IN-KJM1900 - H?st 2018

IN-KJM1900: tilbakeblikk og overblikk

Siste forelesning, 20.november

Mål for økta:

  • Praktisk info
  • Tilbakeblikk og eksempeloppgaver:
    • Rekurrensrelasjoner
    • Trapesmetoden
    • Numerisk derivasjon
    • Newtons metode
    • Eulers metode

Eksamensst?tte, uke 47

Det tilbys flere eksamensforberedende ?kter denne uka

N?r Hvor hva
Tirsdag 20/11, 16.00-18.00 Eksamensverksted i IN1900 / gratis pizza Store fysiske auditorium
Onsdag 21/11 16.15-18.00 Eksamensverksted i IN-KJM1900 Auditorium 3
Torsdag 22/11, 10.15-12 Gjennomgang av IN1900 pr?veeksamen Sophus Lies Auditorium

Pr?veeksamen IN1900

  • Tilgjengelig p? Inspera frem til eksamen.
  • Gjennomg?s torsdag 22/11.
  • Oppgave 6, 13, 15 og 18 inng?r ikke i pensum i dette kurset.

Modeller i kjemi: tilbakeblikk

Ofte ser vi p? realistiske og kompliserte systemer og mekanismer

Utsnitt av et DNA-molekyl, Credits: Wikipedia

Beregningsorientering innen kjemi

  • Volumetri
  • Geometri (struktur)
  • St?kiometri
  • Statistikk
  • Beregning av likevekt
  • Titrering
  • Reaksjonskinetikk
  • Molekyl?rdynamikk
  • Statistisk mekanikk
  • Kvantekjemi

Numeriske modeller i kjemi

Simulering av

  • Struktur
  • Egenskaper
  • Dynamikk (reaksjoner)

    • Basert p? grunnleggende kvantemekanikk

    Begrensninger p? beregninger

    Fremtidsutsikter

  • Raskere computere
  • Kvantecomputere
  • Kan beregninger noensinne erstatte (enkelte) eksperimenter?

    • Numeriske metoder / beregninger:

    • Ikke det samme som programmering:
      • Simulering, modellering
      • L?sning av ligninger, integraler
      • Iterative prosesser
    • Benyttes n?r analytisk l?sning ikke finnes, for eksempel p? grunn av
      • Randbetingelser
      • Geometri
      • Omfang
    • ...eller n?r numerisk feil er akseptabel.

    Differensligninger

    En differensligning er en sekvens av verdier hvor en verdi er bestemt av en eller flere av de foreg?ende verdiene:

    $$ a_{n+1} = f(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, ...)$$

    • Kalles ogs? gjerne for rekurrensrelasjoner.
    Fibonacci-serien er en differensligning:

    $$0$$ $$1$$ $$0+1 = 1$$ $$1+1 = 2$$ $$1+2 = 3$$ $$2+3 = 5$$ $$a_{n-1}+a_n = a_{n+1}$$ $\rightarrow$ Live kodeeksempel (Penger p? bok)

    En nyttig opplysning

    B?de Newtons metode og Eulers metode kan uttrykkes som differensligninger.

    Diskrete regneoperasjoner kan ofte uttrykkes kompakt med differensligninger.

    亚博娱乐官网_亚博pt手机客户端登录

    图片

    Integrasjon som summasjon

    Diskrét integrasjon kan gj?res som summasjoner, for eksempel med trapesregelen:

    \begin{equation} \int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{N-1} \left(x_{i+1}-x_i\right)\frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2} = \frac{\Delta x}{2} \sum_{i=1}^{N-1} \left(f_{i+1}+f_i\right) \end{equation}

    Stiplede linjer indikerer "gjennomsnittlig" funksjonsverdi over et intervall $\frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2}$.

    $\rightarrow$ Live kodeeksempel

    Derivasjon som endelige differanser

    I klassisk kalkulus er den deriverte definert som

    $$ \frac{d}{dx} f(x) := \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

    I diskret kalkulus er "fremoverdifferansen" en av flere mulige approksimasjoner p? den deriverte

    $$ \mathbf{D}^+ f_i := \frac{f_{i+1} - f_i}{\Delta x}$$

    $\rightarrow$ Live kodeeksempel

    Noen approksimasjoner p? den deriverte

    Uttrykk Navn Operator
    $\mathbf{D}^+ f(x) := \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$ "Fremad-differanse" $\mathbf{D}^+$
    $\mathbf{D} f(x) := \frac{f(x+ \Delta x) - f(x-\Delta x)}{2 \Delta x}$ "Senterdifferanse" $\mathbf{D}$
    $\mathbf{D}^- f(x) := \frac{f(x) - f(x-\Delta x)}{\Delta x}$ "Bakoverdifferansen" $\mathbf{D}^-$

    Beskrivelse av Newtons metode

    Newtons metode er en fremgangsm?te som for en hvilken som helst jevn funksjon $f(x)$ lar oss finne en $x_*$ slik at $$f(x_*) = 0$$ Den formelle beskrivelsen er at vi f?rst gjetter p? en $x_0$, og deretter gjentar f?lgende operasjon $$ x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_{n})}$$ Vi gjentar frem til enten et maksimalt antall interasjoner er n?dd, eller at funksjonsverdien i punktet er tilstrekkelig n?rt null: $$\vert f(x_{n+1}) \vert \le \epsilon$$

    Dette kalles en konvergensbetingelse

    $\rightarrow$ Vi ser p? et interaktivt eksempel

    Sekantmetoden

    Om vi erstatter den deriverte i Newtons metode med en numerisk differanse f?r vi en variant av Newtons metode som kalles sekantmetoden:

    $$ x_{n+1} \approx x_{n} - \frac{f(x_n)}{\mathbf{D}^+f(x_n)} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f(x_n + \Delta x) - f(x_n)}\Delta x $$

    Legg merke til at dette uttrykket er en differensligning, p? samme m?te som uttrykket for Newtons metode.

