Mål for økta:¶

• F? oversikt over praktisk info
• Klargj?re motivasjon og m?l for kurset
• Introduksjon av prosjektet: Birkenes-modellen
• Introduksjon av nytt pensum (vil bli gjennomg?tt 23.oktober)
  • Kodestruktur: moduler
  • Datastruktur: dictionaries
  • Teori: rekurrensrelasjoner/differensligninger
  • Teori: differensialligninger

IN-KJM1900, h?sten 2018

• Foreleser: Audun Skau Hansen (a.s.hansen@kjemi.uio.no)
• Gruppel?rere og orakler:
• Eirill (eirillsh@student.matnat.uio.no)
• Simon (simonsch@student.matnat.uio.no)
• Morten (mortos@student.matnat.uio.no)
• Johannes (johla@student.matnat.uio.no)
• All informasjon blir publisert p? semestersidene:
• www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/IN-KJM1900/h18/index.html
• Kodeeksempler fra forelesning legges ogs? ut p? JupyterHub under IN-KJM1900.
• Ekstra undervisningsst?tte: orakeltjeneste ved Kjemisk Institutt
• Prosjektbasert undervisningsopplegg

IN-KJM1900, eksamenskrav

Poenggrense til eksamen: 18 av 27 poeng

Krav til prosjektet: best?tt 2 av 2 innleveringer

Devilry: mangler noen av dere vurdering p? innleveringer?

Gi meg (Audun) beskjed dersom du er usikker p? hvordan du ligger an.

P? grunn av endringer underveis i semesteret ?pner vi for ekstraoppgaver for de som mangler 4 poeng eller mindre etter midtterm.

Numeriske metoder i forskning: Ikke alle problemer har en "penn-og-papir"-l?sning

(Bilde fra https://gfm.aps.org/meetings/dfd-2015/55e6c09f69702d060d900000 )

Video from the IllustrisTNG project http://www.tng-project.org/ Time evolution of the cosmic magnetic field strength. Blue/purple shows regions of low magnetic energy along filaments of the cosmic web, whereas orange and white indicate regions with significant magnetic energy inside halos and galaxies. The displayed region is taken from the TNG100 simulation and is 10 megaparsec wide.

The Illustris TNG project is an ongoing series of large, cosmological magnetohydrodynamical simulations of galaxy formation. The project as a whole is led by Volker Springel at HITS, in collaboration with researchers at MPIA, MPA, Harvard, MIT, and CCA. http://www.tng-project.org/people/

Modeller i kjemi

Ofte ser vi p? realistiske og kompliserte systemer og mekanismer

Modeller i kjemi¶

Beregningsorientering innen kjemi¶

• Volumetri
• Geometri (struktur)
• St?kiometri
• Statistikk
• Beregning av likevekt
• Titrering
• Reaksjonskinetikk
• Molekyl?rdynamikk
• Statistisk mekanikk
• Kvantekjemi

Litt om kvantekjemi

Hylleraas-senteret:

• Senter for Fremragende ÑDz©ÓéÀÖ¹ÙÍø_ÑDz©ptÊÖ»ú¿Í»§¶ËµÇ¼, ved Kjemisk Institutt, UiO
• Internasjonalt anerkjent forskningssenter.
• Professorer som har bidratt betydelig til forskning innen kvantekjemi.
• Utvikler og anvender metoder for simuleringer av komplekse molekyl?re systemer i vekselvirkning med str?ling og felt.

https://www.mn.uio.no/hylleraas/

Numeriske metoder / beregninger:¶

• Ikke det samme som programmering:
  • Simulering, modellering
  • L?sning av ligninger, integraler
  • Iterative prosesser
• Benyttes n?r analytisk l?sning ikke finnes, for eksempel p? grunn av
  • Randbetingelser
  • Geometri
  • Omfang
• ...eller n?r numerisk feil er akseptabel.

Forslag til regel:

1. M?l forskjellen mellom din h?yde og naboen til h?yre: $\Delta h_{right}$
2. M?l forskjellen mellom din h?yde og naboen til venstre: $\Delta h_{left}$
3. Din nye h?yde: $h_{new} = h_{old} + c\left( \Delta h_{right} + \Delta h_{left} \right), c \in \mathbb{R}$
4. Eventuelt: $h_{new} = h_{current} - h_{old} + c\left( \Delta h_{right} + \Delta h_{left} \right), c \in \mathbb{R}$

$\rightarrow$ Live kodeeksempel.

