Pensum

Jeg anser forelesningene  for den kanoniske versjonen av pensum. Kompendiet og oppgavesamlingen er mindre viktige enn selve forelesningene. Min fremstilling av Kapittel 3 og Kapittel 7 erstatter Kapittel 3 og Kapittel 7 i kompendiet. Jeg tar utgangspunkt i mine forelesningsnotater (se denne mappen) og gamle eksamensoppgaver n?r jeg utarbeider eksamen.

Kapittel 1

Begreper og teoremer

• Vektorer.
• Matriser: Rad- og kolonne-vektorer. Diagonale matriser. Identitetsmatrisen. Den transponerte. Symmetriske matriser. Invertible matriser og invers. Ortogonale matriser.
• Determinant. Sammenheng mellom determinant og invertibilitet. 
• Householder-matriser.
• Line?re ligningssytemer. Matriseform.
• Spektralteori: Egenverdi, egenvektor, karakteristisk polynom.

Teknikker

• Vektorregning: Addisjon, skalarmultiplikasjon, prikkprodukt og norm.
• Matriseregning: Addisjon, skalarmultiplikasjon, matriseprodukt. Regneregler for transponert og invers. Invers av 2x2 matriser.
• Determinanter: Regne ut determinant. Regneregler for determinanter.
• L?se line?re ligningssytemer. (Kjempeviktig!)
• Regne ut karakteristiske polynomer. Finne egenverdier og egenvektorer.

Kapittel 2

Begreper og teoremer

• Diskrete dynamiske systemer: Boksdiagram og overgangsmatrise.
• Likevektstilstand.
• Komponentsum.
• Stokastiske matriser.

Teknikker

• Oversette fra boksdiagram til overgangsmatrise (og motsatt).
• Finne likevektstilstander.
• Bruke spektralteori til ? analysere diskrete dynamiske systemer.

Kapittel 3

Begreper og teoremer

• Line?rt uavhengige mengder. Span.
• Underrom av R^n. 
• Basis.
• Dimensjon.
• Standardbasis for R^n.
• Line?re avbildninger.
• Kolonnerom og rang.
• Nullrom og nullitet.
• Dimensjonsteoremet.

Teknikker

• Sjekke om en mengde er line?rt uavhengig.
• Sjekke om en mengde er et underrom av R^n.
• Finne basis for et gitt underrom av R^n og bruke basis til ? regne ut dimensjon.
• Finne basis for kolonnerom.
• Finne basis for nullrom.
• Bruke dimensjonstoremet.

Merk at nesten alle disse handler om ? l?se det riktig line?re ligningssytemet og fortolke svaret.

Kapittel 4

Begreper og teoremer

• Avstand mellom to punkter.
• Isometrier. Representasjon som m(x) = Ax+b for A ortogonal.
• Ortogonale matriser som rotasjon og speiling.
• Klassifisering av isometrier (Identitetsavbildningen, speiling om linje, rotasjon om punkt, translasjon, glidespeiling.)
• Fikspunkter. Sammenheng mellom fikspunkter og klassifiseringen.
• Orden til isometri. Vite hva slags orden de forskjellige isometriene kan ha.

Teknikker

• Sjekke om en gitt avbildning er en isometri.
• Finne formel for en gitt isometri (speiling om gitt linje, rotasjon om gitt punkt, glidespeiling).
• Regne ut fikspunktmengder til en isometri og bruke dette til ? klassifisere isometrien.
• Finne orden til en isometri.

Kapittel 5

Begreper og resultater

• Ortonormal basis.
• Kryssprodukt. Sammenheng mellom kryssprodukt og ortogonalitet.
• Normalvektor og plan. Planligning.
• Determinant, egenverdier og egenvektor for ortogonale 3x3-matriser.
• Ortogonal 3x3-matrise er rotasjon om en linje, speiling i plan eller rotasjons-speiling i et punkt.
• Representasjon av isometrier som m(x)=Ax+b for ortogonal 3x3 matrise.
• Klassifisering av isometrier (identitetsavbildning, speiling i et plan, rotasjon om en linje, translasjon, glidespeiling i et plan, skrurotasjon langs ei linje).
• Fikspunkter. Sammenheng mellom fikspunkter og klassifiseringen.

Teknikker

• Regne ut kryssprodukter.
• Finne ortonormal basiser. 
• G? fra normalvektor til planligning og fra planligning til normalvektor.
• Regne ut fikspunktmengder til en isometri og bruke dette til ? klassifisere isometrien.

Kapittel 6

Begreper og resultater

• Gruppe. Abelsk gruppe. Undergruppe.
• Orden til gruppe og orden til element. 
• Lagranges teorem.
• Viktige grupper:
  • Sykliske grupper Z_n.
  • Symmetrigruppen til en mengde i planet eller i rommet.
  • Dihedrale grupper (spesielt D₃: symmetrigruppen til en trekant).
  • Permuasjonsgrupper S_n.
  • Ortogonale grupper O(2) og O(3) og spesielle ortogonale grupper SO(2) og SO(3). (Orienteringsbevarende og orienteringsreverserende symmetrier.)
  • Symmetrigrupper.

Teknikker

• Sjekke om en gruppe er abelsk.
• Regne med permutasjonsnotasjon.
• Finne symmetrigruppen til begrensede mengder i planet og i rommet.
• Finne orden til rotasjon og speiling.

Kapittel 7

Begreper og resultater

• Indreproduktrom.
• Sammenheng mellom norm og indreprodukt.
• Indreproduktrommet C([a,b]).
• Cauchy¨CSchwarz ulikhet.
• Vinkel og ortogonalitet i indreproduktrom.
• Trekant-ulikheten.
• Ortonormale mengder.
• Ortogonal projeksjon.
• Sammenheng mellom ortogonal projeksjon og avstand fra vektor til underrom (Teorem 7.3.5).

Teknikker

• Regning i generelle indreproduktrom.
• Regning i R^n og C([a,b]).
• Regne ut ortogonale projeksjoner.
• Finne avstand fra vektor til underrom.