?rets midtveiseksamen var en hjemmeeksamen med alle hjelpemidler tillatt. Det var derfor n?dvendig ? formulere noen oppgavetyper annerledes enn ellers for at man ikke skulle kunne l?se dem ved hjelp av noen f? tastetrykk. Det gjaldt spesielt oppgaver om komplekse tall og grenseverdier, samt noen oppgaver om de "nye" arcusfunksjonene som ikke er kjent fra videreg?ende skole (disse oppgavene har typisk dreid seg om derivasjon av sammensatte funksjonsuttrykk). For ? se hvordan de nye oppgavetypene slo ut, har jeg fors?kt ? sammenligne resultatene med tidligere eksamener. Jeg har ikke funnet brukbar statistikk fra alle ?r, men har data som kan brukes fra 2019, 2017, 2014, 2011 og 2007.
Som en r?ff sammenligning har jeg laget en oversikt som viser antall kandidater, gjennomsnittsk?r i prosent og "strykprosent" (dvs. andel studenter som sk?ret under 40%) i disse ?rene. Alle eksamenene p? listen har best?tt av flervalgsoppgaver med fem svaralternativer, men det har v?rt noen justeringer i antall oppgaver (i 2019 og 2021 var det 18 oppgaver istedenfor tidligere 20) og poengfordeling p? oppgavene.
| ?r | 2007 | 2011 | 2014 | 2017 | 2019 | 2021 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall levert | 386 | 476 | 552 | 600 | 536 | 439 |
| Gjennomsnittssk?r | 64% | 64% | 56% | 55% | 62% | 56% |
| "Strykprosent" | 17% | 13% | 24% | 22% | 19% | 23% |
Vi ser at 2019, 2011 og 2007 peker seg ut som "gode ?r", mens resultatene ellers er ganske sammenlignbare. Det mest bekymringsfulle for 2021 er hvor f? som har g?tt opp til midtveiseksamen sammenlignet med foreg?ende ?r.
De utradisjonelle oppgavene
Da jeg lagde ?rets oppgavesett, var det seks oppgaver jeg bevisst formulerte eller valgte ut annerledes enn tidligere ?r. Tre av disse oppgavene handlet om komplekse tall (oppgave 1, 2 og 3), én om omvendte funksjoner (oppgave 7) og to om grenseverdier (oppgave 10 og 11). I tillegg til at disse nye oppgavetypene er kommet inn, har det nok ogs? v?rt en viss glidning i de tradisjonelle oppgavene ved at regnetekniske oppgaver (som lett kan l?ses med programvare) er blitt erstattet med mer begrepsmessige oppgaver. Sidene studentene gjerne oppfatter begrepsmessige oppgaver som vanskeligere enn regneoppgaver, pr?vde jeg ? v?re forsiktig med hva slags oppgaver jeg puttet inn.
De tre "nye" oppgavene om komplekse tall hadde en gjennomsnittssk?r p? henholdsvis 93%, 75% og 79%, som er i det sjiktet hvor oppgaver om komplekse tall har ligget p? tidligere eksamener. De to f?rste av disse oppgavene er egentlige ikke nye, bare "gamle" oppgaver omformulert p? en m?te som gj?r dem mer omstendelige ? l?se med programvare. Matematisk sett gj?r omformuleringer dem enklere, men en litt uvant formulering kan i seg selv v?re en utfordring for studentene. Den tredje oppgaven er av en type jeg ikke tror har v?rt gitt p? eksamener f?r, men som ofte har dukket opp p? obliger. Den gikk litt bedre enn jeg egentlig hadde trodd p? forh?nd.
