Du er her: UiO > ÑDz©ÓéÀÖ¹ÙÍø_ÑDz©ptÊÖ»ú¿Í»§¶ËµÇ¼ > Emner >

MAT-INF1100 - Høst 2003

Forelesningsrapport

Tirsdag 2/12. Jeg begynte med ?i en kort oversikt over pensum, og brukte resten av tida p? gjennomg?o oppgaver med uoppstilte differensialligninger (10.2.5 og 10.2.6) samt en oppgave med Taylorpolynomer (11.2.13).

Mandag 1/12. I f? time avsluttet jeg gjennomgang av regul? stoff ved ?a kort for meg Eulers metode for numerisk l?g av differensialligninger. I andre time repeterte jeg p?ppfordring induksjonsbevis.

Tirsdag 25/11. Vi fortsatte med andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter, denne gangen inhomogene ligninger. Vi tok f?for oss lemma 10.5.1 som sier at den generelle l?gen framkommer ved ?inne den generelle l?gen av den homogene ligningen og s?egge til en l?g av den inhomogene ligningen, helt analogt til situasjonen for differensligninger. Utfordringen er derfor ?inne partikul??ger. Vi gjennomgikk de tre typene av h?ider som er aktuelle og s?vordan vi kan finne partikul?l?ger i de ulike tilfellene.

Vi gikk s?ver p?eparable differensialligninger. L?gsprosedyren her er enkel, men disse ligningene kan v? ikkeline?, noe som kan gi en del spesielle utfordringer. Vi kan f?lere l?ger, begrensninger p?yldighet etc., se eksemplene i seksjon 10.7

Mandag 24/11. Tema i dag var andreordens, homogene, line? differensialligninger med konstante koeffisienter, seksjon 10.4 i Kalkulus. Vi s?vordan den karakteristiske ligningen framkommer og gikk gjennom de tre tilfellene to reelle r?, en reel rot og to kompleks konjugerte r?. I hvert tilfelle kan vi da enkelt skrive opp l?gen av differensialligningen. Vi fortsetter i morgen med inhomogene ligninger og separable f?ordens ligninger.

Tirsdag 18/11. Vi fortsatte med differensialligninger og tok for oss de to f? eksemplene i seksjon 10.2. Jeg skrev opp setning 10.3.1 og pratet litt om dette resultatet, men gikk ikke gjennom beviset. Deretter gjennomgikk jeg oppgave 10.2.11.

Mandag 17/11. I f? time s?i litt p?ntegrasjon ved hjelp av datamaskin. Aller f?viste jeg hvordan Mathematica h?terer symbolske integraler, b? at svaret kan bli sv? komplisert og at svaret kan utebli fordi integralet ikke lar seg l?Deretter s?i p?o metoder for ?eregne en tiln?ing til den numeriske verdien av et bestemt integral, trapesmetoden og Simpsons metode, se seksjon 8.7 i Kalkulus og seksjonene 8.1 og 8.2 i kompendiet. Prinsippet for disse metodene er at vi tiln?er funksjonen vi ?r ?ntegrere med en enklere funksjon (stykkevis line?eller stykkevis parabel) og integrerer denne tiln?ingen i stedenfor den gitte funksjonen. Vi tok ogs?n rask titt p?eilleddene for de to integrasjonsformelene.

I andre time begynte vi p?ifferensialligninger og gjennomgikk en metode for ???ordens, line? ligninger med variable koeffisienter.

Mandag 10/11. Dette var en ekstraforelesning der jeg pratet om oblig2. Jeg fors??i litt oversikt over MatInf1100Sound f?g viste fila SimpleFilters.java som dere kan bruke som mal for oppgave 1. Mesteparten av tida brukte jeg p?ppgave 2. Jeg viste f?hvordan verdiene som beskriver feilfunksjonene kan lagres i en todimensjonal array der radenes lengde varierer. Dette er mulig siden en todimensjonal array i java egentlig er en array med pekere til en samling endimensjonale arrayer. Du vil se hvordan dette kan utnyttes i forslaget til struktur for Compressed1100Sound.java som jeg gjennomgikk p?orelesning i dag.

