Du er her: UiO > ÑDz©ÓéÀÖ¹ÙÍø_ÑDz©ptÊÖ»ú¿Í»§¶ËµÇ¼ > Emner >

MAT-INF1100 - Høst 2004

Forelesningsrapport

Tirsdag 16/11 Foreleser: Geir. Det ble vist hvordan en annen ordens differensiallikning kan gj?om til ett sett av to f?ordenslikninger, slik det er vanlig ved bruk av numeriske metoder. Eulers metode ble gjennomg? og demonstrert ved et eksempel med ren svingel?g. Vi s?ra den numeriske l?gen at Eulers metode ga vekst og instabilitet. Videre fant vi at Eulers metode i dette tilfellet svarer til en andreordens differenslikning med konstante koeffissienter. L?g av denne viste instabilitet.
Midtpunkt-Euler ble s?rukt. Selv om l?genen var mye bedre antydet resulatene at ogs?enne er instabil, om enn med mye langsommere vekst av l?gen. Dette kan ogs?ises vha. differenslikninger, men det ble ikke gjennomg?.

Mandag 15/11 Foreleser: Geir. F?ble ubestemete koeffissienters metode gjennomg? for l?g av inhomogene, line? differensialllikninger av andre orden. Vi oppsummerte alle "formel" l?gsteknikker i pensum, f? gikk over til numerisk l?g. Eulers metode ble gjennomg? for en f?ordenslikning. Den ble unders?ha. et testproblem med konstante koeffissienter, slik det er gjort i Kalkulus. Deretter fulgte Eulers midtpunktmetode og en summarisk gjennomgang av bruk acv taylorpolynomer for numerisk l?g av differensiallikner.

Tirsdag 9/11 Foreleser: Geir. Vi tok for oss line? homogene likninger av orden 1 f?og behandlet dem som separable (definert mer generelt i 10.7) Bruk av ideen "variasjon av parameter(e)" fra 10.5 ga oss s? l?gen av det inhomogene likninger og eksistens og entydighet ble diskutert.
Dernest var det naturlig ?iskutere separable likninger mer generelt. Vi tok for oss "fallskjermhopperen" fra kompendiet som eksempel -- en god del regning i flere steg. Line? andre ordens likninger var neste tema. Vi startet med at homogene l?ger kan adderes og viste hvordan variasjon av parameteren(e) kan gi b? en annen homogenl?g og en partikul??g. Deretter fant vi l?gene for andre ordens homogene likninger med konstante koeffissienter. Siden dette var mye en gjentagelse av hva vi gjorde for differenslikninger gikk vi litt lett over noen av detaljene i de ulike tilfellene. Komplettheten av l?gene ble demonstrert ved variasjon av parameterene. En mer generell variant av denne teknikken ble presentert som alternativ for ??nhomogene likninger.
Mye av det ovenfor gikk fortere enn ventet og vi kom lenger enn annonsert.

Mandag 8/11. Foreleser Geir: Vi tok for oss eksempler p?umerisk approksimasjon av f? og andrederiverte og brukte Taylorpolynomer for ?nalysere feilen. Numerisk integrasjon ved midpunktmetode, trapesmetode (kort) og Simpsons metode ble gjennomg?. Lokal feil av midtpunktmetoden ble analysert vha. Taylorpolynomer.
Vi tok for oss noen eksempler p?vordan differensiallikninger dukker opp i anvendelser og la vekt p? klassifisere dem (line?? hvilken orden etc).

Tirsdag 26/10. Foreleser: Knut. Vi fortsatte med to eksempler p?ruk av feilleddet for Taylor-polynomer. Deretter gikk vi over til ?e p?nterpolasjon med polynomer og jeg gjennomgikk seksjon 9.2.1 i kompendiet. Til slutt presenterte jeg statistikk for midtsemestereksamen.

Mandag 25/10. Foreleser: Knut. Jeg brukte f?noen minutter p?lerskala-analyse og dekomponering over flere niv?. Resten av tiden brukte jeg p?estleddet i Taylors formel. Jeg utledet itnegralformen for restleddet, og s?gs??en alternative formen som er gitt som en oppgave i Kalkulus. Til slutt s?eg p?ksempel 11.2.5. Vi fortsetter med flere eksempler i morgen.

