Mandag 5/9 begynte jeg (Hans ¡­

Mandag 5/9 begynte jeg (Hans Brodersen) p? heftet "En introduksjon til hyperbolsk geometri". Jeg introduserte K den ?pne enhetsdisken i planet, der vi lar linjene v?re snittet av linjer i R^2 med denne disken (K-linjer). B?de insidens, mellomhets aksiomene, Dedekinsaksiom og aksiom H vil holde. For ? f? en hyperbolsk geometri trenger vi derfor definere et kongruensbegrep slik at kongruensaksiomene vil holde. Det er imidlertid enklere ? definere dette i andre hyperbolske modeller. Dette kan vi gj?re ved ? avbilde K p? sf?ren S^2, enten p? nedre halvkule eller halvkulen der y>0. Bruker vi n? sterografisk projeksjon vil K bli avbildet henholdsvis p? en ny kopi av enhetsdisken som vi kaller D, eller p? halvplanet y>0 som vi kaller H. K-linjene g?r over p? andre kurver i D eller H som vi kaller D eller H linjer, og vi kan istedet fors?ke ? definere kongruensrelasjoner med hensyn p? disse i D eller H. For ? analysere disse nye modellene s? jeg f?rst p? sterografisk projeksjon og jeg viste at sirkler p? S^2 avbildes ved denne p? sirkler eller linjer i R^2. Jeg viste videre at sterografisk projeksjon bevarer vinkler. Det f?lger da at H-linjer er enten halvlinjer parallelle med y-aksen eller halvsirkler med sentrum p? y-aksen. For ? definere kongruens av delkurver av slike kurver ville jeg s? lete etter en klasse homeomorfier av H p? seg selv som skulle bevare H-linjer og v?re isometrier ( avstands bevarende avbildninger ), og s? definere kongruens ved hjelp av disse. For ? begynne p? denne "letingen" introdserte jeg s? M?biustransformasjonene.

Onsdag 7/9 fortsatte jeg ? gjennomg? om M?biustransformasjoner fram til og med Proposisjon 2.1 i heftet. P? mandag vil jeg f?rst gjennomg? oppgavene 2.1-2.4 for deretter ? fortsette teorien i heftet.