Tirsdag 4/11. Tema i dag var kapittel 10 om flerskala-analyse. Jeg begynte med noen generelle betraktninger om kompresjon. Jeg viste s? detalj hvordan vi kan dekomponere en stykkevis line?funksjon i en funksjon der punktene ligger med dobbel avstand og en feilfunksjon. Poenget er at mange av verdiene som beskriver feilfunksjonen vanligvis vil v? sm?g derfor kan settes lik null. Dekomponeringen kan gjentas med den grove tiln?ingen, og med den grove tiln?ingen vi da f?... et passende antall ganger. Resultatet er at vi f?en (tiln?et) representasjon av den opprinnelige funksjonen som er skreddersydd for at en eksakt kompresjonsalgoritme (for eksempel gzip) kan pakke denne informasjonen sv? kompakt.

Mandag 3/11. I dag pratet jeg om Bezier-kurver, men p?t mindre teknisk niv?nn jeg hadde tenkt. Vi brukte mye tid p? se hva som er poenget med Bernsteinpolynomer og Bezierkurver og tilsvarende mindre tid til formler og detaljerte egenskaper.

Tirsdag 28/10. Aller f?avsluttet vi stoffet om interpolasjon med ?krive opp interpolasjonspolynomet av grad n. Deretter brukte jeg litt tid p?ise hvordan visualisering av Newtons metode kan programmeres. Til slutt gikk vi over til ?e p?ernstein-polynomer, noe vi fortsetter med p?andag.

Mandag 27/10. Jeg begynte med ?jennomg?ksempel 11.2.4 i detalj, og eksempel 11.2.5 litt kjappere. I andre time begynte jeg p?nterpolasjon (seksjon 9.2 i kompendiet) og rakk fram til konstruksjonen av en interpolerende parabel. Vi fortsetter med interpolasjon i morgen og g?deretter over p?ernstein-polynomer.

Tirsdag 21/10. Vi fortsatte med Taylor-polynomer, og i dag dreide det seg om ?inne et uttrykk for feilen vi gj?r vi tiln?er en funksjon med et Taylor-polynom, seksjon 11.2 i Kalkulus. Jeg utledet integralformen for feilfunksjonen ved hjelp av delvis integrasjon, slik den er gitt i setning 11.2.1, utledet estimatet i korollar 11.2.2 og nevnte ogs?en alternative formelen i oppgave 11.2.16. Til slutt gjennomgikk jeg eksempel 11.2.3. Vi tar noen flere eksempler p?andag.

Mandag 20/10. Tema i dag var Taylor-polynomer. Jeg gjennomgikk konstruskjonen omtrent slik den st?beskrevet i seksjon 11.1 i Kalkulus, men med noe mer detaljer. Spesielt s?okuserte jeg p??n ?krive polynomer p?mer om dette vil komme i kapittel 9 i kompendiet. Vi s??re eksempler og regnet ut Taylorpolynomene til e^x, sin(x) og cos(x) og s?ed dette at Eulers formel som relaterer disse funksjonene ikke er noen tilfeldighet.

Tirsdag 7/10. I dag s?i n?ere p?ondisjonstallet og eksempler p?vordan det oppf?seg. Deretter gjennomgikk jeg seksjon 6.1 om numerisk derivasjon f?g avsluttet med ?e hva som skjer med avkastningen p?enger i banken n?vi beregner renta oftere og oftere (seksjon 6.5).

Mandag 6/10. I dag begynte jeg med ?inne om Newtons metode og vise noen eksempler p?lik type konvergens og et par eksempler der metoden ikke konvergerer. Jeg understreket ogs?t Newtons metode konvergerer kvadratisk n?den konvergerer. Vi gikk deretter over til ?e kort p?bsolutt og relativ feil (seksjon 2.4 i kompendiet), og jeg fokuserte p?t den relative feilen sier noe om hvor mange riktige siffer vi har. Dette brukte vi som grunnlag for ?tudere avrundingsfeilen som kan oppst??vi skal beregne verdien av en funksjon f (seksjon 6.1). Vi utledet relasjoner som knytter avrundingsfeilen i funksjonsverdien sammen med avrundingsfeilen i argumentet. Hvis vi bruker relativ feil knyttes disse feilene sammen av kondisjonstallet som vi skal se videre p??irsdag.