Tirsdag 19/10. Foreleser: Knut. Vi fortsatte med tiln?ing av funksjoner, men i dag var utgangspunktet at funksjonsverdiene var kjent i et stort antall punkter (p?ett og vis det motsatte av utgangspunktet for Taylorpolynomer der vi m?jenne funksjonsverdi og deriverte i ett punkt). Metoden vi s??r flerskala-analyse med stykkevise line? funksjoner som er beskrevet i kapittel 10 i kompendiet. Vi skal bruke dette til kompresjon av lyd, og vi begynte forelesningen med ?eskrive ideene bak kompresjon, b? med og uten feil (feilfri kompresjon og toleransekompresjon). Kapittel 10 er utgangspunktet for den siste delen av oblig2 og vi skal se litt mer p?ette stoffet med s?ig fokus p?andag og i ekstraforelesningen med tips til oblig2 mandag 1/11.

Mandag 18/10. Foreleser: Knut. I dag begynte vi p?t nytt hovedtema: Tiln?ing (approksimasjon) av funksjoner. Vi gjennomgikk seksjon 11.1 i Kalkulus om Taylor-polynomer, og beregnet Taylor-polynomene til eksponensialfunksjonen og sinus og cosinus. TIl slutt observerte vi at Taylor-polynomene for disse funksjonene er n? knyttet sammen og relasjonen er Eulers identitet som ble brukt for ?efinere den komplekse eksponensialfunskjonen i MAT 1100.

Tirsdag 5/10. Foreleser: Knut. Aller f?s?i litt p?orskjellene mellom absolutt og relativ feil (seksjon 2.4 i kompendiet). Deretter innf?vi kondisjonstallet som et m?p??heten en funksjon har for avrundingsfeil n?vi beregner funksjonsverdier. Det viktigste tilfellet er kondisjonstallet n?vi m?r feilen relativt siden det sier noe om hvor mange siffers n?ighet vi mister ved funksjonsberegningen. Til slutt s?i litt p?umerisk derivasjon.

Mandag 4/10. Foreleser: Knut. De f? minuttene brukte jeg til ?i en rask gjennomgang av programmet SimpleFilter.java som vi har delt ut denne uka og som du kan bruke som mal n?du programmerer med lyd. Resten av forelesningen brukte vi til ?e p?lere numeriske metoder for ?inne nullpunkter for funksjoner. Halveringsmetoden s?i p?ist uke, og i tillegg s?i p?ewtons metode og sekantmetoden. Felles for alle metodene er at de er bygd p?n enkel ide (halveringemetoden: del intervallet p?idten, Newtons metode: bruk tangenten som tiln?ing til funksjonen og finn dens nullpunkt, sekantmetoden: bruk sekanten som tiln?ing og finn dens nullpunkt) som s?jentas inntil vi er forn?ller vi ikke gidder mer. En viktig egenskap med metodene er hvordan feilen oppf?seg. Med halveringsmetoden blir feilen halvert ved hver iterasjon (antall riktige bin? sifre ?med en), med Newtons metode dobles antall riktige siffer ved hver iterasjon (n?den konvergerer), mens antall riktige siffer ?med en faktor p?.6 i hver iterasjon med sekantmetoden (n?den konvergerer). Halveringsmetoden kovergerer alts?angsomt, men i alle situasjoner. De andre to metodene konvergerer raskt, men for at de skal konvergere m?i starte tilstrekkelig n?et nullpunkt, noe som ikke alltid er s?ett. I praksis blir ofte halveringsmetoden brukt i starten for ?omme n?et nullpunkt f?wtons metode eller sekantmetoden brukes til ?oome inn p?ullpunktet.

Tirsdag 28/9. Foreleser: Knut. F?brukte jeg noen minutter p?n forlengelse av g?sdagens forelesning om hvordan digital lyd representert ved en array kan manipuleres. Deretter gikk jeg over til ?e p?vordan kontinuitet hjelper oss i forbindelse med beregning av funksjonsverdier og plotting av funksjoner. Resten av tiden brukte jeg p? utlede og programmere halveringsmetoden for ?inne numeriske tiln?inger til et nullpunkt for en kontinuerlig funksjon. Det ?inne nullpunkter er ofte n?dig i ulike anvendelser, og det h?med til unntaket at vi kan finne en eksakt formel for et nullpunkt. Halveringsmetoden er en idiotsikker, men langsom metode. Neste uke skal vi se p?n feilanalyse for halveringsmetoden, og ogs?a for oss Newtons metode som er en rask, men ikke idiotsikker metode.