Oppgaven om omvendte funksjoner er ogs? av en tradisjonell type, bortsett fra at det riktige svaralternativet ("\(f\) har ingen omvendt funksjon") nok var uvant. Jeg valgte dette alternativet for at studentene ikke bare skulle kunne be et program om ? fremskaffe den omvendte funksjonen. L?sningsprosenten p? denne oppgaven var 32%, som er tredje lavest p? hele settet. En tradisjonell oppgave om omvendte funksjoner hadde nok sk?ret en del h?yere (i 2017 hadde en slik oppgave en l?sningsprosent p? 59%).
De to oppgavene om grenseverdier gjorde bruk av L'H?pitals regel p? en litt mer abstrakt m?te enn det som ellers er vanlig. L?sningsprosenten var p? henholdsvis 30% og 0.58% (til sammenligning l? l?sningsprosenten p? grenseoppgaver i 2017 mellom 47% og 63%). Den f?rste av de to oppgavene hadde et uheldig galt svaralternativ som sannsynligvis tiltrakk seg litt for mye oppmerksomhet. Det var ogs? en mer tradisjonell oppgave med grenseverdier. Den hadde en l?sningsprosent p? 39%.
Som en oppsummering kan vi vel si at de "utradisjonelle" oppgavene om komplekse tall fungerte omtrent som tidligere oppgaver om komplekse tall, mens oppgavene om grenseverdier og inverse funksjoner falt en del vanskeligere. Dette hadde jeg imidlertid en mistanke om p? forh?nd, og pr?vde ? kompensere ved ? velge enklere oppgavevarianter p? andre omr?der (f.eks. er nok oppgavene 6, 9, 16 og 17 enklere enn tilsvarende oppgaver ofte har v?rt).
Oppgavesettet som helhet
Tabellen nedenfor viser l?sningsprosenten p? de enkelte oppgavene.
| Oppgave | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gj.poengsk?r | 93% | 75% | 79% | 72% | 85% | 73% | 32% | 62% | 62% |
| Oppgave | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gj.poengsk?r | 30% | 58% | 39% | 63% | 40% | 24% | 49% | 45% | 33% |
Oppgavene om komplekse tall (1-5) har h?yest sk?r. Bortsett fra oppgave 7 (diskutert ovenfor) er det ogs? gode resultater p? oppgavene om injektiv og inverse funksjoner (6-8) og om konkave/konvekse funksjoner (oppgave 9). Som allerede nevnt, er det d?rligere resultater enn normalt p? vanlige grenseoppgaver (10-12), men overraskende god sk?r p? oppgave 13 om grenseverdien til en rekursivt gitt f?lge. De seks siste oppgavene var ment ? v?re litt mer utfordrende, og ut ifra det er nok sk?ren p? oppgave 16 (om \(\epsilon-N\)-definisjonen av konvergens) og oppgave 18 (en litt krevende oppgave med koblede hastigheter) som forventet. Oppgave 14 (om skj?ringssetningen) har lavere sk?r enn forventet, men her kan nok et litt ondsinnet svaralternativ ha spilt noen et puss. Oppgave 17 ans? jeg som en ganske enkel uoppstilt maksimumsoppgave, og sk?ren er skuffende lav, men tidspress kan nok ha hatt en del ? si s? sent i settet. Oppgave 15 har lavest l?sningsprosent i hele settet (man skal finne den deriverte til funksjonen \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln x}{x-1}&\mbox{hvis }x\neq 1\\1&\mbox{hvis } x=1\end{array}\right.\) i punktet 1). Det synes jeg er merkelig, selv om mange sikkert har svart 0 ut ifra den forfeilede tanken at \(f\)er konstant i punktet 1 (en funksjon er selvf?lgelig konstant i ethvert punkt!). Denne oppgaven st?r faktisk som et eksempel i l?reboken, og hadde jeg sett det p? forh?nd, ville jeg ikke ha gitt den i det hele tatt!
Konklusjon
Midtveiseksamen gikk litt d?rligere enn vi hadde h?pet, men resultatene er omtrent som i 2017 da det gikk det gikk veldig bra til slutt (se her). Det er bare ? st? p? og jobbe videre!