P? denne siden vil du finne korte rapporter fra forelesningene i omvendt kronologisk rekkef?lge (de nyeste ?verst). Det er ikke mening at disse rapportene skal kunne erstatte forelesningene, men de skal gi deg et godt inntrykk av hva som ble gjennomg?tt dersom du ikke kunne v?re til stede.
Onsdag 1/12:
Jeg gikk gjennom kontinuasjonseksamen fra ifjor (rakk hele del 2, men bare litt av del 1). En fasit (med noen hint om l?sningsmetoder) ligger her . Den kan inneholde feil — jeg fant ikke fasiten fra ifjor og m?tte lage en ny i full fart!
Mandag 29/11:
I dag repeterte jeg resten av pensum, dvs. kapittel 8 og 9 i Kalkulus pluss heftet om funksjoner av flere variable. Jeg la vekt p?:
Integrasjon ?vre og nedre trappesummer, definisjon av integral, Riemann-summer. Analysens fundamentalteorem. Anvendelser: omdreiningslegemer om x- og y-aksen, buelengde (v?r oppmerksom p? at disse formlene ikke st?r p? formelarket). Integrasjonsteknikker: Delvis integrasjon, substitusjon, delbr?koppspalting. Uegentlige integraler.
Funksjoner av flere variable: Niv?kurver og konturer. Partiellderiverte og retningsderiverte. Gradienten og dens geometriske betydning (Her er det fire punkter: (i) Gradienten peker i den retningen hvor funksjonen vokser raskest ((ii) Lengden til gradienten angir hvor raskt funksjonen stiger i den bratteste retningen (iii) Gradienten st?r normalt p? niv?kurven gjennom punktet (iv) den retningsderiverte i retning r er prikkproduktet av gradienten og r). Kjerneregelen. Annenderiverttesten. Lagranges multiplikatormetode.
Til slutt snakket jeg litt om eksamen. Oppgavesettet har akkurat samme format som ifjor. F?rste del best?r av 10 flervalgsopgaver som hver teller 3 poeng. Disse oppgavene er hentet fra siste del av pensum (dvs. kapittel 8-9 i Kalkulus eller heftet om funksjoner av flere variable). Andre del av eksamen best?r av "vanlige" oppgaver hentet fra hele pensum. Her er det 7 delsp?rsm?l (1a), 1b), 2a) osv.) som teller 10 poeng hver. I gjennomsnitt er nok flervalgsoppgavene enkleste, men det finnes vanskelige punkter der ogs?. Til gjengjeld finnes det en del greie punkter blant de vanlige oppgavene. Disse er det viktig at du f?r med deg siden de teller mye. Bruk derfor ikke altfor mye tid p? flervalgsdelen f?r du begynner p? del 2. I flervalgsdelen er det ingen ""straff" for ? tippe; du f?r 0 poeng om du svarer galt eller lar v?re ? svare. Du b?r derfor svare p? alle sp?rsm?lene i denne delen (selv om det betyr at du m? tippe p? noen).
Forberedelser f?r eksamen: Kikk p? eksamensoppgavene fra ifjor (b?de pr?veeksamen, ordin?r eksamen og kontinuasjonseksamen) slik at du er vant til pr?veformen. Se ogs? grundig p? formellarket slik at du vet hva som st?r der (arket blir lagt ved eksammenssettet s? du beh?ver ikke ha det med deg.) Ellers: regn oppgaver, kikk i boken eller notatene dine n?r det er noe du ikke skj?nner, og bruk orakeltjenesten om du fortsatt st?r fast.
Onsdag 1/12 er det ikke noe organisert opplegg, men jeg er til stede i auditoriet for ? svare p? sp?rsm?l. Er det d?rlig med sp?rsm?l, regner jeg kontinuasjonseksamen fra ifjor.
Onsdag 24/11:
Jeg repeterte til og med kapittel 7 i Kalkulus. La vekt p? f?lgende:
Komplekse tall: Kartesisk form (a+ib) og polarform. Divisjon av komplekse tall. Kompleks eksponentialfunksjon. De Moivres formel. n-te r?tter av komplekse tall. Algebraens fundamentalteorem i kompleks og reell form.
Reelle tall og f?lger: Kompletthetsprinsippet, teoremet om at monotone begrensede f?lger konvergerer.
Funksjoner: Kontinuerlige og deriverbare funksjoner (b?de formell definisjon og grafisk representasjon). Kurvedr?fting (voksende/avtagende, konveks/konkav, skr?asymptoter). De sentrale setningene: Skj?ringssetningen, Ekstremalverdisetningen, Middelverdisetningen.
Grenser: L'Hopitals regel, triksene med ? faktorisere ut h?yeste potens og med ? multiplisere med den konjugerte.
Omvendte funksjoner: Injektivitet, definisjon av omvendt funksjon, formel for den deriverte til en omvendt funksjon.
Arcus-funksjoner: Definisjon, grafer, formel for den deriverte.
Uoppstilte oppgaver: Maks/min-oppgaver, koblede hastigheter.
Mandag 22/11:
I dag avsluttet vi pensumgjennomg?elsen. De to neste gangene (onsdag 24. og mandag 29.) vil bli brukt til repetisjon.
Jeg brukte forelesningen til ? gjennomg? Lagranges multiplikatormetode (kapittel 4 i heftet). Etter ? ha forklart ideen bak metoden geometrisk, formulerte jeg Setning 4.2 (uten bevis). Som et eksempel fant jeg maks og min til funksjonen f(x,y)=3x+2y p? kurven x^2+y^2=1. Etter pause regnet jeg et mer sammensatt eksempel der vi skulle finne maks. og min til funksjonen f(x,y)=4x^2+y^2+16y over omr?det 4x^2+9y^2≤900. Her fant jeg f?rst mulige ekstremalpunkter i det indre ved ? sette gradienten til f lik null. Deretter fant jeg mulige ekstremalpunkter p? randen ved hjelp av Lagranges metode. Til slutt sammenlignet jeg verdien til funksjonen i de aktuelle punktene ved og fant det globale maks.- og min.-punktet.
