Framdriftsplan

0¨C1.3

Notater

Mandag: Introduksjon, repetisjon fra MAT1105 og noe notasjon. Vi begynte p? Sek. 1.1 og fikk sett p? noen av eksemplene p? vektorrom.

Tirsdag: Matrisenotasjon. Flere eksempler p? vektorrom.

Torsdag: Definisjon av underrom, line?rkombinasjon, spenn, og line?r (u)avhengighet. Vi s? ogs? flere eksempler p? vektorrom, underrom, vektorlister og spenn.

1.4¨C1.6

Notater

Mandag: Vi definerte basis og dimensjon.

Tirsdag: Tok for oss den kanoniske basisen og Newton-basisen. Fant et generelt uttrykk for basisrepresentasjonen av et polynom i den kanoniske basisen ved hjelp av taylorkoeffisienter.

Torsdag: Gjorde ferdig Sek. 1.5 (Lagrange- og Legendre-basiser) og gikk gjennom Sek. 1.6 (sum og direktesum av vektorrom). Sistnevnte kommer vi tilbake til i Sek. 2.8, og begrepet "direktesum" vil da forh?pentligvis gi mer mening.

2.1¨C2.3

Notater

Mandag: Sek. 2.1¨C2.2: Line?re avbildninger, bilde og kjerne. Vi s? p? flere eksempler. Beviste Dimensjonssatsen fram til og med beviset for at listen spenner U.

Torsdag: Gjorde ferdig beviset for Dimensjonssatsen og s? p? et eksempel med en line?r avbildning gitt av en matrise. Fortsatte med Sek. 2.3 om hva injektivitet, surjektivitet og bijektivitet betyr for line?re avbildninger.

2.4¨C2.8

Notater man¨Ctirs

Notater tors

Mandag: 2.4¨C2.5

Tirsdag: Brukte mesteparten av tiden p? ? repetere stoffet i Sek. 2.4¨C2.5. Vi s? p? et eksempel der vi fant basisrepresentasjonen av en line?r avbildning (dette er omtrent Oppg. 2.5.10).

Torsdag: Sek. 2.6¨C2.8. Vi tok for oss basisskiftematriser, og s? eksempler p? hvordan man regner ut disse. Vi definerte determinanter for line?re operatorer. Vi s? ogs? p? sum og direktesum av underrom V, W av et vektorrom U, og s? en rekke ekvivalente betingelser for at summen og direktesummen av disse er "like" (isomorfe). Vi avsluttet med en illustrasjon fra differensialgeometri. 

3.1¨C3.3

Notater

Mandag: Sek 3.1. Vi introduserte normer og s? mange forskjellige eksempler p? disse. Vi beviste at maksimumsnormen (\(\ell^\infty\)-normen) er en norm p? \(\mathbb{R}^n\). Vi beviste ogs? den omvendte trekantulikheten. Til slutt s? vi p? \(L^p\)-normene p? vektorrommet \(C^0([0,1],\mathbb{R})\) av kontinuerlige funksjoner fra [0,1] til \(\mathbb{R}\).

Tirsdag: Sek 3.2. Vi definerte konvergens, og vi s? et eksempel p? en f?lge av funksjoner som konvergerer i \(L^1\)-normen, men ikke i \(L^\infty\)-normen (supremumsnormen).

Torsdag: Sek. 3.3. Vi begynte med ? vise at en mengde er lukket hvis og bare hvis dens komplement er ?pen. Vi definerte s? kontinuitet og Lipschitz-kontinuitet, og vi s? at kontinuitet er ekvivalent med ? "bevare konvergens". Vi studerte s? kontinuitet for line?re avbildninger, og beviste (deler av) et viktig teorem om nettopp dette. Vi avsluttet s? med \(\ell^p\)-rommene og -normene, og s? at "h?yre-skift-operatoren" er en kontinuerlig line?r avbildning.

3.4¨C3.5

Notater

Mandag: Vi definerte hva det vil si for to normer ? v?re ekvivalente, og s? et par eksempler. Vi beviste s? et teknisk lemma som lot oss bevise at alle normer p? endeligdimensjonale vektorrom er ekvivalente (3.4.7), og at alle line?re avbildninger p? endeligdimensjonale vektorrom er kontinuerlige.

Tirsdag: Viser ekstremalverdisetningen.

Torsdag: 3.5

Mandag: Sek. 4.1¨C4.2

Tirsdag: INGEN FORELESNING

Torsdag: 4.2¨C4.3

Mandag: Sek. 4.5 (vi stokker litt om p? rekkef?lgen her). Vi definerte hva en projeksjon er, og vi utledet hvordan en ortogonalprojeksjon m? se ut. Ved hjelp av ortogonalkomplementer, fant vi bl.a. ut at ortogonalprojeksjonen er unikt bestemt av underrommet.

Tirsdag: Vi tok for oss Gram¨CSchmidt-ortogonalisering og gjorde et eksempel. Dette er Sek. 4.4.

Torsdag: 4.6 og 4.7.