellen mellom de simulerte og de faktisk teoretiske posisjonene er liten nok.
N?r vi bruker denne modulen finner den at vi har et for stort avvik (p? rundt 12%), for den innerste planeten (planet 0), som st?rste avvik. Den foresl?r da at vi minker tidssteget v?rt \(\Delta t\). Da oppst?r det et problem, vi kan ikke minke \(\Delta t\). Dette kommer av at array-ene vi bruker i simuleringen for ? lagre posisjonene og de andre dataene, blir for store, og PC-en klarer ikke ? takle st?rrelsen p? dem. Grunnen til at dette skjer er trolig at solsystemet v?rt er sv?rt stort. Vi nevnte dette i sammenheng med figur 1.1. Der s? vi at den innerste planeten er ca. 7 AU unna stjernen v?r, som er mye lengre unna enn deres innerste planet i deres solsystem (som er en del mindre enn 1 AU fra sola). Vi s? ogs? at v?r ytterste planet er mye lengre unna enn deres. Vi skulle simulere planetbanene i en tid som svarte til 20 oml?p av v?r egen planet. Dette svarte til ca. 188 jord?r. Skulle dere p? jorda ha samme krav (20 oml?p av jorda) ville det v?rt 20 jord?r som totaltid. Siden solsystemet v?rt er s? stort tar array-ene mye mer plass. Det er da ikke mulig for oss ? minke \(\Delta t\) for ? gj?re simuleringen n?yaktig nok.
Vi ser igjen at det er planet 0 som avviker mest i testen til denne modulen. Dette st?tter hypotesen v?r om at det er planet 1 simuleringen er minst n?yaktig for. Det kan godt hende at det samme gjelder planet 1, men modulen gir oss kun det st?rste avviket. Vi s? jo i v?re tester at planet 1 hadde noen av de st?rre avvikene. Men hvorfor ser vi de st?rste avvikene for de innerste planetene? Som vi s? i Tabell 8, har de innerste planetene st?rre fart enn de ytterste. Dette betyr at de vil flyttes lengre for hvert tidssteg \(\Delta t\), og dermed trolig kommer lengre vekk fra den faktiske teoretiske banen i hver iterasjon.
Heldigvis har vi funnet databasen denne modulen bruker. Det krevde litt, da vi har lite kunnskap om de gamle systemene fra planetens falne samfunn. Teknologien vi bruker n?, er det vi har funnet av gammel fungerende teknologi. Dette gjelder PC-en vi simulerer p?, og alle databaser og modulen beskrevet over. Siden samfunnet er kollapset er det ingen industri som n? produserer tech. Denne databasen kan vi bruke til ? vite hvor planetene faktisk er, slik at problemene med simuleringen ikke hindrer oss i ? fortsette romferden.
Stjernebane
Det er vanskelig ? se eksoplaneter, de er langt unna og lyser ikke mye, s?rlig sammenlignet med stjerna de typisk g?r i bane rundt. Men det er takket v?re stjerna vi kan m?le dem, ved ? se p? lyset fra stjerna, og hvordan den beveger seg, kan vi estimere eksoplanetens radius og masse.
Vi starter med ? se p? hvordan stjerna beveger seg,
Vi ser tydelig av den ?vre grafen at stjernen beveger seg i det som ser ut som en sirkelbane, og hvis man ser p? aksene ser man at den er relativt liten. N? er aksene i astronomiske enheter, s? radiusen er forstsatt ca 7% av avstanden mellom jorda og sola, s? det er jo m?lbart (med riktig utstyr selvf?lgelig). Men hvis vi g?r over p? den nedre grafen, viser den oss avstand mellom stjerna og planeten, og den er rundt 50 astronomiske enheter. Dermed ser vi at planet 6 er nesten hundre ganger lenger unna massesenteret enn stjerna. Vi ser ogs? at den nedre grafen har en b?lgeform, noe som tyder p? at banen er eliptisk, men ser vi n?yere p? aksene er variasjonen relativt liten.
Figur 2.1 viser faktisk bare hvordan stjerna hadde beveget seg hvis det kun var den og planet 6 som eksisterte. Men sier dette oss noe som helst? Det er jo mange andre planeter som ogs? vil p?virke stjerna, hvorfor ser vi p? dette hypotetiske universet hvor det kun finnes to ting? Grunnen til at vi gj?r dette, er rett ? slett at dette hypotetiske universet ikke er s? langt fra virkeligheten som man skulle tro. Jeg sier ikke at det ikke eksisterer andre planeter, men ettersom planet 6 er den st?rste planeten i stjernesystemet v?rt, og den er relativt n?rme (i astronomisk kontekst), har de andre planetene lite ? si for hvordan stjerna beveger seg. Senere skal vi inkludere alle planetene, og da kan man se at det ikke er s? stor effekt.