    Differensialligninger

    I dette kurset har vi sett p? differensialligninger p? formen

    $$\frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t)$$

    • Den ukjente i ligninga er en funksjon: $y(t)$
    • Ligninga over er en 1. ordens ordin?r "diffligning".
      • Enkeltderivert $\rightarrow$ "f?rste orden"
      • Kun derivert med hensyn p? en variabel $\rightarrow$ "ordin?r"
    • Diffligninger brukes gjennomg?ende i vitenskap; b?lger, diffusjon, osv.
    • I kjemi, for eksempel for:
      • Reaksjonskinetikk
      • Kvantekjemi (Schr?dingerligningen)
      • Radioaktivitet

    Differensialligninger: numerisk løsning

    • Vi skal l?se f?rste ordens ODEer numerisk.
    • Vi baserer l?sningen v?r p? definisjonen av den deriverte: $$ \frac{d}{dt}f(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} $$

    Approksimasjonen gjøres i tre trinn:

    • anta at en tilstrekkelig liten $\Delta t$ bringer oss n?r nok den deriverte $$ \frac{d}{dt}f(t) \approx \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} $$
    • Sett inn approksimasjonen i ligningen: $$ \frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t) \rightarrow \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} = f(y(t),t)$$
    • L?s algebraisk for $y(t+\Delta t)$: $$ y(t + \Delta t) = f(y(t),t)\cdot \Delta t + y(t) $$
    • Alternativ notasjon ("oppdateringsskjema") $$ y_{i+1} = f(y_i, t) \cdot \Delta t + y_i $$ ... og du er i m?l med teori. N? gjenst?r implementasjon.
    • Legg merke til at oppdateringsskjemaet er en differensligning.

    Eulers metode for differensialligninger

    Initialverdiproblem:

    $$\frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t)$$ $$y(0) = a$$

    F?lgende fremgangsm?te vil alltid virke i dette kurset, samt i mange andre tilfeller:

    1. Diskretiser problemet (variabler, funksjoner). (la $t \rightarrow t_n = n \cdot \Delta t$).
    2. Diskretiser differensialoperatoren ($\frac{d}{dt} \rightarrow \mathbf{D}^+$ ).
    3. L?s algebraisk for neste funksjonsverdi $f_{n+1} = ...$
    4. Skriv en kode som iterativt l?ser for neste funksjonsverdi.
    5. Presenter og fortolk resultatene.

    $\rightarrow$ Live kodeeksempel: reaksjonskinetikk med koblede reaksjoner.

    Fremad-differanse

    $$\frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t)$$ $$y(0) = a$$

    $$\frac{d}{dt} y(t) \approx \frac{y(t_{n+1}) - y(t_n)}{\Delta t} = f(y(t_n), t_n)$$

    $$y(t_{n+1}) = y(t_n) + f(y(t_n), t_n)\Delta t$$

    Senterdifferanse

    $$\frac{d}{dt} y(t) = f(y(t), t)$$ $$y(0) = a$$

    $$\frac{d}{dt} y(t) \approx \frac{y(t_{n+1}) - y(t_{n-1})}{2\Delta t} = f(y(t_n), t_n)$$

    $$y(t_{n+1}) = y(t_{n-1}) + f(y(t_n), t_n)2\Delta t$$

    Litt om eksamen I

    F?lgende l?ringsm?l gjelder for kurset som helhet:

    • har du grunnleggende ferdigheter i Python programmering med bruk av datastrukturer, funksjoner, moduler og vektoriserte beregninger.
    • behersker du grunnleggende feils?king og -retting og kan konstruere tester for ? finne og rette feil i egne programmer.
    • kan du bruke eksterne Python moduler i samspill med egen kode til ? integrere, derivere, finne nullpunkter, beregne grenseverdier og rekker, samt l?se differens- og differensial-likninger.
    • kan du lage matematiske modeller som beskriver kjemiske problemstillinger, og skrive programmer som gj?r beregninger med modellene.
    • Har du erfaring med og kunnskap om ? jobbe prosjektbasert.

    Dette er utgangspunktet for hva du blir testet i p? eksamen.

    Kjemidelen av kurset best?r i hovedsak av prosjektoppgaven. I tillegg gjelder f?lgende pensumlitteratur:

    Kapittel Innhold Unntak
    6 Dictionaries and strings 6.3-6.7
    Appendiks A Sequences and difference equations A.2
    Appendiks B Discrete Calculus B.4
    Appendiks C Differential equations C.3-C.4
    Appendiks E Programming of differential equations E.1.7, E.2.4, E.3-E.4

    I tillegg er prosjektoppgaven pensum. Eksamen vil i stor grad sammenfalle med det som introduseres i prosjektet.

    Lykke til p? eksamen

    og

    takk for n? :-)