<img src="/studier/emner/matnat/ifi/IN-KJM1900/h18/forelesninger/fig/birkenes.png" width = 400>

Kort om Birkenes-modellen:

• Numerisk modell for vannbevegelse og kjemi i jordv?ske.
• Tilpasset observasjoner i nedb?rsfelt i Birkenes kommune, Aust-Agder.
• Flere publikasjoner p? 70-, 80- og 90-tallet.
• Kjemisk modell koblet til hydrologisk modell.

Kjemisk delmodell: kjapp intro:¶

• Kjemisk delmodell: Ideell blanding av ioner l?st i v?sken. (Ioner er kjemiske forbindelser med ladning.)
• Sur nedb?r som fortynnet svovelsyre $H_2SO_4$ i nedb?ren $P$: $$ H_2SO_4 \longrightarrow 2H^+ + SO_4^{2-} $$
• Sulfat kommer med nedb?ren: $SO_4^{2-}$ f?lger vannet gjennom modellen.
• Reaksjoner med jord: utlekking av giftig aluminium, etc.
• Vi f?lger konsentrasjonene av ioner i v?sken $$ [H^+], [SO_4^{2-}], [Al^{3+}], [HCO_3^{-}], [Ca^{2+}] $$ hvor $[X] = \frac{\text{masse av $X$}}{\text{volum}} $
• Ender opp med konsentrasjoner i bekken $Q$
• ...som f?rer til milj?p?virkning

Den fullstendige modellen¶

Den hydrologiske delmodellen l?ses f?rst for ? finne vannstanden i reservoarene som funksjon av tid

$$A(t)$$ $$B(t)$$

samt str?mmen i bekken $Q(t)$.

Deretter bestemmes massen av $SO_4^{2-}$ (og konsentrasjonene) i reservoarene:

$$M_A(t) \rightarrow [SO_4^{2-}]_A = \frac{M_A(t)}{A(t)} $$ $$M_B(t) \rightarrow [SO_4^{2-}]_B = \frac{M_B(t)}{B(t)} $$

samt konsentrasjon i bekken $[SO_4^{2-}]_Q$.

Utover dette vil de andre konsentrasjonene kunne bestemmes fra likevektsbetingelser og prinsipp om elektron?ytralitet. Dette vil bli gjennomg?tt grundig p? forelesning, og er ogs? forklart i oppgaveteksten.

Prosjektoppgaven¶

• Delprosjekt 1 (3 uker):
  • Utvikle en modul for Python: birkutil.py
    • Innlesning av data
      • Fil inn og ut
      • Parsing/tolkning av tekst
      • Datatype: dictionaries
      • Datatype: numpy-arrays / vektordata
    • Newtons metode: Finn $x$ slik at $$ f(x) = 0 $$
    • Newtons metode vil benyttes i kjemisk delmodell.
    • Eulers metode for differensialligninger: Finn $y(t)$ slik at $$ \frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t)$$

Prosjektoppgaven¶

• Delprosjekt 2 (2 uker):
  • Gjenbruk av birkutil-modulen fra del 1.
  • L?sning av hydrologisk delmodell.
  • L?sning av kjemisk delmodell.
  • Beregning av konsentrasjoner.

Prosjektoppgaven¶

Vi ser p? oppgaveteksten p? semestersidene.

Moduler i Python¶

• En modul er en samling med definisjoner lagret i en .py-fil.
• En modul kan importeres i en annen fil med et import-statement:

Moduler i Python¶

I eksempelet under lages en modul som importeres rett etterp?:

Om du ?nsker ? legge en modul i en subfolder til arbeidsfolderen, kreves det at du lager en tom fil __init__.py i subfolderen. For eksempel fra terminalen:

>touch [subfolder_name]/__init__.py

Moduler:¶

• gir ryddigere kode.
• er enklere ? vedlikeholde.
• er enklere ? erstatte og oppdatere.
• legger til rette for gjenbruk.

$\rightarrow$ Live kodeeksempel

Datastruktur: dictionaries¶

• Dictionaries ( dict ) er sekvenser av data indeksert med valgfrie datatyper: keys
• ...i motsetning til list og np.array som indekseres med heltall.

Eksempel:

En dict kan benytte ulike "keys"¶

Dette kan v?re forvirrende. Tenk over: Kan du se for deg situasjoner hvor dette er nyttig?

$\rightarrow$ Live kodeeksempel

Rekurrensrelasjoner / differensligninger¶

En rekurrensrelasjon er en sekvens av verdier hvor en verdi er bestemt av en eller flere av de foreg?ende verdiene:

$$ a_{n+1} = f(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, ...)$$

• Kalles ogs? gjerne for differensligninger.