Jeg nevnte raskt hvordan Lagranges metode blir seende ut n?r man har flere betingelser, og avsluttet deretter ved ? gjennomg? oppgave 4.7 i heftet.
Onsdag 17/11:
Jeg gikk f?rst gjennom annenderiverttesten for funksjoner av to variable og regnet et eksempel med den. Deretter gikk jeg over til ? forklare hvordan man kan finne (globale) maks/min-punkter til kontinuerlige funksjoner definert p? et lukket, begrenset omr?de (if?lge ekstremalverdisetningen m? slike punkter finnes). Vi gj?r dette ved f?rst ? finne de kritiske punktene i det indre av omr?det (det er de punktene der gradienten er null eller ikke eksisterer). Deretter finner vi de mulige ekstremalverdiene p? randen av omr?det (vi skal se p? en generell teknikk for ? gj?re dette p? mandag - forel?pig f?r vi n?ye oss med smarte knep). S? sammenligner vi verdiene i de punktene vi n? har; den st?rste verdien tilh?rer de(t) global(e) makspunktet(/ene), men den minste verdien gir globale min-punkter. Dersom det finnes mange stasjon?re punkter i det indre, kan det v?re lurt f?rst ? bruke annenderiverttesten slik at vi vet hvilke som er "verdige" kandidater. Etter denne generelle dr?ftingen regnet jeg et eksempel der omr?det var et kvadrat. I dette tilfellet kunne vi finne kandidatpunkter p? randen ved ? bruke en-variabel-teknikker.
Etter pausen snakket jeg om uoppstilte maks/min-problemer. Her valgte jeg ? illustrere teknikkene ved ? gjennomg? eksempel 3.9 i heftet. Dette eksempelet illustrerer godt hvordan man tenker i slike oppgaver (og hva slags problemer man kan st?te p?!).
Til mandag gjennomg?r jeg kapittel 4. Dermed er vi ferdig med pensumgjennomgangen. Onsdag 24. og mandag 29. vil jeg bruke til en rask, men systematisk repetisjon. Onsdag 1/12 er dagen f?r INF1000-eksamen og jeg vil derfor ikke ha noen systematisk gjennomg?else. Jeg vil imidlertid v?re til stede i auditoriet for ? svare p? sp?rsm?l, eventuelt regne noen gamle eksamensoppgaver. Se ogs? oversikten over orakel-tjeneste f?r eksamen (lenke under "Beskjeder").
Mandag 15/11:
Jeg viste f?rst at gradienten til en funksjon st?r normalt p? niv?kurven gjennom punktet (dette er en liten ?velse i kjerneregelen). Deretter snakket jeg om partiellderiverte av annen orden. Jeg regnet ut disse for en funksjon av to variable og skrev opp den generelle definisjonen. Deretter formulerte jeg setningen som sier at blandede partiellderiverte er like n?r de er kontinuerlige i en omegn om det punktet vi er interessert i. S? definerte jeg Hesse-matrisen og regnet et eksempel.
Etter pausen begynte jeg p? kapittel 3. Jeg definerte f?rst lokale maksimums- og minimumspunkter og formulerte setning som sier at et lokalt ekstrempunkt er enten et randpunkt eller et punkt der gradienten ikke eksisterer eller et punkt der gradienten er null. Jeg viste s? gjennom to eksempler hvordan man finner de punktene der gradienten er null.
Jeg regner med ? bli ferdig med kapittel 3 (og kanskje f? begynt p? kapittel 4) til onsdag.
Onsdag 10/11:
Repeterte f?rst at gradienten peker i den retningen hvor funksjonen vokser hurtigst (og at stigningstallet i denne retningen er lengden til gradienten) og regnet et eksempel der man skulle finne denne retningen. Deretter snakket jeg litt om tangentplan. Her konsentrerte jeg meg om setning 2.61 (som jeg argumenterte litt l?selig for). Jeg regnet et eksempel av samme type som 2.62 i heftet.
Jeg begynte s? p? dagens store tema — kjerneregelen i flere variable. Jeg presenterte den f?rst for tilfellet f(g(x,y),h(x,y)) og viste hvordan man fant de partiellderiverte i et eksempel. Etter pausen presenterte jeg det generelle tilfellet og regnet et nytt eksempel (av omtrent samme vanskelighetsgrad som 2.68). Deretter ga jeg et argument (ikke et stringent bevis) for hvorfor kjerneregelen er som den er. Til slutt forklarte jeg at den egentlige nytten av kjerneregelen i flere variable ikke best?r i at vi kan bruke den til ? regne ut partiellderiverte til konkrete funksjoner (det kan vi alltid greie uten kjerneregelen), men at vi kan bruke den til ? utlede generelle sammenhenger. Tok et eksempel av samme type som oppgave 2.21.
P? mandag snakker jeg f?rst (ganske kort!) om seksjon 2.4.10. Deretter begynner jeg p? seksjon 2.5 om annenderiverte av funsjoner av flere variable. Kanskje rekker vi ogs? ? komme i gang med kapittel 3.
Mandag 8/11:
Jeg begynte med ? formulere ekstremalverdisetningen for funksjoner av to variable. Skisserte ideen i beviset, men gikk ikke inn p? detaljene. Deretter begynte jeg p? avsnittet om derivasjon. Jeg definerte f?rst den retningsderiverte og viste hvordan man kan bruke definisjonen til ? regne ut den retningsderiverte til f(x,y)=x^2y i punktet (2,1) og retningen (1,-1). Deretter snakket jeg om partiellderiverte og viste hvordan disse kan beregnes ved ? derivere med hensyn p? én variabel mens alle de andre regnes som konstanter. Regnet et eksempel av samme type som 2.47. Jeg definerte s? gradienten og regnet et eksempel av samme type som 2.53 og 2.54. Etter ? ha innf?rt C^1-funksjoner formulerte jeg setning 2.55 og ga et intuitivt argument (men ikke et fullstendig bevis). Jeg regnet et eksempel av samme type som 2.58. Til slutt beviste jeg setning 2.56 (men rakk ikke ? regne et eksempel).