Mandag 27/9. Foreleser: Knut. Jeg begynte med en overordnet oppsummering av hva vi har gjort s?angt, med fordeling av stoffet vi har gjennomg? (tall og f?) i kategoriene grunnlagsstoff, algoritmer, programmering og anvendelser. Vi kommer n?il ulike aspekter av funksjonsbegrepet, og grunnlagsstoffet her blir stort sett gjennomg? i MAT 1100 (kontinuitet, derivasjon, integrasjon). I MAT-INF 1100 skal vi se p?spekter av dette stoffet som er relatert til beregninger og noen anvendelser som ikke st?i Kalkulus.

Jeg brukte ogs?itt tid til ??ke at n?vi skal lese en sekvens av bits fra en fil, m?askinen vite hvordan informasjonen skal tolkes. Leser vi 64 bits i et program er det programmeren som bestemmer om disse skal tolkes som en long eller en double. Datamaskiner representerer ogs?okstaver og andre tegn ved hjelp av tall, noe som gir enda flere tolkningsmuligheter n?bits leses. Moralen er at selv om en datamaskin p?aveste niv?un kan h?tere 0 og 1, kan disse settes sammen til tall, og disse tallene kan tolkes p?likt vis, for eksempel som heltall eller flyttall, som en bokstav (bare nummerer bokstavene p?n eller annen m?) eller noe annet. Mer kompliserte datatyper (som digital lyd) kan s?ygges opp som samlinger av slike primitive typer.

Mesteparten av tida brukte vi til ?e hvordan lyd h?teres p?atamaskin. Dette relaterer matematikk til noe moderne teknologi og vil v? grunnlaget for oblig2. Aller f?tok vi for oss hva lyd egentlig er, frekvensbregrepet og at enhver lyd kan bygges opp som en sum av sinuser med ulik frekvens. Vi gikk s?ver til ?e p?igital lyd og begrepene sampling og samplingsrate og det faktum at lyd p?atamaskin enkelt og greit er representert som en f?(array) som vi enkelt kan gj?perasjoner p?Vi illustrerte mye av dette med eksempler p?atamaskin. Stoffet finner du i seksjonene 4.4 og 5.4 i kompendiet.

Tirsdag 21/9. Foreleser: Geir. Rapport kommer siden.

Mandag 20/9. Foreleser: Geir. Vi gjennomgikk byggingen av et program som simulerer en generell, line? 2-ordens differenslikning med konstante koeffisienter. I den forbindelse tok vi for oss litt om l?trukturer, filer og inn/ut-lesing i Java. Programmet ble testet p?ibonacchi tallene og vi tok for oss et eksempel der manglende presisjon i aritmetikken ga helt feil svar. Deretter programmerte vi en f?ordens ikkeline?likning og gjorde en serie numeriske eksperimenter med denne. Eksemplet er diskutert i kap. 4.5 s. 177 og i oppgave 4.3.25 i Kalkulus.
Foilene fra forelesningen er lagt ut, men programeksemplene legges f?ut neste uke. Skriv deres egne programmer denne uka!

Tirsdag 7/9. Foreleser: Geir. Vi oppsummerte kort egenskapene for differenslikninger av andre orden fortsatte med tilfelle II og III. Det ble lagt vekt p?t vi st?p?n del generelle egenskaper ved line? og algebraiske likninger. Eksempel 4.1.18 ble gjennomg? der vi l?et randverdiproblem. Deretter diskuterte vi kort utvidelser av standardlikningen i 4.1 (andre orden, line? homogen). Til slutt startet vi s?idt p?t enkelt eksempel med en inhomogen likning.

Mandag 6/9. Foreleser: Geir. Vi startet med definisjon av f?, f?som eksplisitte uttrykk deretter som rekursjon. Det siste er da en differenslikning. En line? f?ordens differenslikning ble satt opp og l?To enkle anvendelser ble knyttet til den. Et eksempel p?n annenordens differenslikning ble gitt i forbindelse med Fibonacchi tallene. Den generelle teori om line? andre ordens differenslikninger ble s?tviklet tom. tilfellet med to reelle r? i det karakteristiske polynomet (?t side 133 i l?boka).