Tirsdag 30/9. Jeg begynte med ?i noen f?rd om plotting og hvordan datamaskiner og lommeregnere lett kan miste vesentlige detaljer ved funksjonen de skal plotte. Deretter gikk vi over til ?e p?etoder for ?inne nullpunkter for funksjoner. Vi s??litt p?vordan Mathematica kan finne eksakte r? i en del ligninger, men uttrykkene blir lett sv? kompliserte. Numeriske metoder for ?inne numeriske tiln?inger til r?e har den store fordelen at de fungerer for generelle klasser av funksjoner. Vi s??alveringsmetoden (seksjon 5.3 i kompendiet) som er en robust og enkel metode og for denne metoden kan vi ogs?stimere feilen ganske greit. Til slutt s?i p?ewtons metode som ikke er s?obust, men som konveregerer mye raskere. Jeg rakk ikke ?ise demo av Newtons metode, det tar vi p?andag.

Mandag 29/9. I f? time i dag snakket jeg om lyd fra funksjoner (seksjon 5.4 i kompendiet), og i andre time digital lyd (seksjon 4.4 i kompendiet). Det hele ble supplert med mange demoer p?atamaskin.

Tirsdag 23/9. Vi gikk gjennom de ulike kategoriene av h?ider i inhomogene differensligninger og s?vordan vi kan finne partikul?l?ger. Jeg regnet ogs??t par spesifikke eksempler. Jeg forklarte deretter hvordan avrundingsfeil kan ?gge ved simulering av differensligninger, se seksjon 4.2 i kompendiet.

Mandag 22/9. I dag repeterte vi f?prosedyren for ??ndreordens, homogene differensligninger og gjennomgikk noen eksempler. Deretter gikk vi over p?eksjon 4.2 i Kalkulus om l?g av inhomogene likninger og rakk ?jennomg?emma 4.2.1 med bevis. Vi fortsetter med 4.2 i morgen, og ser deretter p?apittel 4 i kompendiet.

Tirsdag 16/9. Vi fortsatte der vi sluttet i g? med l?g av andreordens differensligninger. I dag pr?vi med en l?g p?ormen r^n og fant at om dette skulle v? en l?g m?e r tilfredstille en andregrads ligning med samme koeffisienter som differensligningen. I tilfellet at vi har to reelle r? har vi da to l?ger som kan kombineres med vilk?ige konstanter til en generell l?g. Disse vilk?ige konstantene kan s?ilpasses to startverdier. Etter ?a sett p?ilfellet at den karakteristiske ligningen har to reelle r? i detalj, tok vi deretter for oss tilfellene der ligningen har en reell rot og to kompleks konjugerte r?. Med dette er vi s?g si ferdige med seksjon 4.1, men vi tar nok et par eksempler til neste mandag.

Mandag 15/9. Vi begynte med litt notasjon omkring f?. Jeg nevnte deretter en del anvendelser der f? er sentralt og fokuserte s?ig p?igital musikk. Deretter gikk vi over til ?e p?ifferensligninger (seksjon 4.1 i Kalkulus). Vi kom s?angt som til ?ise at vi fra to l?ger av en andreordens ligning kan genere uendelig mange l?ger (Lemma 4.1.4). I morgen fortsetter vi med ?ise hvordan vi kan f?ram to l?ger av en andreordens ligning.

Tirsdag 2/9. I dag fortsatte vi med ?e p?epresentasjon av reelle tall p?atamaskin. Vi s?vordan den normaliserte formen kan generaliseres til 2-tallssystemet, og vi s??atatypene float og double i Java. Deretter gikk vi litt raskt gjennom kompletthetsprinsippet i kapittel 2 i Kalkulus og aksiomene for reelle tall. Til slutt ga jeg en kort demonstrasjon av hvordan vi kan regne med store heltall og reelle tall med mange siffer i Mathematica.