Men det er ikke slik en observat?r utenfor stjernesystemet v?rt vil se bevegelsen til stjerna, de vil kun kunne se hvordan den beveger seg i forhold til dem. Dette blir typisk uttrykt med en fartskurve. Fartskurven til v?r stjerne, for noen som ser p? stjernesystemet v?rt fra en viss retning, og som beveger seg en viss hastighet relativt til massesenteret i stjernesystemet v?rt.
Den oransje kurven er det ideelle tilfellet, hvor ingenting fortsyrrer m?lingene og alle m?lingene er helt n?yaktige. Men ettersom det er mye rot og un?yaktigheter i universet vi lever i blir fartskurver ofte seenes mer ut som den bl? kurven. Uansett ser vi at stjerna v?r beveger seg vekk, men med noe varierende hastighet. Dette stemmer overens med at massesenteret til stjernesystemet v?rt beveger seg vekk med konstant fart, og at stjerna beveger seg rundt massesenteret. For vi ser at det blir en b?lge, selve b?lgebevegelsen kommer av at stjerna g?r i en ellipsebane, for den vil hele tiden veksle mellom ? g? mot deg, og ? g? fra deg. Og siden bevegelsen til massesenteret er det samme for hele banen til stjerna, blir dette likevektslinja. Igjen er dette begrenset i at vi kun har én planet, og st?yen er kunstig. Men med samme argument som i stad har planet 6 mest ? si, og den kunstige st?yen er fra en normalfordeling, som antagelig er det beste vi f?r til i et s? generelt eksempel.
Utifra fartskurven, kan man estimere massen til eksoplaneten, men man m? se p? lyskurven, for ? finne ut noe om st?rrelsen p? den. Lyskurven til planet 6 i v?rt stjernesytem ser slik ut, for de samme observat?rene som med fartskurven.
Denne grafen sier ikke noe om hvor mye lys observat?rene mottar, kun hvordan den endrer seg. 1 p? y-aksen tilsvarer at alt lyset man vanligvis mottar, blir motatt. Vi ser tydelig n?r planeten er foran stjerna, da noe av lyset blir blokkert, men man m? v?re obs p? aksene er, fordi st?rrelsene er ikke store. For selv om planet 6 er stor for planet ? v?re, klarer den bare ? blokkere ca 0.3% av lyset fra stjerna, og kun i ca en hundredels ?r. Men dette gir mening med tanke p? st?rrelsene vi jobber med, stjerner er bare s? mye st?rre. Og n?r man er s?pass langt unna m? planeten v?re ganske akkurat mellom stjerna og obsrvat?ren, s? det tar ikke langt tid f?r den har beveget seg bort igjen.
Hvis vi ser n?yere p? grafen, der hvor den endrer seg mest:
Disse er de begge fra den samme grafen i figur 2.3, men fokusert inn p? den tydelige ned- og oppgangen. Og disse tilsvarer at planeten beveger seg foran stjerna og begynner ? blokkere den. Tiden det tar ? endre grafen vil dermed tilsvare tiden det tar n?r planeten er p? vei til ? blokkere for stjerna, og dette kan vi bruke dette til ? regne ut radiusen til planeten n?r vi har farten dens. Og det er blant annet disse metodene, lys- og fartskurve, man bruker til ? identifisere eksoplaneter. Noe vi skal pr?ve oss p? etterhvert, men f?rst m? vi vurdere om disse grafene vi lagde er realistiske.
Siden det ville tatt veldig lang tid ? dra utenfor stjernesysteme v?rt, for ? ta disse m?lingene, er dette isteden tall fra en modell vi har lagd. Men hvordan vet vi at dette er i det heletatt i n?rheten av virkeligheten? Jo, vi m? se p? noen tall. For hvis modellen v?r er realistisk m? den stemme med fysikkens lover, s? hvis vi sammenligner v?r numeriske modell med ulike analytisk beregnede verdier, vil vi forvente at de er nesten like. De skarp?yde av dere s? kanskje at nedre graf i figur 2.1 egentlig var to grafer, her er den ene (den bl?) hentet fra v?r numeriske modell, mens den oransje er basert p? analytiske utregninger. Og vi ser at de nesten ligger opp? hverandre, dette er et godt tegn, men det er ingen garanti for at modellen er god.
Noe annet vi kan sammenligne er bevarte verdier, for eksempel energi. For som dere vet kan ikke energi bli skapt eller ?delagt, s? hvis vi ser p? hele universet (som for modellen er stjerna og planeten) vil mengden energi v?re konstant.
Her (figur 2.6) ser vi i ?vre graf energien til modellen (bl?) sammen med den analytiske energien (oransje). Men det her ser jo ikke bra ut, den bl? varierer jo kjempemye! Heldigvis er dette det vi forventet, den numeriske verdien varierer, men den holder seg p? samme gjennomsnitt, s? over tid vil energien holde seg i det samme omr?det. Dermed vil bevegelsen holde seg realistisk. B?lgebevegelsen er en konsekvens av en av regnemetoden vi brukte i modellen, spesifikt leapfrog-integrasjon.