Tirsdag 31/8. Foreleser: Knut. Jeg begynte med ?ise et eksempel p?va som skjer n?vi f?for store heltall i Java - ingen feilmelding, bare feil svar. Deretter gikk vi over til representasjon av desimaltall (seksjon 2.3 i kompendiet). Jeg snakket f?om desimaltall p?ormalisert form og hvordan dette gir oss et godt utgangspunkt for ?inne fram til en intern representasjon p?atamaskin. Vi tenkte oss s?t vi hadde en fiktiv maskin som regnet med 4 fire desimale sifre og en eksponent med ett siffer og s?t dette i visse situasjoner kan gi kritiske regnefeil. Til slutt ga jeg prinsippene for hvordan desimaltall representeres bin? med 32 eller 64 bits.

Mandag 30/8. Foreleser: Knut. Jeg snakket f?litt mer om kompletthet og det faktum at ethvert reelt tall er grenseverdi for en f?av rasjonale tall. Deretter gikk vi raskt gjennom aksiomene for de reelle tallene f? gikk over p?t annet aspekt av tall, nemlig representasjon i datamaskin (kapittel 2 i kompendiet). Jeg snakket f?litt om tallsystemer og det faktum at vi i totallssystemet bare trenger de to sifrene 0 og 1, noe som gj? slik representasjon robust overfor st?r tall skal overf?fra et medium til et annet. Vi s?eretter litt mer spesifikt p?epresentasjon av heltall i Java, og snakket om Java-variabeltypene int (32 bin? sifre) og long (64 bin? sifre).

De siste 10 minuttene brukte jeg til ?i en overordnet oversikt av matematikk slik vi presenterer det for dere dette semesteret. Den presentasjonen vil jeg legge ut p?jemmesida med h?om at den kan v? til hjelp n?dere ikke skj? hvorfor vi gj?t vi gj?/p>

Tirsdag 24/8. Foreleser: Knut. I dag begynte jeg med ?rate om rasjonale og irrasjonale tall. Jeg gjennomgikk setning 2.2.1 og korollar 2.2.2 med bevis, og beviste deretter at kvadratroten av 2 er irrasjonal (teorem 2.2.4). Resten av seksjon 2.2 gjennomgikk jeg uten bevis, og i seksjon 2.3 vektla jeg ideene.

Stoffet om reelle tall kan nok virke litt overveldende med sitt litt abstrakte fokus. Saken er at dette ligger i bunnen for veldig mye av det vi gj? matematikk, og det er viktig ?tvikle bevissthet om dette for ?unne bruke det p?iktig m?. Det er kanskje ogs??in plass ?inne om at mesteparten av resten av kurset nok minner mer om matematikken dere kjenner fra f?/p>

Mandag 23/8. Foreleser: Knut. Vi begynte med ?jennomg?eksjon 1.4 i Kalkulus om Pascals trekant og binomialformelen. For ?evise Lemma 1.4.4 regnet jeg bare ut h?iden av formel (1) i boka og sjekket at den stemte med venstresiden. Jeg gikk ikke gjennom beviset for binomialformelen.

Etter pause begynte jeg p?apittel 2 om reelle tall og ble ferdig med seksjon 2.1. Innimellom gjennomgikk jeg ogs?nduksjonsbeviset i eksempel 1.2.4.

Tirsdag 17/8. Foreleser: Knut. I dag var hovedtema induksjon. Hele f? time og f? halvpart av andre time brukte jeg p? gjennomg?t induksjonsbevis (for ?evise at formelen for de n f? naturlige tallene er riktig, se her). Induksjon er s?eles eksamensrelevant, s?obb mye med dette stoffet!

Etter induksjon gikk vi litt tilbake til summetegnet og viste hvorfor regel ii for summetegn er riktig (se nederst p?ide 22 i Kalkulus). Til slutt gjennomgikk jeg eksempelet p?ide 23 i Kalkulus om bytte av summasjonsindeks.

Mandag 16/8. Foreleser: Knut. S?r vi i gang! Jeg begynte med ?resentere de to foreleserne (Geir Pedersen og meg selv) f?g brukte ca 45 min. p?n del administrativ informasjon. I pause var det registrering av de oppm? og jeg avsluttet med ??jennom omtrent f? halvdel av seksjon 1.1 i Kalkulus om heltall og summetegn. Kommer litt tilbake til noe av dette i morgen og neste uke.

Dokument endret: 27. oktober 2004

Kontakt?UiO??? Hjelp

?