Neste gang snakker jeg litt mer om geomtrisk tolkning av gradienter (2.56 og 2.61 i heftet). Deretter begynner jeg p? kjerneregelen (seksjon 2.4.8) og h?per ogs? ? rekke litt av seksjon 2.5. De *-merkede delene av heftet er ikke eksamensrelavant (men man l?rer mye av ? lese dem!)
Onsdag 3/11:
I dag begynte jeg p? kapittel 2 i heftet. Jeg definerte f?rste indre punkter, ytre punkter og randpunkter til en mengde, og brukte s? dette til ? definere ?pne og lukkede mengder. Disse mengdene spiller p? mange m?ter samme rolle i teorien for funksjoner av flere variable som ?pne og lukkede intervaller spiller i teorien for funksjoner av en variabel. Legg for ?vrig merke til at det ikke er slik at en mengde enten er ?pen eller lukket — de fleste mengder er ingen av delene!
Jeg gikk deretter l?s p? grenseverdier for funksjoner av flere variable. Her definerte jeg f?rst akkumulasjonspunkter (som er de naturlige punktene ? definere grenseverdier i) og definerte deretter grenseverdier. Legg merke til at definisjonen er n?yaktig den samme som for funksjoner av en variabel. Deretter skrev jeg opp Setning 2.23 og viste hvordan den kan brukes til ? finne grenseverdier ved ? se p? et eksempel av samme type som 2.24-2.26 i heftet. Deretter s? jeg p? grenseverdier av typen "0/0" ved ? gjennomg? eksempler av samme type som 2.28 og 2.29 i heftet. Spesielt la jeg vekt p? teknikken med ? skifte til polarkoordinater i eksempel 2.28. Jeg nevnte ogs? fenomenet i eksempel 2.30 (at funksjonen g?r mot null langs alle rette linjer, men ikke langs en parabel) uten ? gjennomg? regningene.
Til slutt definerte jeg kontinuitet av funksjoner av flere variable, skrev opp setningene 2.32 og 2.33, og viste hvordan de kan brukes p? et eksempel av samme type som 2.35.
Neste gang begynner jeg p? avsnitt 2.3.1 og gj?r meg raskt ferdig med det f?r jeg g?r l?s p? 2.4. Mange synes sikkert det g?r litt fort for tiden, men jeg vil gjerne raskt frem til seksjon 2.4 der det mest eksamensrelevante stoffet er. N?r vi er kommet frem dit, sl?r jeg ned farten!
Mandag 1/11:
I dag begynte jeg p? heftet om funksjoner av flere variable. Heftet er ganske innholdsrikt sammenlignet med den tiden vi har til r?dighet, og det vil nok derfor bli st?rre forskjell p? l?rebok og forelesning enn hva det har v?rt hittil. P? den annen side er dette typisk "eksempelmatematikk" der man l?rer mer fra eksempler enn fra definisjoner og teoremer, og det er derfor fint ? ha et hefte med mange eksempler selv om vi ikke rekker ? gjennomg? alle p? forelesning.
Etter ? ha snakket litt uformelt om funksjoner av flere variable, snakket jeg litt mer utfyllende om n-tupler enn det som st?r i heftet. Deretter definerte jeg funksjoner av n variable generelt, og regnet et eksempel der man skulle finne definisjonsmengden til en funksjon. S? tok jeg fatt p? den grafiske fremstillingen av funksjoner i to variable. Jeg bytttet om rekkef?lgen i heftet og snakket om niv?kurver f?r konturer. Som eksempler tegnet jeg grafene til z=x^2+y^2 og z=xy. Til slutt snakket jeg litt om polarkoordinater i planet, samt sylinder- og kulekoordinater i rommet. Bortsett fra polarkoordinater skal vi bruke disse koordinatssystemene lite i dette kurset, men det er greit ? vite at de finnes.
Ellers understreket jeg at det er lov ? bruke lommeregneren som hjelpemiddel n?r man skal tegne flater. Mange lommeregnere kan tegne tre-dimensjonale flater, men disse figurene kan v?re vanskelige ? tolke. Man kan ogs? bruke lommeregneren som et hjelpemiddel til ? tegne niv?kurver og konturer.
Jeg regner meg n? ferdig med kapittel 1 i heftet. P? onsdag starter jeg p? kapittel 2.
Onsdag 27/10:
Som et eksempel p? hvordan substitusjon kan bringe oss over til et integral som kan l?ses ved delbr?koppspalting, regnet jeg f?rst ut integralet til 1/sin x (gang over og under br?kstreken med sin x, skriv nevneren som 1-cos^2x og sett u=cos x). Deretter oppsummerte jeg alle trinnene i delbr?koppspalting. Jeg understreket at integrasjon av uttrykk p? formen (Ax+B)/(x^2+ax+b)^m der m>1, ikke vil bli krevet til eksamen, men at det er greit ? vite at en l?sningsmetode finnes (se Kalkulus side 403-405).
Jeg begynte s? p? seksjon 9.5 (9.4 er ikke pensum, men inneholder triks det kan v?re lurt ? kikke p? om man har overskudd). Etter ? ha gjennomg?tt Definisjon 9.5.1, regnet jeg eksempler av samme type som 9.5.2 og 9.5.3. Deretter beviste jeg Setning 9.5.4. Jeg gikk ogs? gjennom definisjon 9.5.6 og regnet eksempel 9.5.7. V?r oppmerksom p? at pensum stopper f?r sammenligningskriteriet p? side 426.
Vi er n? ferdig med pensum fra Kalkulus. P? mandag begynner jeg p? pensumet fra flervariabelheftet. Vi er i rute etter tidsplanen.