Men det finnes andre bevarte st?rrelser enn energi, deriblant spinn. Som, for de som ikke vet, er spinn omtrent en m?ling p? hvor mye bevegelsesmengde noe som beveger seg i en sirkel har. Men n?r spinn og masse er bevart, s? vil ogs? vi vil kalle masel?st spinn, symbol h, v?re bevart. Her er hvordan det ser ut for modellen v?r:
Her ser vi at h gradvis ?ker, som jo ikke er realistisk, men ettersom avviket er s? lite, over 0.005 over 250 ?r, satser vi p? at den er realistisk for v?re form?l, siden 250 ?r jo er lenge.
Eksoplanet
Vi skal n? se p? data vi har fra et annet stjernesystem, ogs? skal vi se om vi klarer ? finne ut hva slags planet eller planeter de har.
Vi starter med fartskurven:
.png)
Her var det mye st?y, men vi ser at det er en tydelig b?lgefasong, som tyder p? at det er planeter som g?r i bane rundt denne stjerna, men vi ser ogs? at b?lgen ikke beveger seg rundt null. La oss starte med ? finne hvor fort stjernesystemet som helhet beveger seg, vi m? alts? finne likevektslinja til b?lgen. Dette gj?r vi ved ? ta snittet av ekstremalpunktene, men vi m? ogs? passe p? ? kompensere for st?y. Hvis vi ser p? den f?rste b?lgetoppen, rundt 10 ?r, hvilken verdi skal vi lese av her? Vi kunne tatt den st?rste verdien i omr?det, s? 0.118 AU/yr ca., men her kan det ha v?re st?y som gj?r m?lingen h?yere enn den skal v?re. Det vi vil ha er toppunktet til den faktiske b?lgen, uten alt st?yet, og den ligger ett eller annet sted inni den tjukke b?lgen vi ser. S? hvordan finner vi den? Vi kan antagelig anta at st?yet ogs? her er normalfordelt rundt den faktiske verdien (det finnes veldig mange ting som er normalfordelt). Dermed vil den faktiske verdien v?re i gjennomsnittet av de verdiene vi ser i grafen! S? hvis vi tar gjennomsnittet av den st?rste og minste verdien rundt b?lgetoppen vil vi antagelig f? et ganske godt estimat for den faktsike b?lgetoppen. S? hvis den st?rste verdien var 0.118 AU/yr, og den minste er p? 0.100 AU/yr, f?r vi: \(\frac{0.118 AU/yr +0.100 AU/yr}{2}=0.109 AU/yr\) Hvis vi s? gj?r dette for de andre b?lgetoppene og -bunnene har vi: \(\frac{0.105 AU/yr +0.090 AU/yr }{2}=0.0975 AU/yr\) for den f?rste b?lgunnen, \(\frac{0.119 AU/yr + 0.101 AU/yr}{2}=0.110 AU/yr\) for den andre b?lgetoppen, og \(\frac{0.104 AU/yr +0.089 AU/yr }{2}=0.0965 AU/yr\) for den andre b?lgebunnen. Hvis vi s? tar gjennomsnittet av alle disse: \(\frac{0.109 AU/yr +0.0975 AU/yr + 0.110 AU/yr +0.0965 AU/yr }{4}=0.1035 AU/yr\) som da blir likevektlinja v?r
N?r vi skal finne massen skal vi bruke denne formelen \(m_p \sin{i}=\frac{m_*^\frac{2}{3} v_{* r} T^\frac{1}{3}}{(2 \pi \gamma)^\frac{1}{3}}\), Hvor T er perioden til stjerna, neten, \(\gamma\) er newtons gravitasjonskonstant, \(m_*\) er massen til stjerna, \(m_p\) er massen til planeten, i er inklinasjonen, alts? vinkelen mellom oss og planet planetene beveger seg i, og \(v_{*r}\) er den radielle hastigheten til stjerna, alts? hvor fort den beveger seg mot eller fra oss, hvis massesenteret sto stille relativt til oss. Utledningen for denne formelen er litt lang, s? jeg skal ikke g? inn p? den her.
Perioden og den radielle hastigheten kan vi lese av fartskurven, men hva med stjernemassen? Den m? man finne med andre metoder, hovedsaklig med ? se p? lyset den sender ut. Og hva med inklinasjonen, hvordan finner vi den? Inklinasjonen er desverre veldig vanskelig ? finne, men alt den gj?r er ? gange massen med en faktor mellom 0 og 1, s? hvis vi antar en inklinasjon p? \(90^\circ\) f?r vi en nedre grense for massen til planeten.
