Beskjeder - Side 2
Vi arbeidet med de gjenst?ende oppgavene 4.6.9-4.6.11. Det ble litt d?rlig tid p? slutten, men jeg tror vi kom rimelig greit igjennom.
TL
Idag, onsdag gjorde vi oppgavene 4.6.7 og 4.6.8. Spesielt viste vi at mengden av punkter der en reell funksjon er alpha-kontinuerlig er ?pen.
Fredag skal dette brukes til ? vise at mengden av diskontinuiteter er en tellbar union av lukkede mengder. Oppgaven 4.6.9-11. Forbered deg med ? g? over beviset for 4.6.8 og definisjonen av alpha-kontinuitet, en gang til!
KR
I dag hadde en forel?pig evaluering av emnet. To punkt kom spesielt opp:
1. L?sningsforslag p? gruppeoppgavene: Som foreleser/retter sender jeg epost med link til godt l?sningsforslag, evt navn/epost p? student/gruppe med godt l?sningsforslag. Selvsagt etter tillatelse fra vedkommende.
2. Gruppearbeid: Noen grupper har lite framm?te. Hver student/gruppe bes melde til foreleser om de har plass til flere, evt at de gjerne vil sl?s sammen med andre. Foreleser pr?ver ? reorganisere til aktive grupper som er s? fulltallige som mulig p? forelesningene/felles?velsene.
Dessuten, eksamen: Planlagt til perioden 4.-15. juni. Meld fra om du har preferanser for f?rste eller andre uke.
KR
Mandag viste vi at en monoton funksjon har et endelig eller tellbart antall diskontinuiteter (oppgavene 4.6.5 og 4.6.6). Til onsdag kan dere unders?ke om mengden av diskontinuiteter til Dirichlet funksjonen, den modifiserte Dirichlet funksjonen og Thomas funksjon (fra seksjon 4.1) alle er F_sigma mengder (tellbare unioner av lukkede mengder). S? arbeider vi med oppgavene 4.6.7 og 4.6.8.
I pausen tar vi en evaluering av emnet s? langt, inkludert hvordan gruppene har fungert.
KR
Mandag vil vi f?rst ha en framf?ring om Baire's setning.
Dere kan forberede dere til resten av mandagen med ? lese om monotone funksjoner (4.6.1), om de tre typer diskontinuiteter som en funksjon kan ha (s 142 i boka), s? vil vi arbeide med oppgavene 4.6.5, 4.6.6. og 4.6.7.
KR
Vi begynner fredag med en presentasjon av Baire-oppgaver av gruppe 1.
Deretter fortsetter vi kontinuitet og diskontinuitet. Forbered dere med i oppgave 4.6.2 ? dele i tre tilfeller: 1) A har ingen grensepunkt, 2) A har ett grensepunkt, og 3) A har mer enn ett grensepunkt.
Les ogs? p? definisjon av kontinuitet (4.3), s? gj?r vi oppgave 4.6.3 og 4.6.4.
KR
Etter en gruppepresentasjon om dobbeltsummerte rekker, g?r jeg gjennom definisjonen av kontinuitet f?r vi begynner p? oppgavene 4.6.1-4.6.4.
Forbered dere gjerne p? disse oppgavene som bare bygger p? 4.1 og definisjonen av grense i 4.2.
KR
Vi g?r gjennom deler av seksjon 4.1 og 4.2. Deretter begynner vi p? oppgavene 4.6.1 og 4.6.2. Kanskje rekker vi ogs? ? begynne p? 4.6.3 og 4.6.4. Det er lurt ? se litt p? seksjonene 4.1 og 4.2 p? forh?nd.
Det blir ogs? en gruppepresentasjon av innleveringsoppgave 2.
Tom
Snakket f?rst litt mer om tette og ingensteds tette mengder. Deretter avsluttet vi kapittel 3 ved ? arbeide med 3.5.8, 3.5.9 og 3.5.10.
Tom
I dag onsdag arbeidet vi med oppgavene 3.5.5, 3.5.6 og 3.5.7. Begrepene "nowhere dense" og tillukning (closure) definerte vi kort mot slutten (se side 108 i boka). Til fredag gjenst?r de tre siste oppgavene 3.5.8-3.5.10. Forbered dere gjerne i forkant p? 3.5.8 og 3.5.9.
KR
Mandag arbeidet vu med oppgavene 3.5.3 og 3.5.4. Til onsdag bruk 3.5.1 og 3.5.4 til ? angripe oppgave 3.5.5. Vi tar dette opp onsdag, og fortsetter p? oppgavene 3.5.6, 3.5.7 og 3.5.8.
KR
Forbered svar p? oppgave 3.5.3, s? diskuterer vi disse f?r vi begynner p? Baire's setning (teorem 3.5.2) og oppgavene 3.5.4 og 3.5.5.