Mandag 25/10:
I dag gjennomgikk jeg delbr?koppspalting. Jeg forklarte f?rst hva en rasjonal funksjon er, og viste gjennom et eksempel (av samme type som 9.3.1) hvordan man kan bruke polynomdivisjon til ? s?rge for at graden til teller blir mindre enn graden til nevner. Deretter viste jeg hvordan man setter opp delbr?koppspalting i det generelle tilfellet (oppstillingen midt p? side 399 i boken). Som et eksempel p? hvordan man setter opp skjemaet og finner koeffisientene, viste jeg at (5x^3+20x^2+22x+6)/((x+2)^2(x^2+2x+2))=2/(x+2)+1/(x+2)^2+(3x-1)/(x^2+2x+2). Etter pausen forklarte jeg hvordan man integrerer uttrykk av typen (Ax+B)/(x^2+ax+b). F?rst s? jeg p? et tilfelle av samme type som eksempel 9.3.4 (dvs. der A=0), og deretter et av samme type som 9,3.5. En av grunnene til at delbr?koppspalting er viktig, er at teknikken ofte kan brukes i integraler som i utgangspunktet ikke best?r av rasjonale funksjoner etter at vi har substituert eller delvis integrert. Som et eksempel p? dette l?ste jeg integralet til ln(x^2+2x+2) (begynte med delvis integrasjon og fortsatte med polynomdivisjon og delbr?ksoppspalting).
Onsdag 20/10:
Jeg avsluttet f?rst gjennomgangen av buelengde og regnet eksempel 8.6.8 (det er ikke s? lett ? finne gode eksempler med buelengde!). Deretter begynte jeg p? seksjon 9.1 om delvis integrasjon. Etter ? ha utledet formelen, regnet jeg eksempler av samme type som 9.1.3, 9.1.4 og 9.1.5. Deretter viste jeg hvordan man bruker delvis integrasjon i bestemte integraler, og regnet integralet av (sin x)^2 fra 0 til π/2 som et eksempel. Jeg gikk s? over til ? snakke om substitusjon (seksjon 9.2). Etter ? ha gjennomg?tt formelen i setning 9.2.3, regnet jeg en del eksempler av samme type som 9.2.2, 9.2.4 og 9.2.5. Til slutt snakket jeg litt om hvordan vi substituerer i bestemte integraler (setning 9.2.7). Jeg regner med at jeg begynner p? delbr?koppspalting (seksjon 9.3) p? mandag.
Mandag 18/10
Jeg snakket f?rst om seksjon 8.5. Dette er ganske tungt stoff (s?rlig det som st?r i den *-merkede delen som ikke er pensum!), men alt dere beh?ver ? kunne er egentlig Korollar 8.5.4 som sier at Riemann-summene til en funksjon konvergerer mot integralet n?r maskevidden g?r mot null.
Jeg gikk s? over til ? snakke om anvendelsene i seksjon 8.5. F?rst snakket jeg litt om arealer der jeg f?rst og fremst understreket betydningen av ? holde styr p? fortegnet. Deretter utledet jeg formelen for volumet til et omdreiningslegeme om x-aksen. Som eksempel regnet jeg ut volumet til en kuleskalk. S? utledet jeg formelen for omdreiningslegeme om y-aksen og regnet ut volumet generert av f(x)=e^(-x^2) n?r 0≤x≤1. Til slutt begynte jeg p? avsnittet om buelengde der jeg kom frem til det f?rste uttrykket for Lambda(Pi) p? side 361. I alle utleggingene la jeg vekt p? ? vise hvordan Riemann-summer dukker opp p? en naturlig m?te.
Neste gang avslutter jeg avsnittet om buelengde og begynner p? kapittel 9.
Onsdag 6/10:
Jeg begynte med ? skrive opp analysens fundamentalteorem p? nytt. S? beviste jeg Korollar 8.3.4 og regnet noen enkle eksempler. Deretter begynte jeg p? seksjon 8.4 om ubestemte integraler der jeg fulgte fremstillingen i boken (bortsett fra at jeg hoppet over de hyperbolske og inverse hyperbolske funksjonene rett over setning 8.4.3). Jeg understreket nytten av ? "skifte variabel" slik som i kommentaren rett foran eksempel 8.4.6.
Etter pause snakket jeg om underveiseksammen. Jeg anbefalte alle ? regne underveiseksamen og pr?veunderveiseksamen fra ifjor. Jeg gikk raskt gjennom det pensumet vi har dekket til n?, og pr?vde ? si litt om mulige oppgavetyper. Til tross for denne lille repetisjonen, er vi i rute i forhold til tempoplanen.
To praktiske saker: Lommeregner (og andre hjelpemidler) er ikke tillatt til eksamen. Opplysninger om hvor dere skal sitte til eksamen, skal n? finnes p? studentweb.
Mandag 4/10:
Etter en ganske lang repetisjon av ?vre og nedre trappesummer og integraler, tok jeg utgangspunkt i definisjonen av integral. Jeg viste f?rst at det finnes ikke-integrerbare funksjoner (som i eksempel 8.2.2). Deretter viste jeg at alle voksende funksjoner er integrerbare (Setning 8.2.3) og forklarte videre at dette medf?rer at alle stykkevis monotone funksjoner er integrerbare. Jeg brukte s? litt tid p? ? understreke at det finnes mange kontinuerlige funksjoner som ikke er stykkvis monotone (f.eks. de i innledningen til kapittel 5). Etter pause snakket jeg f?rst litt uformelt om Analysens fundamentalteorem, gikk s? gjennom setning 8.3.1 uten bevis, og viste lemma 8.3.2. Deretter formulerte og beviste jeg analysens fundamentalteorem.
P? onsdag vil jeg snakke om korollar 8.3.4 og seksjon 8.4. Jeg regner ogs? med ? ha tid til en liten repetisjon f?r underveiseksamen.
