Her kommer korte rapporter fra forelesningene. Forelesningsnotater vil vanligvis ikke legges ut p? nett.
Tirsdag 19.01.
Velkommen til MAT1001.
I dag snakket vi mest om hva kurset MAT1001 egentlig er for noe og ga en kort oversikt over pensum. Vi begynte s? sm?tt ? snakke om Del 1 av kurset - line?re likningssystemer. Mer om det i morgen!
Onsdag 20.01.
I dag snakket vi om line?re likningssystemer og deres l?sninger. V?rt hovedresultat i dag var at line?re likningssystemer kan ha 0, 1 eller uendelig mange l?sninger.
Vi s? p? substitusjons- og addisjonsmetoden for l?sning av line?re likningssystemer og regnet noen eksempler med begge metodene. Vi s? ogs? at vi av og til m? innf?re parametere i l?sningen v?r.
Vi tolket ogs? l?sningene geometrisk. Blant annet s? vi at 1 l?sning svarer til et punkt i det rommet vi jobber med. Uendelig mange l?sninger svarer til for eksempel linjer, plan osv. Vi s? at antall parametere vi trengte i l?sningen sa oss noe om hvor stor dimensjon l?sningsmenden hadde.
P? tirsdag begynner vi med matriser!
Tirsdag 26.01.
Temaet i dag var matriser. Vi definerte en dr?ss med begreper knyttet til fenomenet og s? p? regneregler for matriser. De fleste reglene er som for tall, men vi m? v?re obs n?r vi ganger sammen matriser; for det f?rste er operasjonen annerledes og for det andre er ikke multiplikasjon av matriser kommutativt.
Vi s? ogs? hvordan man kan regne ut den s?kalte determinanten til en kvadratisk matrise. Determinanter til 2x2 og 3x3-matriser regnet vi ut direkte, men vi s? ogs? hvordan systemet vi bruker kan utvides til ? regne ut determinanten til st?rre matriser.
Til slutt i dag s? vi hvordan matriselikninger skjuler likningssystemer. Det blir mye mer om dette fremover!
Onsdag 27.01.
Vi begynte i dag med ? henge nye resultater p? teorien om line?re likningssystemer og matriser. Vi s? at determinanten til koeffisientmatrisa til et line?rt likningssystem med like mange variabler som likninger kan si oss noe om antall l?snigner til likningssystemet.
Vi s? ogs? p? hvordan line?re likningssystemer kan skrives p? utvidet matriseform, og hvordan vi kan bruke addisjonsmetoden systematisk for ? finne l?sningen til likningssystemet. Dette kalte vi Gauss-Jordan-eliminasjon.
Flere eksempler p? fredag og p? tirsdag!
Tirsdag 02.02.
I dag ford?yde vi teorien om line?re likningssystemer og matriser ved hjelp av et par eksempler. Vi regnet p? mer generelle systemer enn vi gjorde i forrige uke.
Dessuten viste vi at hvis vi finner to l?sninger til et likningssystem, kan vi konstruere uendelig mange l?sninger.
Vi innf?rte ogs? Cramers regel. Denne regelen er, for sm? likningssystemer med like mange variabler som likninger, en hurtig (og kanskje enklere?) m?te ? finne l?sningen til et line?rt likningssystem p? - gitt at vi har n?yaktig én l?sning.
Onsdag 03.02.
I dag gikk vi gjennom nesten all teorien i kapittel 4. Vi tok utgangspunkt i et case og jobbet oss gjennom de ulike elementene i en typisk populasjonsdynamikkoppgave.
Vi s? at i populasjonsdynamikk er sammenhengene mellom ulike deler av populasjonen gjerne line?re, og vi kan dermed bruke masse matriseteori til ? finne pene matematiske modeller for fenomenene vi studerer.
Spesielt fokus var i dag p? innf?ringen av egenverdier og egenvektorer til en matrise.
Mer p? fredag og hele neste uke!
Tirsdag 09.02.
I dag gjennomgikk vi eksempelet PIGG-AV fra boka. Vi gikk ogs? gjennom strukturen bak en standard oppgave i populasjonsdynamikk.
Vi nevnte ogs? fenomenene likevektstilstand og likevektsforhold, og s? litt mer p? grensebetraktninger.
Ellers regnet vi ut egenverdiene til en 3x3-matrise. Mer om det i morgen!
Onsdag 10.02.
Vi snakket i dag mer om populasjonsdynamikk.
F?rst regnet vi p? n?r mer enn 60% av bilistene i PIGG-AV-eksempelet fra boka kj?rte piggfritt. Dette involverte regning med ulikheter og logaritmeregning. Derfor repeterte vi ogs? noen logaritmeregler i dag.