Differensialligninger og Eulers metode¶

I dette kurset m?ter vi differensialligninger p? formen

$$\frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t)$$

• Den ukjente i ligninga er en funksjon: $y(x)$
• Ligningen over er en 1. ordens ordin?r "diffligning".
  • Enkeltderivert $\rightarrow$ "f?rste orden"
  • Kun derivert med hensyn p? en variabel $\rightarrow$ "ordin?r"
• Diffligninger brukes gjennomg?ende i vitenskap; b?lger, diffusjon, osv.
• I kjemi, for eksempel for:
  • Reaksjonskinetikk
  • Kvantekjemi (Schr?dingerligningen)
  • Radioaktivitet

Differensialligninger: initialverdiproblemer¶

Ligningene du skal l?se i dette kurset vil ha en kjent initialverdi

$$\frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t)$$ $$y(0) = a$$

• Resulterer gjerne i at vi m? l?se problemet numerisk.

Differensialligninger: numerisk løsning¶

• Vi skal l?se f?rste ordens ODEer numerisk.
• Vi baserer l?sningen v?r p? definisjonen av den deriverte: $$ \frac{d}{dt}f(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} $$

Approksimasjonen gjøres i tre trinn:¶

• anta at en tilstrekkelig liten $\Delta t$ bringer oss n?r nok den deriverte $$ \frac{d}{dt}f(t) \approx \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} $$

• Sett inn approksimasjonen i ligningen: $$ \frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t) \rightarrow \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} = f(y(t),t)$$

• L?s algebraisk for $y(t+\Delta t)$: $$ y(t + \Delta t) = f(y(t),t)\cdot \Delta t + y(t) $$
• Alternativ notasjon ("oppdateringsskjema") $$ y_{i+1} = f(y_i, t) \cdot \Delta t + y_i $$ ... og du er i m?l med teori. N? gjenst?r implementasjon.
• Legg merke til at oppdateringsskjemaet er en rekurrensrelasjon.

Initialverdiproblem: eksempel¶

• Radioaktive kjerner kan henfalle ved ? sende ut en $\alpha$-partikkel ( $^4_4He$ kjerne ).
• Over en tid $\Delta t$ har vi en sannsynlighet $\lambda \Delta t$ for at en kjerne henfaller. Halveringstid $$ t_{\frac{1}{2}} = \lambda ln(2)$$
• I snitt vil $N \lambda \Delta t$ kjerner henfalle, hvor $N$ er antall kjerner i en pr?ve.
• Masseregnskap: $$ \Delta N = - N \lambda \Delta t$$
• Dette gir en diffligning for $\Delta t \rightarrow 0$ $$ \frac{d}{dt} N(t) = -N \lambda$$ hvor $N(0) = N_0$ (initielt antall kjerner)

Følg oppskriften:¶

1. Approksimer den deriverte:

$$ \frac{d}{dt} N(t) \approx \frac{N(t + \Delta t) - N(t)}{\Delta t}$$

1. Sett inn for den deriverte:

$$ \rightarrow \frac{N(t + \Delta t) - N(t)}{\Delta t} = N(t)\lambda$$

1. L?s algebraisk for $N(t + \Delta t)$

$$ N(t + \Delta t) = N(t) - N(t)\lambda = (1-\lambda \Delta t)N(t)$$

Eventuelt

$$ N_{i+1} = (1-\lambda \Delta t)N_i$$

$\rightarrow$ Live kodeeksempel av:

$$ N_{i+1} = (1-\lambda \Delta t)N_i$$

Hvor

$$N_0 = 100$$ $$ \lambda = 0.5 ln(2) $$ $$ \Delta t = 1$$

Om tid:

$\rightarrow$ Live kodeeksempel av:

$$ \left( \frac{d}{dt} \right)^2 h(x,t) = c^2 \left(\frac{d}{dx}\right)^2 h(x,t) $$

Oppsummering av dagen:¶

• Praktisk info
• Motivasjon og m?l for kurset
• Introduksjon av prosjektet: Birkenes-modellen
• Introduksjon av nytt pensum:
  • Kodestruktur: moduler
  • Datastruktur: dictionaries
  • Teori: rekurrensrelasjoner/differensligninger
  • Teori: differensialligninger

Takk for i dag¶

Slides vil bli lagt ut på semestersidene.¶