Forelesning onsdag 16.5: vi starter ¡­

Forelesning onsdag 16.5: vi starter repetisjonsrundene. Torsdag er det grunnlovsdag. Oppgaver til tirsdag er som f?lger.

Extra 1: Vi har lagt inn "en time med Brownske bevegelser" i pensum. Vi sier at W er en Brownsk bevegelse med skalaparameter sigma dersom (i) W(0) = 0, (ii) W har uavhengige tilvekster, og (iii) W(t) - W(s) er normal (0, sigma^2(t-s)). Vis at W blir en Markov-prosess. Vis s? at en sum av tre uavhengige Brownske bevegelser danner en ny Brownsk bevegelse.

Extra 2: (a) La X(t) v?re en Poisson-prosess med parameter lambda. La t0 v?re et vilk?rlig valgt tidspunkt. Hvor langt er det til n?rmeste Poisson-hendelse? Finn fordelingen for avstanden D fra t0 til denne n?rmeste hendelse. (b) G? p? tur i en Poisson-skog, definert som en punktprosess der antall tr?r i ikkeoverlappende omr?der er stokastisk uavhengige og Poisson-fordelte med parametre lik lambda ganger arealet av omr?det. Finn fordelingen til avstanden D fra et vilk?rlig valgt fast punkt i skogen til n?rmeste tre. (c) Sett deg i en romrakett og dra til kosmos, der posisjoner av stjerner danner en tre-dimensjonal Poisson-prosess med rate lambda stjerner pr. volumenhet (for eksempel kvadratlys?r). Fra en vilk?rlig valgt posisjon i universet, finn fordelingen D til n?rmeste stjerne. (d) For de tre situasjonene over, finn ogs? fordelingen til D2, avstanden til det nest n?rmeste punkt.

Extra 3. La X(t) v?re en tidsinhomogen Poisson-prosess, med rate lambda(t) ved tid t. Dette betyr at tilveksten X(t + Delta t) - X(t) er Poisson-fordelt med parameter lambda(t) Delta t + o(Delta t). Finn forventning og varians for X(t).

Extra 4. Se p? en f?dsels- og d?d-prosess med tidsavhengige rater lambda(i) = i lambda(t) og mu(i) = i mu(t). Lag en differensialligning for m(t) = EX(t), og finn s? m(t).