Stjerna vi ser p? har en masse p? \(m_*=2.357072922887306 m_{sol}\) (\(m_{sol}\) er solmasser), s? hvis vi leser av grafen, ser vi at avstanden mellom toppunktene og bunnpunktene er omtrent 32 ?r. Den radielle hastigheten finner vi ved ? se p? n?r stjerna bare beveger seg mot oss, alts? i topp- punktet, som vi fant n?r vi skulle finne likevektslinja. Det eneste er at man m? trekke fra likevektslinja for ? f? den faktiske radielle hastigheten: \(v_{*r}=0.1095 AU/yr - 0.1035 AU/yr=0.0060 AU/yr\) (jeg tok gjennomsnitt av farten i toppunktene) Putter vi dette inn i formelen f?r vi: \(m_{p min}=\frac{m_*^\frac{2}{3} v_{* r} T^\frac{1}{3}} {(2 \pi \gamma)^\frac{1}{3}}= \frac{(2.357072922887306 m_{sol})^\frac{2}{3} 0.0060 AU/yr (32yr)^\frac{1}{3}} {(2 \pi \cdot 4 \pi^2 )^\frac{1}{3}}=5.369535534 \cdot 10^{-3 } m_{sol}\)
Vi har f?tt kontakt med noen som bor i det stjernesystemet vi unders?ker, og de rapporterer at massen p? den planeten vi s? var...
Vi skal n? pr?ve ? finne radiusen p? planeten, ved ? analysere lyskurven.
.png)
Det vi her m? se p? er hvor lang tid det tar fra form?rkningen begynner til den slutter, det er ikke s? lett ? se, men jeg fikk det til ? bli \(1.88845yr-1.88840yr=0.00005yr\) n?r kurven synker. Vi har s? denne formelen \(2R_p=(v_p+v_*)\Delta t\) hvor \(R_p\) er radiusen til planeten, \(v_*\) er farten til stjerna, \(v_p\) er farten til planeten, og \(\Delta t\) er tiden det tar kurven ? synke. Det denne formelen egentlig sier er at det tar \(\Delta t\) for planeten ? bevege seg diameteren sin relativt til stjerna. Og da ser du kanskje at denne formelen gir mening. Men vi mangler en av st?rrelsene nemlig \(v_p\), heldigvis kan vi finne den ved: \(v_p=v_* \frac{m_*}{m_p}\) Dermed har vi, ved hjelp av lys og fartskurven alle st?rrelsene vi trenger: \(2R_p=(v_p+v_*)\Delta t= \left( \frac{m_*}{m_p}+1 \right) v_* \Delta t= \left( \frac{2.3570729228873 m_{sol}}{5.369535534 \cdot 10^{-3 } m_{sol}}+1 \right) 0.006 AU/yr \cdot 0.0005 yr\)
\(=4.316914419 \cdot 10^{-6} AU= 197456.3866 km\), s? radiusen blir \(R_p= 98728.1933 km\), den faktiske radiusen er n?rmere 113000km, men det er ikke s? verst.
N? som vi har radius og masse, kan vi regne ut den gjennomsnitlige tettheten til planeten. Som er gitt ved \(\rho_p= \frac{m_p}{V_p}= \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_p^3}= \frac{5.369535534 \cdot 10^{-3 } m_{sol}}{\frac{4}{3} \pi (89728.1933km)^3}= \frac{1.068054313 \cdot 10^{28}kg}{\frac{4}{3} \pi (89728193.3m)^3}=3529.53879 kg/m^3\)
En s? h?y tetthet er typisk for steinplaneter, men de pleier ikke ? ha s? stor radius. Riktignok fikk vi noe lavere radius enn den faktiske verdien, og n?r den er opph?yd i tredje har det stor innvirkning p? tettheten, s? antagelig er dette en stor gassplanet.
Men er det ingen andre planeter i dette andre systemet? Jo, antagelig, vi har nemlig f?tt en mer detaljert graf, hvor det forh?pentligvis er mulig ? se at det er flere planeter som p?virker stjerna.
.png)
Den ser ikke s? veldig annerledes ut, s? antagelig er den planeten vi unders? npkte den st?rste i sitt stjernesystem, men hvis du ser godt etter ser du kanskje at det er litt b?lger i b?lgen, at amplituden varierer litt. N? er dette s?pass lite, og med s? mye st?y, at vi ikke kan konkludere med annet enn at det bare er én planet. Men hvis du vil se mer om dette har vi h?rt rykter om at de vi har v?rt i kontakt med fra dette stjernesystemet, har gjort noe spennende analyse av data fra v?rt stjernesystem, som du kan se her, og n?r du er ferdig der kan du sammenligne med hvordan banene faktisk ser ut i v?rt system fra figur 3.4, som viser det samme som figur 2.1 men med alle planetene