Onsdag 29/9:
Etter en kort repetisjon, definerte jeg arccos og snakket litt om egenskapene til denne funksjonen. I mange samenhenger gir ikke arccos noe mer enn arcsin (og da bruker vi som regel arcsin), men spesielt i en del geometriske problemer kan det v?re mer naturlig ? bruke arccos. Det er derfor nyttig ? kjenne begge funksjonene. Jeg definerte deretter arctan, tegnet grafen og utledet formelen for den deriverte. Som eksempler regnet jeg ut den deriverte til arctan(√x) og grenseverdien til x(arcsin x - π/2) n?r x g?r mot uendelig. Deretter tok jeg et litt mer omfattende og geometrisk eksempel som minner sterkt om oppgave 6.7.13.
Etter pausen begynte jeg p? kapittel 8. Jeg tok utgangspunkt i arealberegninger og understreket sterkt at areal ikke er gudegitt, men et begrep som vi definerer. Deretter pr?vde jeg ? skissere hvordan man kan g? frem for ? definere arealet under en funksjonsgraf. Jeg innf?rte partisjoner, ?vre og nede trappesummer og rakk til slutt s? vidt definisjonen av ?vre og nedre integral og integrerbarhet. (Jeg har ikke gjennomg?tt seksjon 8.1. Den m? regnes som en motiverende innledning som leses etter lyst og behov.)
Vi ligger ca. en time foran tidsplanen.
Mandag 27/9:
Jeg gikk f?rst gjennom seksjon 7.4 om omvendte funksjoner. Etter ? ha forklart problemstillingen, definerte jeg injektive funksjoner og understreket at alle strengt monotone funksjoner er injektive. Deretter definerte jeg omvendt funksjon og forklarte de to m?tene man kan fremstille denne grafisk p? (se figur 7.4.1 og 7.4.2). Jeg gikk gjennom Teorem 7.4.4 uten bevis og 7.4.5 med bevis. Som eksempel viste jeg at f(x)=e^x+x^3+3 har en invers funksjon g (ved ? derivere og vise at f er strengt voksende) og fant g'(4) (if?lge Teorem 7.4.5 er g'(4) =1/f'(0)).
Seksjon 7.5 er selvstudium, s? jeg gikk direkte videre til seksjon 7.6. Her definerte jeg arcussinus og beviste setning 7.6.2. Derettter regnet jeg noen enkle eksempler med arcussinus for ? understreke at den kan behandles som alle andre funksjoner.
P? onsdag avslutter jeg seksjon 7.6 og begynner p? kapittel 8.
Mandag 20/9:
I dag regnet jeg bare eksempler. F?rst regnet jeg to uoppstilte maksimumsoppgaver med geometrisk tilsnitt. Den f?rste var eksamensoppgave 3 fra ifjor (du finner b?de oppgavetekst og l?sningsforslag her ). Deretter snakket jeg litt om koblede hastigheter (seksjon 7.2) og regnet fire eksempler. Det f?rste var nesten identisk med Eksempel 7.2.1, det andre var nesten identisk med oppgave 7.2.6, det tredje spurte om hvor mye radien til en kuleformet balong ?kte n?r vi viste hvor fort volumet ?kte, og den siste var oppgave 5 fra obligen ifjor (du finner oppgavetekst og l?sningsforslag her ).
Forelesningen p? onsdag er avlyst. P? mandag begynner vi p? seksjon 7.4 (Seksjon 7.3 tilh?rer MAT-INF 1100). Til tross for timene vi mister til onsdag er vi helt i rute etter fremdriftsplanen.
Husk at obligen skal leveres inn (senest) 1.oktober.
Onsdag 15/9:
Jeg brukte mesteparten av tiden p? seksjon 6.4 om kurvedr?fting. Dette er stoff de fleste har v?rt borti f?r, og jeg betrakter gjennomgangen som "repetisjon med litt utdyping". Jeg definerte f?rst lokale og globale maks- og min-punkter og gikk gjennom setningene 6.4.2 og 6.4.3. Deretter begynte jeg p? dagens eksempel som var dr?ftingen av funksjonen f(x)=x^(2/3)(1-x) (dette er en litt enklere versjon av Eksempel 6.4.4). Jeg brukte fortegnsskjema til ? finne hvor funksjonen og dens deriverte var positiv og negativ, lokaliserte alle kritiske punkter og dr?ftet dem. Deretter snakket jeg litt om konvekse og konkave funksjoner. Jeg hoppet over Lemma 6.4.6, men formulerte Setning 6.4.7 uten bevis. Jeg understreket hvor viktig det er i denne setningen at f''(x)≥0 (eller ≤0) for alle x i intervallet (se Eksempel 6.4.8). S? avslutttet jeg gjennomgangen av 6.4 ved ? fullf?re eksempelet om f(x)=x^(2/3)(1-x) (fant hvor funksjonen er konveks og konkav).
Helt til slutt begynte jeg p? Seksjon 7.1 (Seksjon 6.5 er selvstudium). Her er det ikke noen ny teori, men vi trenger litt mer trening i ? oversette "virkelige" problemer til matematikk. Jeg rakk bare ? g? gjennom et eksempel av samme type som oppgave 7.1.6.
P? mandag fortsetter jeg med flere eksempler p? maks.- min.-problemer fra 7.1, og g?r deretter over til ? snakke om 7.2. Jeg regner med ? bli mer eller mindre ferdige med den seksjonen ogs?. Det betyr at vi vil v?re omtrent i rute til tross for at forelesningen onsdag 22/9 faller bort.