Vi tok opp igjen et populasjonsdynamikkproblem med 3 underpopulasjoner fra i g?r. Vi hadde regnet ut egenverdiene til dette systemet. I dag regnet vi enda et eksempel p? egenverdier til en 3x3 matrise, f?r vi gikk tilbake til eksempelet fra i g?r og regnet p? egenvektorene til denne matrisen. Vi s? ogs? at en initialvektor kan skrives som en line?rkombinasjon av egenvektorer i dette tilfellet. Og vi s? at vi kan bruke samme triks som f?r for ? finne et enkelt uttrykk for tilstandsvektor ved tid n.
Til slutt begynte vi p? eksamensoppgave B.1.18 - og s? at denne er en helt standard oppgave. Dere skal n? ha klart for dere hvordan en s?nn oppgave b?r l?ses!
Det blir mer populasjonsdynamikk p? fredag, og s? skal vi gj?re et kvantesprang og avdekke en helt ny verden neste uke! Gj?r klar for kapittel 7!
Tirsdag 16.02.
I dag ble dere kjent med de komplekse tallene! Vi snakket litt om det komplekse planet og punktene=tallene der. Vi brukte de vanlige regnereglene for de reelle tallene og fant ut at de samme fungerte helt fint for komplekse tall. Men et triks m?tte til n?r vi skulle dele et komplekst tall p? et annet.
Videre i dag viste vi at en 2.gradslikning ALLTID har l?sning:
A: To forskjellige reelle l?sninger.
B: En reell l?sning.
C: To komplekse l?sninger - de er da konjugerte til hverandre.
Til slutt i dag innf?rte vi radianer og snakket om trigonometri og tabellen s 181. Vi utledet eksakte verdier for sinus og cosinus til de vanlige vinklene i 1.kvadrant. Husk ? stille kalkulatoren din inn p? radianer!
Onsdag 17.02.
Vi gikk videre med komplekse tall og snakket om overgangen fra kartesisk form til polar form og tilbake. Vi ga dessuten definisjonen p? e^(i*Theta) og snakket om komplekse tall p? eksponentialform.
Vi ga mange eksempler p? at eksponentialform gj?r livet lettere for oss n?r vi skal gange sammen to komplekse tall.
Litt mer om det p? tirsdag, og s? begynner vi p? kapittel 5 - om differenslikninger.
Tirsdag 23.02.
I dag snakket vi om differenslikninger. Vi skal i dette kurset l?re ? l?se 1. og 2. ordens homogene line?re differenslikninger med konstante koeffisienter samt 1. og 2. ordens inhomogene line?re differenslikninger med konstante koeffisienter der den inhomogene biten er et polynom i n.
I dag snakket vi litt om tallf?lger og vi l?ste 1.ordens LHDKK (line?re homogene differenslikninger med konstante koeffisienter). N?r vi l?ste disse, fant vi f?rst ALLE tallf?lger som oppfylte likningen. Dette kalte vi den generelle l?sningen. Deretter brukte vi en initialbetingelse til ? plukke ut EN av de generelle l?sningene - den spesielle l?sningen.
Mer om inhomogene differenslikninger i morgen!
Onsdag 24.02.
I dag snakket vi om inhomogene differenslikninger og hvordan vi kan l?se dem.
1 - Finn den generelle l?sningen til den assosierte homogene likningen.
2 - Gjett en polynoml?sning - et generelt polynom av samme grad som det polynomet som opptrer i likningen.
3 - Sett gjetningen inn i differenslikningen og bestem polynomet.
4 - Skriv opp den generelle l?sningen til differenslikningen som summen av 1 og 2.
5 - Bruk evt initialbetingelse til ? finne den spesielle l?sningen som oppfyller b?de differenslikningen og initialbetingelsen.
Det var det. Flere eksempler i plenumsregningen p? fredag.
Tirsdag 02.03.
I dag viste vi at 2.ordens homogene line?re differenslikninger med konstante koeffisienter kan l?ses ved hjelp av helt enkle formler som er knyttet til en spesiell 2.gradslikning.
Alle 2.OLDKK som er homogene har et karakteristisk polynom som er av grad 2. Dette polynomets r?tter avgj?r hvilken formel vi skal bruke.
Vi skisserte hvordan vi kom fram til de ulike formlene og regnet noen eksempler p? hver av de tre typene.
Mer om 2.ordens differenslikninger i morgen. Da skal vi se p? l?sning av inhomogene og se noen anvendelser av denne teorien.
Onsdag 03.03.