Mandag 1/9. Vi startet med ?vslutte seksjon 2.2 i Kalkulus med Arkimedes prinsipp og setning 2.2.7. Deretter fravek jeg forelesningsplanen og begynte p?eksjon 2.3 i kompendiet om representasjon av reelle tall p?atamaskin. ?saken til det var at dette er nyttig stoff for programmeringsoppgavene som er gitt denne uka, og det var derfor greit ??att det stoffet s?idlig som mulig. Jeg gikk gjennom seksjonene 2.3.1 og 2.3.2 i detalj og fortsetter i morgen med 2.3.3 og 2.3.4 og resten av kapitlet (men ikke s?etaljert som i dag). I morgen ser vi ogs??ompletthetsprinsippet, og jeg h?r vi f?tid litt demonstrasjon med Mathematica.

Tirsdag 26/8. I dag begynte vi p?apittel 2 i Kalkulus om reelle tall. Vi begynte med litt notasjon og s??allverdifunksjonen (kalles ogs?bsoluttverdi). Vi s?eretter p?genskaper ved rasjonale og irrasjonale tall og viste at kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall. Til slutt demonstrerte jeg p?askinen hvordan kompendiet kan lastes ned og vises fram ved hjelp av programmet acroread (p?fis Linux-maskiner).

Mandag 25/8. F? tema i dag var Pascals trekant og binomialformelen. Utgangspunktet var ?eneralisere 1. kvadratsetning som sier at (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 slik at vi kan skrive opp hva (a+b)^n blir for et vilk?ig naturlig tall n. Jeg viste hvordan Pascals trekant framkommer, og vi s?t tallene i en linje i denne trekanten er de som forekommer som koeffisienter i det utmultipliserte uttrykket for (a+b)^n. Vi definerte deretter binomialkoeffisientene og s?t disse tallene er bygd opp p?amme m? som tallene i Pascals trekant. Dermed m?allene i Pascals trekant v? binomialkoeffisienter.

I andre time s?i p?epresentasjon av heltall i datamaskiner, seksjon 2.2 i kompendiet. Vi s??litt p?epresentasjon av heltall i ulike tallsystemer. Deretter gikk vi inn p?ordelene med 2-tallssystemet f? s??oen detaljer omkring 32- og 64-bits heltall som er det vanligste p?agens datamaskiner.

Tirsdag 19/8. I dag begynte vi rett p?nduksjon. Jeg gikk gjennom et konkret induksjonsbevis i detalj i et h?om at induksjonsprinsippet skulle bli klart. Siden jeg tok med s?ss mye detaljer som ikke st?i Kalkulus har jeg skrevet dette opp pent her . Induksjonen tok ogs?esteparten av andre time, men p?lutten av forelesningen s?i p?kifte av summasjonsindeks. Jeg brukte de to summene i (4) p?ide 23 i Kalkulus som eksempel. Ut fra sp?l jeg fikk etterp?ar det tydeligvis et uklart punkt og det var skiftet fra i til k som summasjonsindeks nederst p?ide 23. Den k'en som introduseres her er ikke den samme som brukes i den venstre summen i (4). En god analogi er et funksjonsuttrykk som f(x)=x^2. Denne funksjonen er jo akkurat den samme om vi skriver f(a)=a^2, vi trenger bare en variabel for ?eskrive hva funksjonen gj??amme m? i summen over: Hva vi kaller summasjonsindeksen betyr ingenting, vi trenger bare et symbol som vi kan bruke i uttrykket innenfor summetegnet, om den heter i eller k er likegyldig.

Mandag 18/8. I f? time gikk jeg gjennom en del informasjon og tips som er nyttig for MAT-INF 1100. Kopi av foilene jeg brukte finner du her. I annen time begynte vi litt forsiktig p?atematikken. Vi snakket om de naturlige tallene, faktorisering og summetegn. I forbindelse med faktorisering gjorde jeg en feil. Jeg sa noe s? som at hvis a er delelig med b s?r a=q b for en passende q>1 og alts?r q=b/a. Dette er selvsagt feil; vi har ?nbart q=a/b. I morgen fortsetter vi med ?e litt p?ariabelskift i summetegn f? g?over p?nduskjonsbevis.

Dokument endret: 9. desember 2003

Kontakt UiO    Hjelp