Mandag 13/9:
I dag gikk jeg gjennom seksjon 6.3 om L'Hopitals regel. Etter f?rst ? ha snakket litt om ubestemte uttrykk "0/0", "uendelig/uendelig", "0 ganger uendelig", "uendelig - uendelig", "1^uendelig" "0^0"og "uendelig opph?yd i 0", beviste jeg Cauchys middelverdisetning og formulerte L'Hopitals regel (jeg slo sammen 6.3.2, 6.3.5 og 6.3.7 til en formulering for ? spare tid). Etter noen enkle eksempler p? hvordan regelen brukes (lim sin x/x n?r x g?r mot null og lim e^x/x n?r x g?r mot uendelig), gjennomgikk jeg beviset for versjonen i 6.3.2. S? tok jeg fatt p? litt mer kompliserte eksempler. F?rst beregnet jeg lim (ln x-1+x)/(x-1)^2 n?r x->1 som eksempel p? oppgaver der man m? bruke L'Hopital flere ganger. Deretter tok jeg eksempel 6.3.9 i boken som et eksempel p? "0 ganger uendelig"-uttrykk. Deretter regnet jeg lim(1-sin x)^(1/x) (x->0) og lim x^(sin x) (x->0^+) som eksempler p? eksponentialuttrykket. Jeg regnert ogs? lim(xsin(1/x)-x) (x->uendelig) som eksempel p? "uendelig-uendelig". Som et eksempel p? uttrykk der del l?nner seg ? forenkle f?r man deriverer, tok jeg lim(x-π/2)tan(x) (x->π/2) (skriv tan x=sin x/cos x og observer at sin x er "ufarlig" siden den g?r mot 1). Helt til slutt s? jeg p? et eksempel av samme type som 6.3,14 (men med funksjonen f(x)=(e^x sin x)/x).
P? onsdag g?r jeg gjennom hovedtrekkene i seksjon 6.4 (vi skasl ikke grave oss dypt ned i denne seksjonen) og rekker kanskje ? begynne p? 7.1. Seksjon 6.5 er selvstudium.
Onadag 8/9:
Repeterte f?rst definisjonen av derivert og brukte den til ? gj?re et eksempel av samme type som 6.1.7. Deretter gikk jeg gjennom Setning 6.1.8 (her er nesten det viktigste ? vite at omvendingen ikke gjelder: Det finnes funksjoner som er kontinuerelige, men ikke deriverbare!). Avsnittet om logaritmisk derivasjon (side 226) m? dere lese p? egen h?nd.
Jeg begynte s? p? seksjon 6.2 om Middelverdisetningen. Her fulgte jeg boken n?ye. Jeg gjennomgikk korollarene 6.2.4 og 6.2.5. De overrasket dere sannsynligvis ikke, men det er faktisk vanskelig ? bevise dem ordentlig uten ? bruke Middelverdisetningen. Jeg tok ogs? to eksempler som ikke st?r i Kalkulus: F?rste viste jeg |sin(x)-sin(y)|≤|x-y| (brukte Middelverdisetningen p? f(x)=sin x og utnyttet at |cos c|≤1 for alle c). Deretter gikk jeg raskt gjennom siste punkt p? pr?veeksamen fra ifjor (oppgavetekst og l?sningsforslag finner dere her ) : Dersom f' er begrenset p? et intervall [a,b], s? finnes det en konstant K slik at |f(x)-f(y)|≤K|x-y| for alle x,y i [a,b]. (Her bruker vi f?rst ekstremalverdisetningen for ? finne en K slik at |f'(x)|≤K for alle x i [a,b], og deretter Middelverdisetningen).
Mandag begynner jeg p? seksjon 6.3 om L'Hopitals regel. Vi er n? ferdig med den verste teoridelen, og skal g? l?s p? litt mer regnepreget stoff. Det betyr ogs? at vi kommer til oppgaver som er enklere ? f? til.
Mandag 6/9:
Repeterte f?rst ekstremalverdisetningen og regnet et eksempel av samme type som oppgavene i 5.3.1 (poenget her er ? sjekke at funksjonen er kontinuerlig og definert p? et lukket begrenset intervall - ikke ? derivere uttrykket for ? finne maks- eller min-punktet). Deretter begynte jeg p? seksjon 5.4. Her er det mange definisjoner, og jeg innskrenket meg til de viktigste. Jeg gikk f?rst gjennom definisjon 5.3.1 og regnereglene 5.4.3. Som eksempler s? jeg p? grenseverdien av (e^(x^2)+ln(x))/(√(x^2+3)) n?r x g?r mot 2 (her kan vi bare sette inn x=2 i uttrykket) og grenseverdien til (x^2+7x^3)/(4x^2+5x^4) n?r x g?r mot null (trikset her er ? faktorisere ut den laveste potensen av x i teller og nevner, og s? arbeide videre med det forkortede uttrykket).
Jeg innf?rte s? ensidige grenser ganske uformelt og beregnet grenseverdien av (√x - √(x+x^2))/x^(3/2) n?r x g?r mot null ovenfra (her er trikset ? gange med den konjugerte av telleren opp og nede). Deretter forklarte jeg at den tosidige grensen eksisterer hvis og bare hvis de to ensidige grensene eksisterer og er like (se boka ?verst p? side 202). Som et eksempel viste jeg at funksjonen som er lik (x+3x^3)/(2x+3x^2) for x < 0 og sin(x)/2x for x > 0, har grenseverdi 1/2 n?r x g?r mot 0. Jeg gikk s? gjennom observasjon 5.4.7 i boka og tok et eksempel av samme type som 5.4.8. Det finnes ogs? en del andre definisjoner i kapittel 5.4, men de m? dere lese p? egen h?nd (de fleste vet dere litt om fra f?r).
Til slutt begynte jeg p? kapittel 6 der jeg gikk gjennom definisjonen av derivert, brukte definisjonen til ? regne ut den deriverte til f(x)=x^2 i punktet a=3, og gikk gjennom regnereglene 6.1.2-6.1.4. Til slutt regnet jeg et eksempel av samme type som 6.1.5.
P? onsdag snakker jeg litt mer om derivasjon og fortsetter s? p? seksjon 6.2 om middelverdisetningen.