KR
Onsdag avsluttet vi med ? gj?re oppgave 3.5.1. TIl fredag les om kompakte mengder, definisjon 3.3.1 og setning 3.3.4 og forbered dere p? oppgavene 3.5.2 og 3.5.3.
KR
Vi definerte mandag ?pne og lukkede mengder og viste at komplementet av en lukket mengde er ?pen og omvendt. Til onsdag ber jeg dere se p? oppgavene:
Hvis A_1,A_2,..,A_n,... er en uendelig samling med ?pne reelle mengder, vis at unionen av disse er ?pen og vis at snittet mellom A_1 og A_2 er ?pent.
Vis at snittet mellom alle A_i-ene ikke n?dvendigvis er ?pent.
Les ogs? om Cantor-mengden i kapittel 3.1.
KR
I dag arbeidet vi stort sett med oppgave 2.8.6, men noen grupper kom ogs? godt i gang med oppgave 2.8.7. Jeg tror alle etter hvert fikk med seg 2.8.6a), men det var nok mer forvirring rundt 2.8.6b) - den er da ogs? ganske krevende. Oppgave 2.8.7 er enklere, s? jeg h?per mange arbeider videre med den. Et generelt tips: Les oppgaveteksten n?ye - det ligger ofte mye hjelp i m?ten forfatteren ordlegger seg p?.
Malene Bjornes og Ronny Ansnes er tillitsvalgte i emnet.
KR
Idag onsdag fullf?rte vi oppgaven 2.8.5 og dermed beviset for Teorem 2.8.1, og begynte p? 2.8.6.
Til fredag ber jeg dere fullf?re argumentene i 2.8.6, s? vil den oppgaven bli kort oppsummert f?r en s? g?r l?s p? siste oppgave : 2.8.7. (produkt av rekker).
KR
Mandag 5.2 arbeidet vi oss gjennom oppgavene 2.8.3 og 2.8.4. Vi ble ikke helt ferdige og begynner onsdag med 2.8.4.b der vi bruker hintet
|s_mn-S|<|s_mn-s_nn|+|s_nn-S| og |s_mn-s_nn|<|t_mn-t_nn|
til ? konkludere. Deretter fortsetter vi onsdag med 2.8.5 og 2.8.6.
KR
Fredag 2/2 snakket jeg litt om konvergens, absolutt konvergens og betinget konvergens (seksjon 2.7). Jeg pr?vde ogs? ? klargj?re dobbeltsumnotasjonen litt mer. Ellers arbeidet vi mest med oppgave 2.8.2 der det krevde litt anstrengelse ? forst? hva oppgaven egentlig g?r ut p? (det er viktig ? forst? parentesen i oppgaveteksten). Neste gang blir det ? avslutte oppgave 2.8.2 og deretter arbeide videre s? langt man kommer med de neste oppgavene.
I dag foreleste jeg Bolzano-Weierstrass setningen og om Caucy f?lger f?r vi begynte p? doble summer og oppgave 2.8.1. Til fredag ber jeg dere lese p? absolutt konvergens kapittel 2.7, s? vil dere arbeide med 2.8.2 og 2.8.3.
KR
ber jeg dere lese om Cauchy-kriteriet (kapittel 2.6) og omordninger i rekker (kapittel 2.1) og om beviset konvergens /divergens av geometriske rekker.
KR
Vi begynner p? kapittel 2, gjennomg?r definisjoner og viktige kriterier for konvergens for f?lger og rekker. Som forberedelse, begynne og lese p? kapittelet, og finn s?rlig et bevis for at rekka
1+1/2+1/3+1/4+1/5+... divergerer og at rekka
1-1/2+1/3-1/4+1/5-.... konvergerer.
KR
P? forelesning i dag diskuterte vi likheten
1=0.9999.. ,
potensmengder og oppgavene 1.6.4-1.6.7.
Vi forberedte ogs? oppgave 1.6.8. Fredag dr?ftes oppgavene 1.6.8-1.6.10.
Innleveringsfrist for f?rste prosjekt er utsatt til mandag 29.1 kl 09.00.
KR
I dag, mandag, arbeidet vi mest med diagonalargumentet, ( ex 1.6.2 -1.6.4).
Til onsdag er det smart ? pr?ve ? gj?re 1.6.4 ferdig, og ? lese p? potensmengder (power sets), s? bruker vi tid p? ex 1.6.5-1.6.8 onsdag.
KR
P? felles?velsen 19.1 dr?ftet vi bijektive funksjoner mellom intervaller, tellbarhet av de rasjonale tallene, og ikke-tellbarhet av reelle tall (Thm 1.5.6) og arbeidet i guppene med ex 1.6.1. Noen begynte p? ex 1.6.2.
Mandag vil vi jobbe s?rlig med ex 1.6.2 og ex 1.6.3 . Den beste forberedelse er nok ? lese f?rste del av beviset for Thm 1.6.1 fram til ex 1.6.2.
KR