I dag s? vi p? 2.ordens inhomogene differenslikninger og s? at disse hadde samme l?sningsmetode som de inhomogene 1.ordens differenslikningene.
Vi regnet et par eksempler og vi s? litt p? grenseverdier n?r n g?r mot uendelig for noen av typene.
Neste uke begynner vi p? kapittel 10.
Kapittel 9 er stoff dere m? lese p? egenh?nd.
Tirsdag 09.03.
I dag begynte vi p? del 3 av kurset, og kapittel 10 var kjernestoff. Vi snakket litt om funksjoner og funksjonstyper, definisjonsmengder og verdimengder. Mye av dette var kjent stoff, men litt nytt i forbindelse med grenseverdier av rasjonale funksjoner.
I morgen skal vi snakke om en spesiell type funksjoner, nemlig harmoniske svingninger!
Onsdag 10.03.
I dag snakket vi om harmoniske svingninger og hvordan disse funksjonene kan brukes til ? lage funksjoner som ligger tett opp til virkelige observasjoner.
Vi snakket ogs? om hvordan man kan legge sammen harmoniske svingninger og f? en ny.
Til slutt i dag en liten moralpreken ang?ende midtveiseksamen...
Tirsdag 16.03.
I dag gjennomgikk Georg teorien for derivasjon. Det blir mer om derivasjon og det motsatte - antiderivasjon - etter p?ske!
Onsdag 17.03.
I dag gjennomgikk Kari midtveiseksamen fra i fjor h?st!
Tirsdag 06.04.
I dag gjennomgikk vi l?sningsmetoden for 2.ordens lin?re homogene difflikninger med konstante koeffisienter. Vi s? at fremgangsm?ten er ganske lik den vi hadde for differenslikninger. Vi tok ogs? for oss sp?rsm?let om hva slags initialbetingelser vi trenger for at vi skal kunne finne en spesiell l?sning p? difflikningen.
Onsdag 07.04.
I dag fikk vi med oss det meste om antiderivering p? 2 timer. De gode nyhetene er at vi skal jobbe med teknikkene hele resten av kurset. Husk at vi tenker p? antiderivasjon som "element?re regler, substitusjon, delbr?ksoppspaltning eller delvis integrasjon".
Tirsdag 13.04.
I dag gjennomgikk vi teorien for separable difflikninger, og s? at ? l?se disse dreide seg om en enkel teknikk etterfulgt av mer eller mindre enkle antiderivasjoner. Vi s? ogs? at opprydning i uttrykket for ? finne funksjonen vi er ute etter ikke alltid er like lett.
Onsdag 14.04.
HURRA! I dag ble vi strengt tatt ferdige med pensum! Vi gjennomgikk l?sningsmetoden for 1.ordens line?re difflikninger og observerte at det innebar et s?rdeles viktig triks: ? gange likningen med integrerende faktor for deretter ? gjenkjenne produktreglen for derivasjon baklengs.
Repetisjon av difflikninger, flere eksempler og eksempler p? anvendelser kommer neste uke!
Tirsdag 20.04.
I dag repeterte vi derivasjon og antiderivasjon. Vi regnet p? vanskelige eksempler fra boka. Deretter regnet vi et par eksempler p? difflikninger: vi brukte derivasjon og antiderivasjon hele tiden!
I de neste 3 forelesningene skal vi g? gjennom kapittel 13, og da blir det flere eksempler p? difflikninger!
Onsdag 21.04.
Kapittel 13 og modellering var temaet i dag. Vi gikk gjennom eksempel 13.3 og 13.5 i boka. Dessuten begynte vi ? se p? eksempel 13.6. Vi fortsetter med dette eksempelet og mer stoff fra kapittel 13 neste uke.
Tirsdag 27.04.
Vi ryddet opp i eksempel 13.6 og s? etterp? n?rmere p? eksempelet om fj?rer i boka. Helt til slutt s? vi p? modellen for rovdyr og byttedyr. Alts?: anvendelser av 2.ordens difflikninger med konstante koeffisienter.
Onsdag 28.04.
Vi gikk i dag gjennom oppgavene B.3.23, B.3.30, B.3.40, B.3.43 og B.3.46.
Tirsdag 04.05. og onsdag 05.05
Oversiktsforelesning og gjennomregning av eksamen fra H08.
Tirsdag 11.05.
Vi gjennomgikk diverse oppgaver og litt teori om harmoniske svingninger. Deretter gikk vi gjennom noen av oppgavene fra Oblig2.
Onsdag 12.05.
Vi gikk gjennom eksamensoppgavene fra h?st 2009. L?sningsforslag p? alle eksamensoppgavene blir lagt ut etterhvert.