Derivasjon er viktig stoff, men de fleste er gode til ? derivere fra f?r. Det er derfor viktig at de som er litt rustne, trener en del p? egen h?nd.
Onsdag 1/9:
Repeterte f?rst Skj?ringssetningen og brukte den til ? vise at f(x)=e^x-3x har et nullpunkt i intervallet [0,1]. Jeg understreket at det i praktisk oppgavel?sning l?nner seg ? se n?ye p? hva oppgaven ber om - sier den "Finn nullpunktet..." skal vi sannsynligvis l?se en ligning, sier den "Vis at f(x) har et nullpunkt..." er det sannsynligvis umulig ? l?se ligningen, og vi m? bruke Skj?ringssetningen eller et lignende resultat for ? argumentere for at et nullpunkt finnes. Jeg gikk ogs? gjennom Korollar 5.2.2 og et eksempel av samme type som 5.2.3. Avsluttet s? seksjon 5.2 ved ? gjennomg? eksempel 5.2.4 og bevise Amperes teorem. Det siste finner du ikke i boka, men det ble gitt som siste oppgave p? kontinuasjonseksamen ifjor. Du finner det her .
Etter pause begynte jeg p? seksjon 5.3 om Ekstremalverdisetningen. Jeg viste f?rst gjennom eksempler at funksjoner generelt kan v?re ubegrenset, eller v?re begrenset uten ? ha maksimumspunkt. Deretter skrev jeg opp Ekstremalverdisetningen (som sier at en kontinuerlig funksjon definert p? et lukket begrenset intervall er begrenset og har maksimums- og minimumspunkter) og beviste den. Her avvek jeg litt fra boka ved at jeg slo sammen bevisene for setning 5.3.2 og Ekstremalverdisetning til ett argument slik som er antydet i Bemerkningen p? side 196.
P? mandag snakker jeg f?rst ?rlite grann mer om ekstremalverdisetningen. Jeg vil ogs? pr?ve ? forklare litt n?rmere hvorfor abstrakte setninger som Skj?ringssetningen og Ekstremalverdisetningern er nyttige. Deretter begynner jeg p? seksjon 5.4. Vi ligger fortsatt litt foran tidsplanen, og det er bra med tanke p? den forelesningen vi mister 22. september.
Mandag 30/8:
Jeg repeterte f?rst definisjonen av kontinuitet og gikk deretter gjennom to eksempler av samme type som de to i notatet om kontinuitet. Jeg gikk s? gjennom Setning 5.1.2 og 5.1.4 (begge uten bevis) og tok et eksempel av samme type som 5.1.3 og 5.1.5.
Etter pausen gikk jeg gjennom Observasjonn 5.1.6 og beviste Setning 5.1.7. Jeg avsluttet seksjon 5.1 med Definisjon 5.1.8 og en advarsel om terminologibruken: Legg merke til at if?lge Definisjon 5.1.8 er f(x)=1/x en kontinuerlig funksjon til tross for spranget n?r x passerer origo!
Til slutt begynte jeg p? Seksjon 5.2 der jeg rakk ? formulere og bevise Skj?ringssetningen. P? onsdag fortsetter jeg med 5.2 og blir sannsynligvis ogs? ferdig med 5.3.
Vi er n? i den meste teoretiske delen av kurset. De som synes dette blr t?rt (eller vanskelig!), kan tr?ste seg med at vi snart kommer til annen type stoff.
Torsdag 26/8:
Etter en kort repetisjon gikk jeg f?rst gjennom regnereglene for grenseverdier (4.3.1) og regnet deretter eksempler av samme type som 4.3.4, 4.3.5 og 4.3.8. Deretter beviste jeg Teorem 4.3.9.
Etter pausen begynte jeg p? kapittel 5. Jeg brukte litt tid p? ? dr?fte hva en funksjon er og p? ? gi eksempler p? definisjonsmengder og verdimengder. Deretter snakket jeg litt uformelt om kontinuitet. Til slutt gjennomgikk jeg definisjon 5.1.1, som jeg vil vende tilbake til p? mandag. Det kan v?re lurt ? kikke n?rmere p? denne definisjonen og eksemplene i notatet om kontinuitet (klikk her ) f?r mandagsforelesningen.
Vi ligger n? en time foran tidplanen.
Onsdag 25/8:
Jeg skrev f?rst opp algebraens fundamentalteorem som vi gjennomgikk p? mandag. Deretter spurte jeg hva som skjer dersom vi starter med et reelt polynom og ?nsker oss en reell faktorisering. Det viser seg at det alltid finnes en slik faktorisering, men da m? vi tillate at faktorene er en blanding av f?rste- og annengradsuttrykk (setning 3.5.6 i Kalkulus). For ? bevise dette, viste jeg f?rst at dersom et komplekst tall a+ib er en rot i et reelt polynom, s? vil det konjugerte tallet a-ib ogs? v?re en rot. De komplekse r?ttene kommer alts? i konjugerte par. Ganger vi sammen faktorene (z -(a+ib)) og (z-(a-ib)), f?r vi et reelt annengradspolynom. Har vi funnet den komplekse faktoriseringen til et reelt polynom, kan vi alts? finne den reelle ved ? gange sammen de faktorene som h?rer til konjugerte par. Til slutt gjennomgikk jeg et eksempel som er en enklere variant av Eksempel 3.6.7 i boken: Vis at z=1+i er en rot i P(z)=z^3-5z^2+8z-6 og finn de andre r?ttene (de er 1-i og 3).
Etter pause snakket jeg f?rst litt generelt om hva komplekse tall er nyttige til. Deretter snakket jeg raskt litt om kompletthetsprinsippet i seksjon 2.3. Dette stoffet er egentlig pensum i MAT-INF 1100 og ikke hos oss, men vi m? vite litt om selve prinsippet for ? forst? en del av argumentene utover. Jeg begynte s? p? kapittel 4, der jeg f?rst tok for meg definisjonen av f?lger (side 125-126) og s? begynte p? seksjon 4.3 om konvergens av f?lger (seksjon 4.1-4.2 er pensum i MAT-INF 1100). Jeg gikk gjennom definisjon 4.3.1 og et eksempel av samme typen som 4.3.2.
P? torsdag avslutter jeg seksjon 4.3 (dere kan hoppe over eksempel 4.3.10 hvis dere ikke er spesielt interesserte) og begynner p? kapittel 5.
Mandag 23/8:
Jeg definerte f?rst n-te r?tter til komplekse tall og viste hvordan man kan finne en n-te rot (w_{0}) ved ? skrive tallet p? polarform og deretter ta kvadratroten til modulus og n-te delen til argumentet. Deretter viste jeg hvordan man kan f? de neste n-te r?ttene ved ? dreie den f?rste henholdsvis en n-te dels omdreining, to n-te dels omdreining osv. P? denne m?ten fikk vi formlene i Setning 3.4.2. Som et eksempel regnet jeg ut kvadratr?ttene til -8 (dette er et eksempel av samme type som 3.4.3 i Kalkulus). Deretter snakket jeg litt om komplekse annengradsligninger og fant l?sningene til ligningene x^2+2x+5=0 og z^2+2z-i√3=0. (Dersom du ikke var p? forelesning kan det v?re greit ? vite at den formelen for l?sningen av en annengradsligning som st?r nederst p? side 108 bare er en enkel omskrivning av den vanlige). Til slutt snakket jeg litt om algebraens fundamentalteorem (frem til "Reell faktorisering" p? side 114). Neste gang snakker jeg f?rst litt om reell faktorisering (uten ? grave meg for dypt ned) og regner et eksempel av type 3.5.7. Deretter snakker jeg litt om kompletthetsprinsippet i seksjon 2.3 (dette er egentlig ikke pensum i dette kurset, men vi trenger ? vite ?rlite om det) og deretter begynner jeg p? seksjon 4.3 (seksjon 4.1 og 4.2 h?rer til MAT-INF 1100). Hvis du leser foran p? egen h?nd, m? du huske ? ta med den f?rste siden i kapittel 4 f?r seksjonn 4.1 begynner (ellers s? vet du ikke hva en f?lge er!).
Torsdag 19/8:
Etter en kort repetisjon fra forrige gang, gikk jeg f?rst gjennom et eksempel av samme type som 3.2.4. Deretter snakket jeg litt om den geometriske tolkningen av |z-w| (avstanden mellom z og w) og brukte den til ? finne en geometrisk beskrivelse av mengden av alle z slik at |z-2i|<1 (dette er punktene inni sirkelen med radius 1 om punktet 2i). Jeg begynte s? p? seksjon 3.3 der jeg f?rst definerte den komplekse eksponentialfunksjonen e^z. Jeg understreket at vi ?nsket en definisjon slik at regneregelen e^(z+w)=(e^z)(e^w) fortsatt gjelder. Vi gikk gjennom eksempel 3.3.2 og observerte skrivem?ten z=re^(i theta). Deretter beviste jeg Setning 3.3.4 og De Moivres formel. Jeg gjennomgikk eksempel 3.3.6 og brukte De Moivres formel til ? regne ut (1+i√3)^17. Til slutt begynte jeg p? seksjon 3.4 og viste hvordan man kan finne kvadratr?tter til komplekse tall (fant kvadratr?ttene til i som et eksempel). P? mandag fortsetter jeg med seksjon 3.4 og h?per ogs? ? komme i gang med seksjon 3.5. Denne seksjonen skal vi ikke grave oss for dypt ned i, men det er nyttig ? v?re klar over hovedresultatene. Husk ? lese notatet om polynomdivisjon!
Onsdag 18/8:
I f?rste time snakket jeg f?rst om regnereglene i seksjon 3.1 og beviste blant annet regneregel 3.1.5(iii) om konjugasjon av produkter. P? slutten av timen tok jeg et raskt repetisjonskurs i trigonometri der jeg blant annet minnet om eksaktverdiene til sinus, cosinus og tangens av 0, π/6, π/4, π/3, π/2. Jeg minnet ogs? om hvordan vi generelt kan finne vinkelen n?r vi kjenner cosinus og/eller sinus, og minnet om formlene for sinus og cosinus til en sum. Var du ikke tilstede, kan du repetere det meste av dette ved ? se p? formelarket .
Etter pausen snakket jeg om seksjon 3.2. Jeg innf?rte Caspar Wessels geometriske tolkning og viste f?rst hvordan man kan fremstille addisjon, subtraksjon og kunjugasjon geometrisk. S? snakket jeg litt om komplekse tall p? polarform f?r jeg viste den geometriske tolkningen av multiplikasjon (Teorem 3.2.3). P? torsdag snakker jeg litt mer om seksjon 3.2, men g?r relativt raskt over til 3.3 og h?per ? bli ferdig med den seksjonen. I s? fall er vi i rute etter planen.
Mandag 16/8:
Jeg brukte f?rste time til ? snakke om kurset. Det meste av det jeg sa, finnes p? semestersiden der jeg ogs? vil legge ut det informasjonsarket som ble delt ut. Etter pausen begynte jeg p? kapittel 3 om komplekse tall. Jeg snakket f?rst litt om hvordan behovet for slike tall har dukket opp. Deretter begynte jeg p? seksjon 3.1 og demonstrerte p? talleksempler hvordan vi kan regne med uttrykk av typen z=a+ib.
Neste gang starter jeg med regnereglene 3.1.4, avslutter ganske raskt seksjon 3.1 og begynner deretter p? seksjon 3.2. Dette er litt vanskeligere stoff der blant annet sinus og cosinus spiller en sentral rolle. Hvis dere er litt rustne i trigonometri, kan det v?re lurt ? repetere litt f?r forelesningen. Husk ogs? p? "leksen" — dere skal lese notatet om polynomdivisjon p? egen h?nd!